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高考数学填空题大全


已知集合 A ? {3, 4,5,12,13}, B ? {2,3,5,8,13}, 则A ? B ? ______. 解:易知 A ? B ? ?3,5,13?

已知向量 a与b 的夹角为 60?,且a ? (?2,?6),| b |? 10, 则a ? b ? _________. 解: a ? b ? a ? b ? cos 60 ? 40 ? 10 ?

?

?

?

?

? ?

1 ? 10 2

将函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 2?
?? ? f ? ? ? ______. ?6?

一半,纵坐标不变,再向右平移 解:作逆变换:将 y ? sin x 左移

? 的个单位得到 y ? sin x 的图像,则 6

? ,再将横坐标伸长两倍可得 f ( x) 的图像,故: 6

1 ? ? ? ? ? 2 f ( x) ? sin( x ? ) ,从而 f ( ) ? sin( ? ) ? sin ? 2 6 6 12 6 4 2

B 两点,且 已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交于 A,
AC ? BC ,则实数 a 的值为_________.
解:将圆配方得 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 ,故圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 3 ,由已知 ?ABC 为
2 2 等腰直角三角形, 故 AB ? 3 ? 3 ? 3 2 ,圆心到直线的距离 h ?

1 3 AB ? 2, 所以: 2 2

?1 ? 2 ? a 2

?

3 2 ? a ? 0或6 2

某校早上 8:00 上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校,且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为__ _

(用数字作答) 解:记 7 : 30 为 0 时刻,小张,小王到校的时刻分别为 x, y ,则 0 ? x ? 20,0 ? y ? 20 这样的二维变量可与点 ( x, y ) 建立对应,满足条件的 ( x, y ) 形成一个边长为 20 的正方形 区域。由已知小张比小王至少早 5 分钟满足关系: 0 ? x ? 20,0 ? y ? 20 , y ? x ? 5 ,由 线性规划知此时 ( x, y ) 形成一个三角形区域, 其面积为 ?15 ?15 ?

1 2

225 , 故所求概率为: 2

225 9 P? 2 ? 400 32

在平面直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? 的直线 l 与曲线 C : ? ( ? 为参数)交于 4 ? y ? 1 ? sin ? A, B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, . 则直线 l 的极坐标方程是 【答案】 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 【考点定位】极坐标与参数方程.

?

? 5 1? 若关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x ? ? x ? ? ,则 a ? 3 3? ? 【答案】 ?3 5 1 【解析】由题可得 ? a ? 2 ? 3, a ? 2 ? 3 ? a ? ?3 ,故填 ?3 . 3 3 【考点定位】不等式选讲:绝对值不等式的解法.

.

在平面直角坐标系中, O 为原点, A(?1,0), B(0, 3), C(3,0) ,动点 D 满足 CD ? 1 ,则
OA ? OB ? OD 的最大值是

.

【答案】 1 ? 7 【解析】动点 D 的轨迹是以 C 为圆心,1 为半径的圆,可设 D 的坐标为
(3 ? cos? ,sin ? ) ,则

OA ? OB ? OD ? (2 ? cos? , 3 ? sin ? ) . OA ? OB ? OD ?

? 2 ? cos? ?

2

?

?

3 ? sin?

?

2

? 8 ? 2 2cos? ? 3sin ? ? 8 ? 7 sin ?? ? ? ? ,其中 sin ? ?
当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, OA ? OB ? OD 的取到最大值 1 ? 7 . 【考点定位】平面向量,三角函数性质,参数方程,圆.

?

?

4 3 ,cos ? ? , 7 7

若将函数 f(x)=sin(2x+ 最小正值是 .

)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin
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(2x+

﹣2φ) ,再根据所得图象关于 y 轴对称可得

﹣2φ=kπ+

,k∈z,由此求得

φ 的最小正值. 解答: 解:将函数 f(x)=sin(2x+

)的图象向右平移 φ 个单位, ]=sin(2x+ ﹣2φ)关于 y 轴对

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ 称, 则 ﹣2φ=kπ+ . ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣

π,故 φ 的最小正值为



故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属 于中档题.

正方形的四个顶点 A(?1 , ? 1),B(1, ?1),C (11) ,,D(?11) , 分别在抛物线 y ? ? x2 和

y ? x2 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区域
的概率是 【答案】 【解析】 利用定积分直接求面积,再利用几何概型的概率公式求解. .

2 3

正方形内空白面积为 ? [ x 2 ? (? x 2 )]dx ? ? 2 x 2 dx ?
?1 ?1

1

1

2 31 2 2 4 ? x |?1 ? ? ( ? ) ? , 3 3 3 3

8 4 8 2 阴影部分面积为 2 ? 2 ? ? ,所以所求概率为 3 = . 3 3 4 3
【知识点】定积分基本定理;几何概型

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分 9 4
.

别为 A , B ,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? 【答案】 12 【解析】 利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 中, a ? 3 .如图,设 MN 的中点为 D ,则 |DF1 | ? | DF2 |? 2a ? 6 . 9 4

D,F1,F2 分别为 MN,AM ,BM 的中点,?|BN |? 2 | DF2 | , |AN |? 2 | DF1 | , ?|AN | ? | BN |? 2(| DF1 | ? | DF2 |) ? 12 .
【知识点】椭圆的定义及标准方程;椭圆的几何性质

对于 c ? 0 ,当非零实数 a , b 满足 4a 2 ? 2ab ? 4b2 ? c ? 0 ,且使 | 2a ? b | 最大时,

3 4 5 ? ? 的最小值为 a b c
【答案】 ?2 【解析】
由题知

.

2c ? ?(2a ? b)2 ? 3(4a2 ? 3b2 ) . (4a2 ? 3b2 ) ? (2a ? b)2 ? 4a2 ? 3b2 ? (2a ? b)2 ,

4a 2 3b 2 ? 即 2c ? (2a ? b) ,当且仅当 ,即 2a ? 3 b ?6 ? (同号)时,| 2a ? b | 取得最大值 1 1 3
2

8 3 4 5 1 1 1 1 c ,此时 c ? 40? 2 . ? ? ? 2 ? ? ( ? 4) 2 ? 2 ? ?2 , a b c 8? ? 8 ? 5
当且仅当 a ?

3 1 5 3 4 5 ,b ? ,c ? 时, ? ? 取最小值 ?2 . 4 2 2 a b c

【知识点】不等式性质

设椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,且 a 2 b2 3 ,则该椭圆的离心率为 . PF1 ? PF2 ? 0 , tan ?PF1F2 ? 3

3 知, ?PF 1F 2 ? 30 . 3 c 2 则 | PF ? ? 3 ? 1. 1 | ? | PF 2 |?| FF 2 | (co s30 ? sin30 ) ? ( 3 ?1)c ? 2a ,即 e ? a 3 ?1
【解析】 3 ? 1 .由 PF 1 F2 ? 1 ? PF2 .由 tan ?PF 1 ? PF 2 ? 0 知, PF 【链接】本题是有关椭圆的焦点三角形问题,却披上了平面向量的外衣,实质是解三 角形知识的运用. 在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l : ? cos ? ? 4 相交于点 M,在 OM 上取一 点 P,使 OM ? OP ? 12 .设 R 为 l 上任意一点,则 RP 的最小值 . 【解析】1.设 P ? ? ,? ? ,OM ? 线 l : x ? 4 .由图象知, RPmin

4 , ? ? 3cos ? .故 P 在圆: x2 ? y 2 ? 32 上,而 R 为直 cos ? ? 1.

【链接】 本小题主要考查直线与圆的极坐标方程的有关知识,以及转化与化归的思想 方法.解决本题的关键是将它们转化为直角坐标系下的直线与圆的位置关系问题来处理.

若关于 x 的不等式 x ? x ?1 ? a ( a ?R)的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 【解析】 (??,1] . 因为 x ? x ?1 ? x ? ( x ?1) ? 1 ,所以若不等 式 x ? x ?1 ? a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 a ? 1 .



【链接】本小题主要考查含绝对值三角不等式的性质,这类问题是高考选做题中的 常规题,解题方法要熟练掌握.

? BAD 已知菱形 ABCD 的边长为 2,
DC = l DF .若 AE ? AF
解:因为 ? BAD 因为 AE ? AF

BC = 3BE , 120 , 点 E , F 分别在边 BC , DC 上,

1 ,则 l 的值为_______. - 2. 1,

120 ,菱形的边长为 2,所以 AB ? AD

骣 1 ? AB + AD÷ ÷ ? ÷?( AD ? 桫 3 骣 1鼢 + 4? l 鼢 鼢 桫

l AB) , AE ? AF

所以 - 2 ?珑 珑

骣 l 珑 桫 3

1 1 = 1 ,解得 l = . 2 3

函数 f ( x) = lg x2 的单调递减区间值是________. 解:由复合函数的单调性知, f ( x) 的单调递减区间是 (- ? ,0) .

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从 该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年 级、 三年级、 四年级的本科生人数之比为 4: 5: 5: 6, 则应从一年级本科生中抽取_______ 名学生. 解:应从一年级抽取 300 ?

4 4+ 5+ 5+ 6

60 名.

lg 5 ? lg 20 的值是__________. 答案:1 解析: lg 5 ? lg 20 ? lg( 5 ? 20) ? lg 100 ? 1 .

已知函数 f(x)=4x+ 答案:36

a (x>0, a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=__________. x
a a a a ≥ 2 4x ? = 4 a , 当且仅当 4x= 即 x ? 时 x x 2 x

解析: 由基本不等式可得 4x+ 等号成立, ∴

a ? 3 ,a=36. 2

在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最 小的点的坐标是__________. 答案:(2,4) 解析:由题意可知,若 P 为平面直角坐标系内任意一点,则 |PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点 P 在线段 AC 上; |PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点 P 在线段 BD 上, 所以到 A,B,C,D 四点的距离之和最小的点为 AC 与 BD 的交点. 直线 AC 方程为 2x-y=0,直线 BD 方程为 x+y-6=0, ?2 x ? y ? 0, ? x ? 2, ∴? 解得 ? ? x ? y ? 6 ? 0, ? y ? 4. 即所求点的坐标为(2,4).

设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1,1), c ? (2, m).若(a ? c) ⊥ b ,则| a |=____________. 【解析】 a ? _____

2
3m ? ( ? 1 ) m? 3 1 ? 0m? ? 2 ?a ? 2

a ? c ?( 3 , 3 m ) ,a( ? c )b ?

若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) ,则 a = 【解析】 a ? _____ ?6 由对称性: ?

a ? 3 ? a ? ?6 2

过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,若 | AF |? 3 ,则

| BF | =______。
【解析】 | BF |? _____

3 2

设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 ? 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? 3 1 ? cos ? 2

若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC ,则 ________(写出所有正确结论编号)。 ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体 ABCD 每个面的面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90。而小于 180。 ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解析】正确的是 _____ ②④⑤ ②四面体 ABCD 每个面是全等三角形,面积相等 ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于 180? ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α=________. 答案:2 解析:切线斜率 k= 又 y′=αxα
-1

2?0 =2, 1? 0

在点(1,2)处,y′|x=1=α,故 α=2.

某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于________.

答案:6 解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn=

2?1 ? 2 n ? =2(-1+2n)≥100,∴2n≥51,∴n≥6. 1? 2

设 f(x)= 3 sin 3x+cos 3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是 答案:[2,+∞) 解析: ∵f(x)= 3 sin 3x+cos 3x=2sin ? 3 x ?

? ?

π? 又∵|f(x)|≤a 恒成立, ∴a≥2. ? ∈[-2,2], 6?

若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是________. 答案: ( x ? 2)2 ? ? y ?

? ?

3 ? 25 ? ? 2? 4
3 25 2 ,半径 r ? . 2 4

2

解析:圆心在直线 x=2 上,所以切点坐标为(2,1). 设圆心坐标为(2,t),由题意,可得 4+t2=(1-t)2,∴ t ? ?

3 ? 25 ? 所以圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ? y ? ? ? . 2? 4 ?
2

2

如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体 的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

答案:4 解析:作 FO⊥平面 CED,则 EO⊥CD,FO 与正方体的侧棱平行,所以平面 EOF 一定 与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.

函数 y ? ln ?1 ? 答案:(0,1]

? ?

1? 2 ? ? 1 ? x 的定义域为__________. x?

? 1 ? x ? ?1或x ? 0, ?1 ? ? 0, 解析:由 ? ?? ?0<x≤1. x ?1 ? x ? 1 2 ? ? ?1 ? x ? 0
∴该函数的定义域为(0,1].

若非负变量 x,y 满足约束条件 ?

? x ? y ? ?1 则 x+y 的最大值为__________. ? x ? 2 y ? 4,

答案:4 解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分.由线性规划知识得最优解为(4,0),令 z= x+y,则 zmax=4+0=4.

若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余弦值为__________. 答案: ?

1 3

解析:∵|a|=3|b|=|a+2b|, ∴|a|2=9|b|2=|a|2+4|b|2+4a· b, 2 ∴a· b=-|b| ,

a ?b ? | b |2 1 ∴cos〈a,b〉= ? ?? . 2 | a || b | 3 | b | 3

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=__________. 答案: ?

1 x(x+1) 2

解析:∵-1≤x≤0,∴0≤x+1≤1, ∴f(x)= =?

1 1 f(x+1)= (x+1)[1-(x+1)] 2 2

1 x(x+1). 2

如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过 点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是__________(写出所有 正确命题的编号).

①当 0<CQ< ②当 CQ=

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 4 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2
答案:①②③⑤

1 时, D1Q2=D1C12+C1Q2, AP2=AB2+BP2, 所以 D1Q=AP.又因为 AD1 2 1 ∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当 0<CQ< 时,截面为 APQM,所以为四边形,故① 2
解析: 当 CQ= 也正确,如图①所示.

图① 如图②,当 CQ=

3 时,由△QCN∽△QC1R 得 4 1 1 C1Q C1R CR ? ,即 4 ? 1 ,C1R= ,故③正确. 3 3 CQ CN 1 4

图② 如图③所示,当 CQ=1 时,截面为 APC1E. 可知 AC1= 3 ,EP= 2 且 APC1E 为菱形,

S四边形APC1E =


6 ,故⑤正确. 2

3 <CQ<1 时,截面为五边形 APQMF. 4

所以④错误.

图③

二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是__________.(用数字作答) 11.答案:10
2 解析:由二项式展开系数可得,x y 的系数为 C3 5 = C5 =10.
2 3

5

2 3

在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB + AD =λ AO , 则 λ =__________. 答案:2 解析:如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB + AD = AC =2 AO ,

∴λ =2.

设 sin 2α =-sin α ,α ∈ ?

?π ? , π ? ,则 tan 2α 的值是__________. ?2 ?

13.答案: 3 解析:∵sin 2α =-sin α , ∴2sin α cos α =-sin α .

1 ?π ? , π ? ,∴cos α = ? . 2 ?2 ? 3 2 ∴sin α = 1 ? cos ? ? . 2 1 3 2 ∴sin 2α = ? ,cos 2α =2cos α -1= ? . 2 2 sin2? ∴tan 2α = = 3. cos2?
又∵α ∈ ?

设 P1,P2,?,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中,若点 P 到点 P1,P2,?, Pn 的距离之和最小,则称点 P 为点 P1,P2,?,Pn 的一个“中位点”,例如,线段 AB 上的 任意点都是端点 A,B 的中位点,现有下列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号) 答案:①④ 解析:由“中位点”可知,若 C 在线段 AB 上,则线段 AB 上任一点都为“中位点”,C 也不 例外,故①正确;

对于②假设在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,如图所示,点 P 为斜边 AB 中点,设腰长为 2, 则|PA|+|PB|+|PC|= 故②错;

3 |AB|= 3 2 ,而若 C 为“中位点”,则|CB|+|CA|=4< 3 2 , 2

对于③,若 B,C 三等分 AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则|BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+ |CB|+|CD|,故③错; 对于④,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 的交点为 O,在梯形 ABCD 内任取不同于点 O 的一 点 M,则在△MAC 中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,

同理在△MBD 中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|, 则得, |MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD|, 故 O 为梯形内唯一中位点是正确的.

? 2 x, 0 ? x ? 1 已知函数 f ( x) ? ? ,将 f(x)的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋 ? 2 ? x ? 2 x ? 3,1 ? x ? 3 ? ? 转一周,则所得旋转体的体积为________.

将 f ( x) 的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周,所得旋转体为一个圆锥和一个 半个球的组合体,其中球的半径为 2,棱锥的底面半径为 2,高为 1,所以所得旋转体
2 的体积为 ? ? ? ? 2 ?1 ?

1 3

1 4 20 ? ? ? ? 23 ? ? . 2 3 3

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

答案:16π-16 解析: 由三视图可知该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体, 中间挖去一个底面棱长为

2 的正四棱柱,故体积为 π·22· 4-2×2×4=16π-16.

已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个 根,则 S6= 答案:63 解析:因为 x2-5x+4=0 的两根为 1 和 4,又数列{an}是递增数列, 所以 a1=1,a3=4,所以 q=2. 所以 S6=

1??1 ? 26 ? =63. 1? 2

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 从全校随机抽取 5 个班级, 把每个班级参加该 小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则 样本数据中的最大值为 答案:10 解析:设 5 个班级的人数分别为 x1,x2,x3,x4,x5, 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ?7, 5 ? x1 ? 7 ?2 ? ? x2 ? 7?2 ? ? x3 ? 7?2 ? ? x4 ? 7?2 ? ? x5 ? 7?2 5

=4,

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连 a b 4 接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e= 5 5 答案: 7
解析:如图所示.

根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|· |BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8. 2 2 2 又|OF| =|BF| +|OB| -2|OB|· |BF|cos ∠ABF,得|OF|=5. 根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得 a=7. 又|OF|=c=5,故离心率 e=

5 . 7 1 a , 2sin B = 3sin C , 4 3c , a = 2c . 2

在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = 则 cos A 的值为 解: -

1 4

因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b =

b2 + c 2 - a 2 1 =- . 所以 cos A = 2bc 4

在以 O 为极点的极坐标系中,圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交于 A, B 两点.若 D AOB 是等边三角形,则 a 的值为 解:3
2 圆的方程为 x + ( y - 2) = 4 ,直线为 y = a . 2

因为 D AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为 ? ?

骣 a ÷ , a÷,代入圆的方程可得 a = 3 . ? 桫3 ÷

设 {an }是首项为 a1 , 公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1 , S2 , S4 成等比数列, 则 a1 的值为 解: -

1 2
2

依题意得 S2 2 = S1S4 ,所以 (2a1 - 1) = a1 (4a1 - 6) ,解得 a1 = -

1 . 2

若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 最小正值是 答案:

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的 4?

3? , 8

解析: f ( x ? ? ) ? sin[2( x ? ? ) ?

?
4

] ? sin(2 x ?

?
4

? 2? )



?
4

? 2? ?

?
2

? k? , (k ? Z ) ,∴ ? ? ?

?
8

?

k? 3? , (k ? Z ) ,当 k ? ?1 时 ? min ? 。 2 8

数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? 答案: q ? 1 , 解析:∵ {an } 是等差数列且 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列, ∴ (a1 ? 1)(a1 ? 4d ? 5) ? (a1 ? 2d ? 3)2 即 (a1 ? 1)[(a1 ? 1) ? 4(d ? 1) ? [(a1 ? 1) ? 2(d ? 1)]2
2 令 a1 ? 1 ? x, d ? 1 ? y , 则有 x( x ? 4 y) ? ( x ? 2 y) , 展开的 y ? 0 , 即 d ?1 ? 0 , ∴ q ? 1。

设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 b2

E 的方程为 A, B 两点,若 AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆
答案: x ?
2

3 2 y ? 1, 2 5c 1 2 ,? b ) 3 3

解析:由题意得通径 AF2 ? b2 ,∴点 B 坐标为 B (?

? 2 2 1 b ? (? b 2 ) 2 ? 5c 2 ? 3 2 2 3 将点 B 坐标带入椭圆方程得 (? ) ? ? 1 ,又 b ? 1 ? c ,解得 ? 2 3 b ?c2 ? 1 ? 3 ?
∴椭圆方程为 x ?
2

3 2 y ? 1。 2

已知两个不相等的非零向量 a, b , 两组向量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 和 y1, y2 , y3 , y4 , y5 均由 2 个 a 和 3 个 b 排列而成。记 S ? x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 ? x5 ? y5 , Smin 表示 S 所有 可能取值中的最小值。则下列命题的是_________(写出所有正确命题的编号)。 ① S 有 5 个不同的值。 ②若 a ? b 则 Smin 与 | a | 无关。 ③若 a b 则 Smin 与 | b | 无关. ④若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? 0 。

⑤若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 a 与 b 的夹角为 答案:②④, 解析:S 有下列三种情况:

? 4

S1 ? a ? a ? b ? b ? b , S 2 ? a ? a ? b ? a ? b ? b ? b , S3 ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? b
2 2 ∵ S1 ? S 2 ? S 2 ? S3 ? a ? b ? 2a ? b ? (a ? b) ?| a ? b | ? 0 , 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴ Smin ? S3 ,

若 a ? b ,则 S min ? S3 ? b ,与 | a | 无关,②正确; 若 a b ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ,与 | b | 有关,③错误; 若 | b |? 4 | a | ,则 Smin ? S3 ? 4| a | ? | b | cos? ? | b | ? ?4| a | ? | b | ? | b | ? ? | b | ? | b | ? 0 ,
2 2 2 2
2

2

④正确;
2 2 2 若 | b |? 2 | a |, Smin ? 8| a |2 ,则 S min ? S3 ? 4a ? b ? b ? 8 | a | cos ? ? 4 | a | ? 8 | a | 2

∴ cos ? ?

1 ? , ∴ ? ? ,⑤错误。 2 3

已知集合 A ? ??1,0? ,则满足 A 【答案】4

B ? ??1,0,1? 的集合 B 的个数是

【解析】本题考查集合的概念与运算.由题意,1? B ,集合 B 的个数即 ??1,0? 的子集个数,

已知

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? i

【答案】3 【解析】本题考查复数的四则运算.因为 2,所以 a ? b =3.

a ? 2i ? 2 ? ai ? b ? i (a, b ? R) ,所以,a=1,b= i

从 1, 2,3, 4 中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为 【答案】

2 3 2 . 3

【解析】本题考查古典概型.基本事件总数为 6,符合要求的事件数为 4,故所求概率为

已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i) ? i ,则 i, j 的夹角为 【答案】

?
3

【解析】本题考查平面向量的垂直和数量积的计算.因为 (2 j ? i) ? i ,所以 (2 j ? i) i ? 0 , 即 2i ? j ? i =0,所以, 2 | i || j | cos? ? 1 ? 0 ,即 cos? ?
2

1 ? ,则 i, j 的夹角为 . 2 3

设五个数值 31,37,33, a ,35 的平均数是 34,则这组数据的方差是 【答案】4 【解析】由
31 ? 37 ? 33 ? a ? 35 ? 34 ,可得 a ? 34 ,所以方差 5

1 S2 ? ? (31 ? 34)2 ? (37 ? 34)2 ? (33 ? 34)2 ? (34 ? 34)2 ? (35 ? 34)2 ? ? ??4 5

?y ? x ? 已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
【答案】

3 2

【解析】本题考查线性规划.可行域为三角形区域,最优解为 ( , ) .

1 1 2 2

执行如图所示的流程图,则输出 S 的值为

开始 k ←1

S ?0
k ≤ 20

N

? Y
S ? S ? 2k

输出 S 结束

k ? k ?1

【答案】420 【解析】本题考查流程图和循环结构. S ? 2 ? 4 ? 6 ?

? 40 ?

20(2 ? 40) ? 420 . 2

已知直线 l 、 m 与平面 ? 、 ? , l ? ? , m ? ? ,则下列命题中正确的是 命题对应的序号). ①若 l / / m ,则 ? / / ? ③若 l ? ? ,则 ? ? ? ②若 l ? m ,则 ? ? ? ④若 ? ? ? ,则 m ? ?

(填写正确

【答案】③ 【解析】本题考查线面及面面位置关系的判断.由面面垂直的判定定理可得答案为③.

已知 cos(? ?

?

4 4?3 3 【答案】 10

)??

? 10 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 3 10 2

【解析】本题考查同角三角函数的基本关系和两角和(差)的正弦、余弦.根据题意,

??

?

? 3 10 ? 3? ,故 ? ( , ) ,所以 sin(? ? ) ? 4 10 4 4 4

? ? ? ? 4 sin 2? ? sin[2(? ? ) ? ] ? ? cos 2(? ? ) ? 1 ? 2cos 2 (? ? ) ? , 4 2 4 4 5

? ? ? ? ? 3 cos 2? ? cos[2(? ? ) ? ] ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? ? ,因此 4 2 4 4 4 5

? 4 1 3 3 4?3 3 sin(2? ? ) ? ? ? (? ) ? ? . 3 5 2 5 2 10

在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,且与直线 x-y-3=0 相切,则圆 C 的半径为 答案: 2 |-1-b| 解析:可设圆心为(2,b),半径 r= b2+1,则 = b2+1,解得 b=1.故 r= 2. 2

已知椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A 、 B 分别是椭圆长轴的两个端点, M 、 N 是椭 a 2 b2

圆上关于 x 轴对称的两点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k1 ? k2 ? 率为 【答案】

1 ,则椭圆的离心 4

3 2

【解析】本题考查椭圆的标准方程和几何性质.设 M ( x0 , y0 ) ,则 N ( x0 , ? y0 ) ,
2 x0 ) 2 y0 y y a 2 ? b ? 1 ,可得 3a 2 ? 4c 2 ,从而 e ? c ? 3 . k1 ? k2 ? ? 0 ? 2 ? 2 2 x0 ? a a ? x0 a ? x0 a 2 ? x0 a2 4 a 2 2 0

b 2 (1 ?

若 a ? 0, b ? 0 ,且 2 a ? b ? 1 ,则 S ? 2 ab ? (4a2 ? b2 ) 的最大值是 【答案】

2 ?1 2

【解析】由

(2a)2 ? b 2 2a ? b 1 1 ≥ ≥ 2a ? b 得 2ab≤ , 4a2 ? b2≥ ,所以 2 2 2 2
2 1 1 ? ,当且仅当 2a ? b ? 时取到等 2 2 2

2 2 S ? 2 ab ? (4a 2 ? b 2 ) ? 2 ? 2a ? b ? ? ?(2a) ? b ? ?≤

号.

已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ak1 , ak2 , ak3 , 且 k1 ? 1 , k 2 ? 2 , k3 ? 5 ,则数列 ?kn ? 的通项公式 kn ? 【答案】

, akn ,

成等比数列,

3n ?1 ? 1 2

2 【解析】 本题考查等差数列和等比数列. 由题意,a2 得d ? 2 , ? a1 ? a5 ,(1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d ) ,

即 an ? 2n ? 1 ,所以 akn ? 2kn ? 1 .又等比数列 a1 , a2 , a5 的公比为 3,所以 akn ? 3n?1 .根据

2kn ? 1 ? 3n?1 可得 kn ?

3n ?1 ? 1 . 2

若函数 f ( x) ? 【答案】 [0, 4)

ln kx ? ln( x ? 1) 不存在零点,则实数 k 的取值范围是 2

【解析】本题考查函数的性质与方程思想及数形结合思想.

? ?kx ? 0 ? 1 解法一:由题意可知 ? x ? 1 ? 0 ,可设 g ( x) ? x ? ? 2,( x ? ?1, x ? 0) ,函数图象(图 1)与 x ? 1 ?k ? x ? ? 2 x ?
直线 y ? k 没有交点,则 0 ? k ? 4 .

利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”发生的概率为 答案:

2 3

1 1 3 ?2. 解析:由 3a-1>0 得 a ? ,由几何概型知 P ? 3 1 3 1?

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 椭圆 C: a (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2C.若直线 y= 3 (x
+c)与椭圆 C 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案: 3 ? 1 解析:由直线 y= 3 (x+c)知其倾斜角为 60°, 由题意知∠MF1F2=60°,则∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°. 故|MF1|=c,|MF2|= 3 C. 又|MF1|+|MF2|=2a,∴( 3 +1)c=2a, 即e ?

2 ? 3 ?1. 3 ?1

当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式:1+x+x +?+x +?= 两边同时积分得:

2

n

1 . 1? x
2 ??0 1

?

1 2 0

2 2 2 1dx ? ? 0 xdx ? ? 0 x dx ?

1

1

2 n ??0 x dx ?

1

1 dx , 1? x

从而得到如下等式:

1 1 ?1? 1 ?1? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? 3 ?2?
2 0 n

2

3

1 ?1? ? ?? ? n ?1 ? 2 ?
3

n ?1

?

? ln 2 .
n ?1

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 ?1? 1 2 ?1? C ? ? C1 n ? ? ? ? Cn ? ? ? ? 2 2 ?2? 3 ?2?
n ?1 ? 1 ?? 3 ? 答案: ?? ? ? 1? n ?1 ? ? ?? 2 ? ?

1 n ?1? ? Cn ? ? ? n ?1 ?2?

? ________.

解析:由 Cn ? Cn x ? …? Cn x ? Cn x =(1+x) ,
0 1 2 2 n n
n

两边同时积分得: C
2 ??0 (1 ? x)n dx , 1

0 n

?

1 2 0

1dx ? C

1 n

?

1 2 0

xdx ? C

2 n

?

1 2 0

x dx ?
2

?C

n n

?

1 2 0

xndx

1 0 1 1 ?1? 1 2?1? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? 2 2 ?2? 3 ?2?
=?

2

3

?

1 n?1? Cn ? ? n ?1 ? 2 ?
?

n ?1

1 1 ? 1? ? 1 ? 2 ?1 ? x ?n ?1 ? |0 ? ?1 ? ? n ?1? 2 ? ? n ?1 ?

n ?1

n ?1 ? 1 1 ?? 3 ? ? ?? ? ? 1? . n ?1 n ?1 ? ? ?? 2 ? ?

若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 c-a= 答案 7 2

解析 设等差数列 2,a,b,c,9 的公差为 d,则 9-2=4d, 7 7 7 ∴d= ,c-a=2d=2× = . 4 4 2

若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 答案 2 3

解析 甲、乙、丙三人站成一排,共有甲、乙、丙,甲、丙、乙,乙、甲、丙,乙、丙、 甲,丙、甲、乙,丙、乙、甲共 6 种情况,其中甲、乙丙人相邻而站共 4 种情况,故 P 4 2 = = . 6 3

OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA=(-3,1),OB=(-2,k),则实数 k=
答案 4 → → → 解析 AB=OB-OA=(1,k-1), → → → → 因OA⊥AB,所以OA·AB=0,





即-3+k-1=0,所以 k=4.

将函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 2?

一半,纵坐标不变,再向右平移

? ?? ? 的个单位得到 y ? sin x 的图像,则 f ? ? ? 6 ?6?

解:作逆变换:将 y ? sin x 左移

? ,再将横坐标伸长两倍可得 f ( x ) 的图像,故: 6

1 ? ? ? ? ? 2 f ( x) ? sin( x ? ) ,从而 f ( ) ? sin( ? ) ? sin ? 2 6 6 12 6 4 2

B 两点,且 已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交于 A,
2 2

AC ? BC ,则实数 a 的值为
2 2 解:将圆配方得 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 ,故圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 3 ,由已知 ?ABC 为等

腰直角三角形,故 AB ? 3 ? 3 ? 3 2 ,圆心到直线的距离 h ?
2 2

1 3 AB ? 2 ,所以: 2 2

?1 ? 2 ? a 2

?

3 2 ? a ? 0或6 2

某校早上 8:00 上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校,且每人在该 时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 (用数字作答)

解:记 7 : 30 为 0 时刻,小张,小王到校的时刻分别为 x, y ,则 0 ? x ? 20,0 ? y ? 20 这样的二维变量可与点 ( x, y ) 建立对应,满足条件的 ( x, y ) 形成一个边长为 20 的正方形区 域。由已知小张比小王至少早 5 分钟满足关系: 0 ? x ? 20,0 ? y ? 20 , y ? x ? 5 ,由线性 规划知此时 ( x, y ) 形成一个三角形区域,其面积为

1 225 ?15 ?15 ? ,故所求概率为: 2 2

225 9 P? 2 ? 400 32

a ? ? ?x? 3 ? x ? 的展开式中 x 4 的系数为 7,则实数 a= 若? 1 答案: 2
1 ? a ? ? r 8? r r 解析:∵ ? x ? 3 ? 的通项为 C8 x a ( x 3 )r x? ? r r 8? r r r =C8 a x x 3 ? C8 a x 3, r ∴8-r- =4,解得 r=3. 3 1 3 3 ∴ C8 a ? 7 ,得 a ? . 2 ? r 8? r ? r
8

8

设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C = 答案:

2 π 3

解析:∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.① 又∵b+c=2a,②

5 7 b ,c ? b, 3 3 2 2 ?5 ? ?7 ? 2 b ? ? b? ?? b? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? ? 3 ? ? ? 1 ,∴ C ? 2 π . ? ∴ cosC ? 5 3 2ab 2 2? b?b 3
∴由①②可得, a ?

已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围为 13.答案:[1,+∞)

2

解析:如图,设 C(x0, x0 2 )( x0 2 ≠a),A( ? a ,a),B( a ,a),

则 CA =( ? a ? x0 , a ? x0 2 ), CB =( a ? x0 , a ? x0 2 ). ∵CA⊥CB,∴ CA · CB =0, 即-(a- x0 2 )+(a- x0 2 ) =0,(a- x0 2 )(-1+a- x0 2 )=0,∴ x0 2 =a-1≥0,∴a≥1.
2

已知复数 z=(1+2i)÷(3-4i),i 为虚数单位,则 z 的共轭复数是

解析: z ?

1 2i 1 ? 2i (1 ? 2i)(3 ? 4i) ?5 ? 10i 1 2i ? ? ? ? ? .∴ z ? ? ? . 5 5 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i) 25 5 5

函数 f(x)=x lnx,a=f(2),

,则 a,b,c 从小到大排列是

解析: f ?( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单减,∴ f ( ) ? f ( ) ? 0 , 又 f (2) ? 0 ,∴ b ? c ? a .

1 e

1 3

1 4

(选修 4—1:几何证明选讲) 如图过点 A 作圆 O 的一条切线 AB,切点为 B,OA 交圆 O 于点 C.若 OC=CA,BC=1,则 AB=__________.

解析:连结 OB, BC ,则 Rt ?OBA 中, OA ? 2 BC ? 2 ,由勾股定理得 AB ? 3 .

(选修 4—4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的极坐标方程为:ρ =cosθ -sinθ ,化成普通方程为__________. 解析:将原式两边同乘 ? ,得 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ,得 x2 ? y 2 ? x ? y , 即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 .

已知 x, y ? R ? , 且x ? 4 y ? 1, 则xy 的最大值为 【答案】

1 16 1 16

【解析】均值定理的运用: x ? 4 y ? 1 ? 2 x ? 4 y ? 4 xy ? xy ?

已知点 P?a, b ? 是直线 y ? ? 【答案】9.

1 1 1 1 x ? 落在第一象限部分上的动点,则 ? 的最小值为 a b 4 4

【解析】因为点 P?a, b ? 是直线 y ? ?

1 1 x ? 上的动点,所以 4 4 a 1 1? a 1 1 1 4 3a ? 1 t ?1 b?? ? ? ? ? = ? ? ,令 3a ? 1 ? t , a ? 点 P?a, b ? 是直 2 a b a 1? a a ? a 4 4 4 3

线第一象限部分上的动点,? a ? 0,? t ? 1 ,故

1 1 1 1 4 3a ? 1 ? = ? ? =? 9 2 4 a b a 1? a a ? a t ? ?5 t

? t ? 1?

1 1 ? ? ?9 a b

1 2 t? 4 ?5 t

? 9,

1 1 ? 的最小值为 9 a b

?x ? 2 ? 0 ? 已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动, ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
则 z=x-y 的取值范围是 【答案】[-1,2] 【解析】先画出满足约束条件的可行域,如图阴影部分,∵z=x-y,∴y=x-z. 由图知截距-z 的范围为[-2,1],∴z 的范围为[-1,2].

已知函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意 x?Z, 都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1), 若 f(-1)=2, f(1)=3, 则 f(2012)+f(-2012)= -5 . 解:f(x+1)=f(x)-f(x-1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2),即 f(x+3)=-f(x), f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴T=6,f(2012)+f(-2012)=f(6?335+2)+f(-2012+6?336) =f(2)+f(4)=f(3)=f(2)-f(1)=-f(0)=-5.

已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1(n?N*),则 lim
n

an ? 2 n ?? S n
n-1

? 1/2 .
n ?1

解:Sn=2 -1,∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -2 =2

n

n

n-1

2 ?2 , lim 2 n ?1 ? n??

1 2

在(x+ 4 3 y ) 【答案】6

20

的展开式中,系数为有理数的项共有_______项。

r 20? r 4 r 4 【解析】二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C20 x ( 3y)r ? C20 ( 3)r x20?r yr (0 ? r ? 20) 要

使系数为有理数,则 r 必为 4 的倍数,所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种, 故系数为有理数的项共有 6 项.

? y ? x, ? 已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z 的最大值为 ? x ? 2, ?
【答案】5 【解析】依题意,画出可行域, 则对于目标函数 y=2x-z, 当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Zmax ? 5 .

某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

7 x

8 0.1 .

9 0.3

10 y

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为 【答案】0.4

【解析】由表格可知: x ? 0.1 ? 0.3 ? y ? 9, 联合解得 y ? 0.4 .

7 x ? 8 ? 0.1 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? y ? 8.9

如图是样本容量为 200 的频率分布直方图. 根据样本的频率分布直方图估计, 样本数落在[6, 10]内的频数为 64 ,数据落在(2,10)内的概率约为 0.4 .

分析:从直方图得出数落在[6,10]内的频率和数据落在(2,10)内的频率后,再由频率 = ,计算频数即得.

解答:解:观察直方图易得 数落在[6,10]内的频率=0.08×4; 数据落在(2,10)内的频率=(0.02+0.08)×4; ∴ 样本数落在[6,10]内的频数为 200×0.08×4=64,频率为 0.1×4=0.4. 故答案为 64 0.4. 点评: 本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信 息时, 必须认真观察、 分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,同时考查频率、 频数的关系:频率= .

老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质:①此函数为偶函数;②定义 域为{x∈R|x≠0};③在(0,+∞)上为增函数. 老师评价说其中有一个同学的结论错误,另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的 函数_____________________________________. y=x2 或 y=-2x.(答案不唯一,答对一个即可得满分)

集合 A={x|x=5k+3,k∈N}, B={x|x=7k+2,k∈N},则 A∩B 中的最小元素 是 .

解析 由已知可得集合 A={3,8,13,18,23,28,33,?}, B={2,9,16,23, 30,?},所以,A∩B 中的最小元素是 23.

在原命题“若 A∪B≠B,则 A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数是 解析 原命题的逆否命题为“若 A∩B=A,则 A∪B=B”.当 A∩B=A 时,任取 x∈A =A∩B,必有 x∈B,则 A?B,必有 A∪B=B 成立,所以,逆否命题和原命题都是真命题. 原命题的否命题为“若 A∪B=B,则 A∩B=A”,同上,可知否命题和逆命题也都是真 命题.所以,在这四个命题中,真命题的个数是 4.

已知函数 f(x)=(a2-1)x2+(a-1)x+3,则 f(x)>0 对任意的 x∈R 恒成立的充要条件是 解析 当 a=1 时,f(x)=3>0 恒成立.而当 a=-1 时,f(x)=-2x+3 不是对一切 x∈R 都有 f(x)>0 成立. 当 a≠±1 时,使 f(x)>0 对一切 x∈R 都成立的充要条件是 解

得 a>1 或 a<-

,所以,使 f(x)>0 对任意的 x∈R 恒成立充要条件是 a≥1 或 a<-



若 x,y∈R,且 3x2+2y2=2x,则 x2+y2 的最大值是 解析 由 2y2=2x-3x2≥0 得 0≤x≤ , x2+y2=- +x=- (x-1)2+ , 所以, 当 x= 时,

x2+y2 取得最大值 .

函数 f ( x) ?

x?

1 的单调递增区间是 x

?0, ???

解析

函数 f ( x ) 的定义域是,而在 ? 0, ??? 函数 f1 ( x) ?

1 x 和 f 2 ( x) ? ? 都单调递 x

增,所以,函数 f ( x) ?

x?

1 的单调递增区间是 ? 0, ??? x

设函数 y=f(x)存在反函数 y=f 1(x),且函数 y=x-f(x)的图象过点(1,2),则函数 y=f -1 (x)-x 的图象一定过点 解析 由已知可得 2=1-f(1),则 f(1)=-1,即函数 y=f(x)的图象过点(1,-1),则函 - - - 数 y=f 1(x)的图象过点(-1,1),当 x=-1 时,函数 y=f 1(x)-x 有 y=2,所以,函数 y=f 1(x) -x 的图象一定过点(-1,2).


设有三个函数,第一个函数是 y=f(x),它的反函数为第二个函数,第三个函数与第二 个函数图象关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数的解析式为 - 解析 第二个函数为 y=f 1(x),在第三个函数图象上任取一点(x,y),则点(-y,-x) - 在第二个函数的图象上,即-x=f 1(-y),所以,第三个函数的解析式是 y=-f(-x).

若函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 的值是 解析 若 a>1, 则函数 f(x)=loga(x+1)在(-1, +∞)上单调递增, 而 f(0)=0, 则应有 f(1) =1,于是,loga2=1,解得 a=2.若 0<a<1,则函数 f(x)=loga(x+1)在(-1,∞)上单调递减, 则应有 f(0)=1 且 f(1)=0,矛盾.所以,a 的值是 2.

方程 log2x-[x]+1=0 的解集为 (其中[x]表示不超过 x 的最大整数). 解析 由已知可得 log2x 是整数,于是有 x=2k,其中 k 是整数. 如果 k 是非负整数,则有 k-2k+1=0,解得 k=0 或 k=1,x=1 或 x=2. 如果 k 是负整数,则有 0<2k<1,于是,k+1=0,x= ,所以,原方程的解集为 .

若 loga2>log2a,则 a 的取值范围是 解析 由已知可得 > ,则 >0,于是,lga<-lg2 或 0<lga<lg2,

所以,a 的取值范围是 0<a< 或 1<a<2.

若函数 y=f(x)对一切实数 a, b 都满足 f(a+b)=f(a)+f(b), 且 f(1)=8, 则f





解析 令 a=b=0,则由 f(0+0)=f(0)+f(0)得 f(0)=0,于是,f[x+(-x)]=f(x) +f(-x), 则 f(x)+f(-x)=0,令 a=b= ,则 f =f +f ,可得 f =4,所以,

f

=-4.


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