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珠海市斗门一中2014-2015学年第一学期期末教学质量检测高二数学模拟试题(2)


珠海市斗门一中 2014-2015 学年第一学期期末 教学质量检测高二理科数学模拟试题(2)
时间:120 分钟 分值:150 分 内容:必修 5、选修 2-1 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC 中, A ? 60? , B ? 75? ,c=20,则边 a 的长为( ) A. 10 6 A. (??,50) B. 20 2 B. (60, ??) C. 20 3 ) C. (50,60) D. (??,50) D. 20 6 2.不等式 ( x ? 50)(60 ? x) ? 0 的解集是(

(60, ??)

3.十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci,1170~1250)从兔子繁殖的问题,提出了世界著名 数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 Fn ? ? A.8 则对角线 AC1 的长为 A. 3 B.2 C. 6 D.2 2 ) B.13 C.21

?1, n ? 1,2; 由此可计算出 F8 ? ( ? Fn?1 ? Fn?2 , n ? 3.
D.34 ( )

)

4.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两两夹角都是 60° ,

5.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,若 S10 ? 31 , S20 ? 122 ,则 S30 =( A.153 B.182 C.242 ) D.273 6.关于双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 ,下列说法错误的是( A.实轴长为 8,虚轴长为 6 C.渐近线方程为 y ? ? x 7.下列命题为真命题的是( A. ?x ? N, x3 ? x 2 B. ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 2 ? 0 C.“ x ? 3 ”是“ x 2 ? 9 ”的必要条件 D.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 为偶函数的充要条件是 b ? 0 ) B.离心率为

5 4

4 3

D.焦点坐标为 (?5,0)

1.设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则甲是丁的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.不等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么 (
2

) 。

) 。 D. a ? 0, ? ? 0 ) 。

A. a ? 0, ? ? 0

B. a ? 0, ? ? 0

C. a ? 0, ? ? 0

9.已知空间坐标系中, A(0,2.2) , B (1,1,1) , B 是线段 AC 的中点,则点 C 的坐标为 (

A. (?1,3,3)

B. ( ,

1 3 3 , ) 2 2 2

C. (1,3,3)

D. (2,0,0) ) 。

11.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=( A.4 B.5 C.6 D.7

12.已知两点 F1 (?1,0) 、F2 (1, 0) , 且 F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项, 则动点 P 的轨迹方程是 (

)。

A.

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 12

C.

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;请将正确答案写在答题卡上. 13.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,则它的第 2 项为 . 14.与椭圆

x2 y2 ? ? 1 焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 25 9

.

15.已知空间向量 a ? (0,?1,1) , b ? (1,0,1) ,则

2a ? b ? ___________。

16.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围是____________________。 2m ? 1 m ? 2
1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 ________。 2 2 32

17.在等比数列中, a1 ?

x2 y2 18.在双曲线 2- 2=1 上有一点 P,F1,F2 分别为该双曲线的左、右焦点,∠F1PF2=90° ,△F1PF2 的 a b 三条边长成等差数列,则双曲线的离心率是________. 19.在周长为定值 P 的扇形中,当半径为 时,扇形的面积最大,最大面积为 .

x+y≥2, ? ? 20.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2

→ → 上的一个动点,则OA· OM的

取值范围是_________ 三、解答题:(本大题共 5 小题,共 50 分;请将详细解答过程写在答题卡上.) 1 21.(本小题满分 8 分)在△ABC 中,若 sin(C-A)=1,sin B= . 3 (1)求 sin A 的值;(2)设 AC= 6,求△ABC 的面积.

22. (本小题满分 10 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n,

Sn 1 ) (n ? N ? ) 均在直线 y ? x ? 上. n 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3

an ?

1 2

, Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,试求 Tn .

23. (本小题满分 10 分)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 甲产品 乙产品 7 3 用电(千瓦) 20 50 产值(万元) 8 12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排生 产,使得该厂日产值大?最大日产值为多少?

24. (本小题满分 10 分)

25. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的一个顶点为 A(0, ?1) , 焦点在 x 轴上, 右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的 距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M 、 N ,当 AM ? AN 时,求实数 m 的取值 范围.

珠海市斗门一中 2014-2015 学年第一学期期末 高二理科数学模拟试题(2)参考答案
一、选择题:ACCCD 二、填空题: 13. 8; 14. DDAADBC

x2 y2 ? ? 1 ; 15. 14 8 8

16.m ?

1 且m ? 3 2

17. 5

18.5; 19.

P P2 , ; 20. [0,2] 4 16

三、解答题: 15.解 (1)由 sin(C-A)=1 知, π C-A= ,且 C+A=π-B, 2 π B ∴A= - , 4 2 π B? B B 2 - = ?cos -sin ?, ∴sin A=sin? 2 2? ?4 2 ? 2 ? 1 1 ∴sin2A= (1-sin B)= , 2 3 又 sin A>0,∴sin A= 3 . 3

AC BC (2)由正弦定理得 = , sin B sin A 3 6· 3 ACsin A ∴BC= = =3 2, sin B 1 3

由(1)知 sin A=

3 6 ,∴cos A= . 3 3

1 2 2 又 sin B= ,∴cos B= . 3 3 又 sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 2 2 6 1 6 × + × = , 3 3 3 3 3

1 1 6 ∴S△ABC= AC· BC· sin C= × 6×3 2× =3 2. 2 2 3 16. 解: (1)依题意得,

Sn 1 1 ? n ? , 即 Sn ? n 2 ? n . n 2 2
1 1 1 ? ? n) ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? 2n ? ; 2 2 2 ? ?

……………(2 分)

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 12 ? ?1 ? 所以 an ? 2n ?

………(5 分) ……………(6 分) ……………(7 分)

1 2

3 1 ? 2 ?1 ? . 2 2

1 (n ? N * ) . 2
an ? 1 2

(2)由(1)得 bn ? 3 由

? 32 n ,

……………(8 分) ……………(10 分) ……………(11 分)

bn ?1 32( n ?1) ? 2 n ? 32 ? 9 ,可知 {bn } 为等比数列. bn 3

由 b1 ? 32?1 ? 9 , 故 Tn ?

9(1 ? 9n ) 9n ?1 ? 9 ? . 1? 9 8

……(13 分)

17.[解析] 设 l1:y=k(x+1),(k≠0)(1) 1 则 l2:y=- (x-1)(2) k (1)与(2)两式相乘,消去 k 得,y2=-(x2-1), ∴x2+y2=1, 特别地,当 k 不存在或 k=0 时,P 分别与 A、B 重合,也满足上述方程,∴所求轨迹方程为 x2+y2 =1. 18. 解:设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 z ? 8 x ? 12 y ,…(1 分)

?7 x ? 3 y ? 56 ? 线性约束条件为 ?20 x ? 50 y ? 450 . ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域.

…………(3 分)

…………(6 分)

把 z ? 8 x ? 12 y 变形为一组平行直线系 l : y ? ?

8 z 由图可 x? , 12 12

知,当直线

l 经过可行域上的点 M 时,截距

z 最大,即 z 取最大值. 12
……………(10 分) ……………(12 分)

?7 x ? 3 y ? 56 解方程组 ? ,得交点 M (5,7) , ?20 x ? 50 y ? 450
zmax ? 8 ? 5 ? 12 ? 7 ? 124 .

所以,该厂每天安排生产甲产品 5 吨,乙产品 7 吨,则该厂日产值最大,最大日产值为 124 万元. ………………(13 分)

19. 解: (1)A(2,0,0) ,F(1,2,

2 ) , 2

B(2,2,0) ,E(1,1, 2 ) ,C(0,2,0). ∴ AF ? (?1, 2,
? ?

D1 E A1 D B1 F

C1

2 ), BE ? (?1, ?1, 2) , 2

……(4 分) ……(6 分) ……(7 分)

∴ AF ? BE ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 所以 AF 和 BE 所成的角为 90 ? . (2)设平面 BEC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 又 BC ? (?2,0,0),

C B

A

BE ? (? 1? , 1,

2 ),

则: n ? BC ? ?2 x ? 0 , n ? BE ? ? x ? y ? 2z ? 0 . ∴ x ? 0 , 令 z ? 1 ,则: y ? 2 ,∴
AF ? n AF ? n
?

n?(0,

2 ,.1 )

…………(10 分)



COS ? AF , n ??

?

5 2 5 33 2 ? . 33 22 ? 3 2
5 33 . 33

……………(12 分)

设直线 AF 和平面 BEC 所成角为 ? ,则: Sin? ?

即 直线 AF 和平面 BEC 所成角的正弦值为

5 33 . 33

……………(14 分)

20. 解: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , a2

……………(1 分)

则右焦点 F ( a2 ? 1,0) . 由题设条件:

……(2 分)

a2 ? 1 ? 2 2 2

? 3 , 解得: a 2 ? 3 .

……………(4 分) ……………(5 分)

故 所求椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 . 3

? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,联立 ? x 2 , 2 ? ? y ?1 ?3

………………(6 分)

消 y 得: (3k 2 ? 1) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ? 1) ? 0 . 由于直线与椭圆有两个交点, ? ? ? 0, 即 m 2 ? 3k 2 ? 1 ①

………………(7 分) …………(8 分)

? xp ?
? k Ap ?

xM ? xN 3mk m , 从而 y p ? kx p ? m ? 2 , ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
yp ? 1 xp ?? m ? 3k 2 ? 1 . 3mk



A M ? A N, ? A P ?

, M N ② , ……………(12 分)

则: ?

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即: 2m ? 3k 2 ? 1 3mk k

把②代入①得: 2m ? m2 ,解得: 0 ? m ? 2 ; 由②得: k 2 ? 所以,

2m ? 1 1 . ? 0 ,解得: m ? 3 2
………………(14 分)

1 ?m?2. 2


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