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2012高考数学(理)二轮备考试题:第一部分专题5第二讲专题针对训练


专题针对训练
一、选择题 1.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y- 2=0,则 a 的值是( ) 1 A. 8 1 B.- 8 C.8 D.-8 解析 :选 1 1 1 B.将抛物线的方程化为标准形式 x2= y,其准线方程是 y=- =2,得 a=- . a 4a 8 x2 2 2.与椭圆 +y =1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 x2 A. -y2=1 4 x2 2 B. -y =1 2 x2 y2 C. - =1 3 3 y2 D.x2- =1 2 解析:选 x2 B.椭圆 +y2=1 的焦点为(± 3,0),因为双曲线与椭圆共焦点,所以排除 A、C.又双曲 4 x2 线 -y2=1 经过点(2,1),故选 2 B. 3.(2011 年高考辽宁卷)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF| +|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) 3 A. 4 B.1 5 C. 4 7 D. 4 1 5 解析:选 C.∵|AF|+|BF|=xA+xB+ =3,∴xA+xB= .∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2 2 xA+xB 5 = . 2 4 x2 y2 4.(2011 年湖南湘西联考)已知双曲线 - =1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 m 7 A,B 两点,且|AB|=4,F2 为双曲线的右焦点,△ABF2 的周长为 20,则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.16 D.20 解析:选 B.由双曲线的定义可知,|AF2|-|AF1|=2 m,|BF2|-|BF1|=2 m, 所 以(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=4 m, |AF2|+|BF2|-|AB|=4 m,
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|AF2|+|BF2|=4+4 m. 又|AF2|+|BF2|+|AB|=20,即 4+4 m+4=20.[ 所以 m=9. x2 y2 5.(2011 年高考山东卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条 渐近线均和圆 C:x2+y2 a b -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 x2 y2 b 解析:选 A.∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2 a b a =4,∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切,即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b 2 2 ∴ 2 2=2,∴5b =4a .① a +b x2 y2 又∵ 2 - 2=1 的右焦点 F 2( a2+b2,0)为圆心 C(3,0), a b 2 ∴a +b2=9.② 由①②得 a2=5,b2=4. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 二、填空题 x2 y2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到 4 12 此双曲线的右焦点的距离为__________. 解析:设右焦点为 F(4,0). 把 x=3 代入双曲线方程得 y=± 15,即 M(3,± 15). 由两点间距离公式得|MF|= (3-4)2+(± 15-0)2=4. 答案:4 7.线段 AB 的长度为 10,它的两个端点分别在 x 轴、y 轴上滑动,则 AB 中点 P 的轨迹方 程是__________. 解析:设 A、B 的坐标分别为(a,0)、(0,b),∵|AB|=10, ∴ a2+b2=10,a2+b2=100. a b 设 P 的坐标为(x,y),由中点公式,得 x= ,y= ,∴a=2x,b=2y. 2 2 把 a=2x,b=2y 代入 a2+b2=100,整理得 x2 +y2=25.即 P 点的轨迹方程是 x2+y2=25. 答案:x2+y2=25 x2 y2 8.已知抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点 F 恰好是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点,且两曲线 a b 的公共点的连线过点 F,则该椭圆的离 心率为__________. p 解析:由题意 F(- ,0), 2 设椭圆的右焦点为 M,椭圆与抛物线的一个交点为 A,则|AF|=p,|FM|=p,∴|AM|= 2p. |AF|+|AM| 2+1 p c ∴椭圆长半轴长 a= = p,椭圆的半焦距 c= .∴椭圆的离心率 e= = 2 2 2 a 1 = 2-1. 2+1 答案: 2-1 三、解答题

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x2 y2 9.已知,抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与 a b 3 双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( , 6),求抛物线与双曲线方程. 2 解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c. 设抛物线方程为 y2=4c·x, 3 ∵抛物线过点( , 6), 2 3 ∴6=4c· . 2 ∴c=1, 故抛物线方程为 y2=4x. x2 y2 3 又双曲线 2- 2=1 过点( , 6), a b 2 6 9 ∴ 2- 2=1. 4a b 又 a2+b2=c2=1, 6 9 ∴ 2- =1, 4a 1-a2 1 ∴a2= 或 a2=9(舍). 4 3 2 ∴b = , 4 4y2 故双曲线方程为 4x2- =1. 3 x2 y2 10.(2011 年高考天津卷)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a,b) a b 满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, 两点. B 若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M, 5 N 两点 ,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 因为|PF2|=|F1F2|,所以 (a-c)2+b2=2c. c c 整理得 2?a?2+ -1=0, ? ? a c c 1 1 得 =-1(舍),或 = .所以 e= . a 2 2 a (2)由(1)知 a=2c,b= 3c, 可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2, 直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c). 2 2 2 ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ?y= 3(x-c). 2 消去 y 并整理,得 5x -8cx=0. 8 解得 x1=0,x2= c. 5 8 x2= c, 5 x1=0, ? 得方程组的解? 或 3 3 ?y1=- 3c, c. y2= 5

? ? ?

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8 3 3 ? 不妨设 A? c, c ,B(0,- 3c), 5 ? ?5 ?8c?2+?3 3c+ 3c?2 =16c. 所以| AB|= ?5 ? ? 5 ? 5 5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| d= = . 2 2 |MN| 3 因为 d2+? 2 ?2=42,所以 (2+c)2+c2=16. ? ? 4 26 整理得 7c2+12c-52=0.得 c=- (舍),或 c=2. 7 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 12 x2 y2 y2 2 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且与椭圆 x + =1 有相同的离心率,斜 a b 2 率为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同的两点 A、 B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. 解:(1)∵椭圆 C 的焦距为 4,∴c=2. y2 2 又∵椭圆 x2+ =1 的离心率为 , 2 2 c 2 2 ∴椭圆 C 的离心率 e= = = , a a 2 ∴a=2 2,b=2, x2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 8 4 (2)设直线 l 的方程为:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+1 ? 由?x2 y2 消去 y 得(1+2k2)x2+4kx-6=0. + =1 ?8 4 ? -4k -6 ∴x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 由(1)知椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0), → → ∵右焦点 F 在圆的内部,∴AF·BF<0, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0. 即 x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0. ∴(1+k2)x1x2+( k-2)(x1+x2)+5 -6 -4k 8k-1 =(1+k2)· <0. 2+(k-2)· 2+5= 1+2k 1+2k 1+2k2 1 ∴k< . 8 1 经检验,当 k< 时,直线 l 与椭圆 C 相交, 8 1 ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为(-∞, ). 8

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