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四川省棠湖中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理201808020295


四川省棠湖中学 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 理

第 I 卷 选择题(60 分) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知 i 是虚数单位,且 (1 ? 2i)z ? 4 ? 3i ,则 z ?

A. 2 - i

B. ? 2 ? 5i 5

2.下列不等式成立的有

C. 2 ? i

? 2 ? 5i D.
5

① a ? b ? a ? b ,② a ? b ? c ? 33 abc ,③ (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

3.已知 f (x) ? x2 ? 2xf '(1) ? 6 , 则 f '(1) 等于

A. ? 2

B. 0

C. 2

D. 4

4.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)=

A.0.16

B.0.32

C.0.68

D.0.84

5.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02.设发

病 的牛的头数为ξ,则 Dξ等于

A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804

6.将小亮等 5 名同学全部安排到 A 、 B 、 C 、 D 四个社区参加社区活动,每个社区至少安

排一人,则小亮在 A 社区的安排方案共有

A. 24 种

B. 36 种

C. 48 种

D. 60 种

7.某中学有高中生 3000 人,初中生 2000 人,高中生中男生、女生人数之比为 3 : 7 ,初中

生中男生、女生人数之比为 6 : 4 ,为了解学生的学习状况,用分层抽样的方法从该校学生

中抽取一个容量为 n 的样本,已知从初中生中抽取男生12 人,则从高中生中抽取的女生人

数是

A. 12

B. 15

C. 20

D. 21

?x ? y ? 2 ? 0 8.若 x , y 满足约束条件 ??2x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是
?? y ? 1

A. ?1

B. ?3

C. ? 13 3

D. ?5

1

9.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的 12 个球,其中黄球 5 个,蓝球 4 个,绿球 3 个.

现从盒子中随机取出两个球,记事件 A 为“取出的两个球颜色不同”,事件 B 为“取出一个

黄球,一个绿球”,则 P(B | A) ?

12
A.
47

2
B.
11

20
C.
47

15
D.
47

10.设函数 f ? x? ? x3 ? x , x ? R .若当 0 ? ? ? ? 时,不等式 f ?m sin? ? ? f ?1? m? ? 0 恒
2

成立,则实数 m 的取值范围

A. ???,1?

B.?1, ???

C.

? ??

1 2

,1???

D.

? ??

1 2

,1???

11.已知函数 f ? x? ? a ln ? x ?1? ? x2 ,在区间 ?0,1? 内任取两个实数 p , q ,且 p ? q ,若

不等式 f ? p ?1? ? f ?q ?1? ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围是
p?q

A. ?15, ???

B.?15, ???

C. ???, 6?

D.?6, ???

12.已知抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上一动点到其准线与到点 M(0,4)的距离之和的最小值

为 3 2 ,F 是抛物线的焦点, O 是坐标原点,则 ?MOF 的内切圆半径为

A. 2

B. 3

C. 2 ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.二项式 ( 1 ? 3 x2 )10 展开式中含 x3 项的系数是 4x

D. 2 ? 2


14.已知函数 f ? x? ? 1 x ? 1 sin x ?
24

3 4

cos

x

的图象在点

A

?

x0

,

y0

?

处的切线斜率为

1 ,则

tan x0 ? .

15.在平面直角坐标系中,点 A,点 B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C

与直线 2x +y -4 =0 相切,则圆 C 面积的最小值为

.

16.已知函数 f (x) ? ex ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f (x) 给出下列命题:

①对于任意 a ? (0,??) ,函数 f (x) 是 D 上的减函数;②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f (x)

存在最小值;

2

③存在 a ? (0,??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f (x) ? 0 成立; ④存在 a ? (??,0) ,使得函数 f (x) 有两个零点.
其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 三.解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? 2x ,且当 x ? 1 时,函数 f (x) 取得极值为 ? 5 . 6
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)若关于 x 的方程 f (x) ? ?6x ? m 在[?2, 0] 上有两个不同的实数解,求实数 m 的取值
范围.

18.(本小题满分 12 分)

世界那么大,我想去看看,每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,

旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年

旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的 1000 名毕业生进行问卷调

查,并把所得数据列成如下所示的频数分布表:

组别

[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)

频数

2

250

450

290

8

(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布 N (51,152 ) ,若
该市共有高中毕业生 35000 人,试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100 元以上; (3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)错误!未找到引用源。范围内的 8 名学
生中有 5 名女生,3 名男生, 现想选其中 3 名学生回访,记选出的男生人数为 Y ,求 Y 的
分布列与数学期望.
附:若 x ? N (?,? 2 ) 错误!未找到引用源。,则 P(? ?? ? X ? ? ? ? ) ? 0.683, P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.954 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.997

3

19.(本小题满分 12 分)
如图所示,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC , PA ? AC ? 1 AB , N 2
为 AB 上一点, AB ? 4 AN , M , S 分别为 PB , BC 的中点. (1)证明: CM ? SN ; (2)求平面 NBC 与平面 CMN 所成角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)

? ? 已知中心在原点 O ,焦点在 x 轴上的椭圆 E 过点 C 0,

3

1
,离心率为 .

2

(1)求椭圆 E 的方程;

???? ???? (2)设过定点T(0,2)的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A、B ,且 OA ? OB ? 0 ,求直线

l 的斜率 k 的取值范围;

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ln(ax ? 1)(x ? 0, a ? 0), g(x) ? x ? 2 . x?2
(1)讨论函数 y ? f (x) ? g(x) 的单调性;

(2)若不等式 f (x) ? g(x) ? 1在 x ?[0, ??) 时恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)当 a ? 1 时,证明: 1 ? 1 ? 1 ?… + 1 ? 1 f (n)(n ? N *) .

357

2n ?1 2

4

(二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分. 22.(本小题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中, l 是过点 P(?1, 0) 且倾斜角为 ? 的直线.以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正 4
半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? . (1)求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 交于两点 A , B ,求 PA ? PB .
23.(本小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 f (x) ? 2x ? a ? x ?1 . (1)当 a ? 1 时,解不等式 f (x) ? 2 ; (2)当 a ? 0 时,不等式 f (x) ? t2 ? t ? 7 对任意 x ? R 恒成立,求实数 t 的取
值范围.

一.选择题 1.C 2.B 二.填空题 13. 210

棠湖中学高 2019 届第四学期期末教学质量监测考试 理科数学参考答案

3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D

14. ? 3

15. 4 ? 5

16. ②④

5

三.解答题
17.解:(1) f '(x) ? 3ax2 ? 2bx ? 2 ,

由题意得,

?? ? ??

f f

'(1) ? 0 (1) ? ? 5
6

,即

??3a ? 2b ? 2 ? 0

???a

?

b

?

2

?

?

5 6

,解得

???a ? ???b

? ?

?
3 2

1 3



∴ f (x) ? ? 1 x3 ? 3 x2 ? 2x . 32

(2)由 f (x) ? ?6x ? m(?2 ? x ? 0) 有两个不同的实数解,

得 1 x3 ? 3 x2 ? 4x ? m ? 0 在[?2, 0] 上有两个不同的实数解, 32
设 g(x) ? 1 x3 ? 3 x2 ? 4x ? m , 32
由 g '(x) ? x2 ? 3x ? 4 ,

由 g '(x) ? 0 ,得 x ? 4 或 x ? ?1 ,

当 x ? (?2, ?1) 时, g '(x) ? 0 ,则 g(x) 在[?2, ?1] 上递增,

当 x ? (?1, 0) 时, g '(x) ? 0 ,则 g(x) 在[?1, 0]上递减,

?g(?2) ? 0

??m ?

?

?

2 3

由题意得

? ?

g

?? g

(?1) ? 0 (0) ? 0

,即

??m ? ?m

? ?

13 6 0

,解得 0 ? m ? 13 , 6

??

18.解:(1)设样本的中位数为 x ,

则 2 ? 250 ? 450 ? (x ? 40) ? 0.5 错误!未找到引用源。, 1000 1000 1000 20

解得 x ? 51 ,所得样本中位数为错误!未找到引用源。(百元).

?2?? ? 51,? ? 15, ? ? 2? ? 81,

旅游费用支出在8100元以上的概率为P?x ? ? ? 2? ?

? 1? P?? ? 2? ? x ? ? ? 2? ? ? 1? 0.954 ? 0.023

2

2

0.023? 35000 ? 805

6

估计有 805 位同学旅游费用支出在 8100 元以上.

(3) Y 的可能取值为 0,1,2,3,

P(Y

? 0)

?

C53 C83

?

5 , P(Y 28

? 1)

?

C31C52 C83

?

15

28

P(Y

?

2)

?

C32C51 C83

?

15 56



P(Y

?

3)

?

C33 C83

?

1 56

∴错误!未找到引用源。的分布列为

Y

0

1

2

3

5

15

15

1

P

28

28

56

56

错误!未找到引用源。 E(Y ) ? 0? 5 ?1? 15 ? 2? 15 ? 3? 1 ? 9 28 28 56 56 8

19. 解 设 PA=1,以 A 为原点,射线 AB,AC,AP 分别为 x,y,z 轴正向建立空间直角坐标

系(如图).

则 P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),

1 又 AN= AB,M、S 分别为 PB、BC 的中点,
4

1

1

1

∴N( ,0,0),M(1,0, ),S(1,,0),

2

2

2



1→ 1 1

(1)CM=(1,-1, ),SN=(- ,- ,0),

2

22

→→

1

11

∴CM·SN=(1,-1, )·(- ,- ,0)=0,

2

22

因此 CM⊥SN.

→1 (2) NC=(- ,1,0),设 a=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,
2





∴CM·a=0,NC·a=0.

? 则Error!∴Error!取 y=1,则得 a =(2,1,-2).

? 平面 NBC 的法向量 n

? ( 0, 0, 1) cos

?

?? a, n

??

?2

3

因为平面 NBC 与平面 C MN 所成角是锐二面角;所以平面 NBC 与平面 CMN 所成角的余弦值为

2
..
3

7

x2 20.解:(1)设椭圆 E 的方程为: a2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0) ,

?b ? 3

?

由已知:

?c ?

?

1

?a 2

得: a2 ? 4 , b2 ? 3 ,

??a2 ? b2 ? c2

所以,椭圆 E 的方程为: x2 ? y2 ? 1 . 43

(2)由题意,直线斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2,点A(x1, y1), B(x2 , y2 )

? y ? kx ? 2

? 由 ? x2
?? 4

?

y2 3

得(4k 2 ?1

? 3)x2

?16kx ? 4 ?

0

? x1

?

x2

?

?

16k 4k 2 ?

, 3

x1x2

?

4 4k 2 ? 3

由 ? ? 0 即有 k ? ? 1 或k ? 1

2

2

???? ? OA

?

???? OB

? 0 即 x1x2

?

y1 y2

?0?

x1x2

? (kx1

? 2)(kx2

? 2)

?0

?(1+k 2 )x1x2 ? 2k(x1 ? x2 ) ? 4 ? 0

有 (1? k 2 ) 4 ? 2k ?16k ? 4 ? 0 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

解得 1 ? k 2 ? 4

4

3

综上:实数 k 的取值范围为 ? 2 3 ? k ? ? 1 或 1 ? k ? 2 3

3

22

3

x-2 21.解:(1)∵y=f(x)-g(x)=ln(ax+1)- ,
x+2

a

4

ax2+4a-4

y′= -





ax+1 (x+2)2 (ax+1)(x+2)2

当 a≥1 时,y′≥0,所以函数 y=f(x)-g(x)是[0,+∞)上的增函数;

8

当 0<a<1 时,由 y′>0 得 x>2

1

?

-1,所以函数 a

y=f(x)-g(x

)在

?2 ?

1 a

?

1,??

????

上是单调

? 递增函数,函数 y=f(x)-g(x)在 ?0,2
?

1 a

? ?1?
?

上是单调递减函数;

(2)当 a≥1 时,函数 y=f(x)-g(x)是[0,+∞)上的增函数.

所以 f(x)-g(x)≥f(0)-g(0)=1,

即不等式 f(x)≥g(x)+1 在 x∈[0,+∞)时恒成立,

? 当 0<a<1 时,函数 y=f(x)-g(x)是 ?0,2
?

1 a

? ?1?
?

上的减函数,存在

x0

? ???? 0,2

1 a

?1

????

,使

得 f(x0)-g(x0)<f(0)-g(0)=1,即不等式 f(x0)≥g(x0)+1 不成立, 综上,实数 a 的取值范围是[1,+∞)

(3)当 a=1 时,由(2)得不等式 f(x)>g(x)+1 在 x∈(0,+∞)时恒成立,

? ? 即

2x ln(x+1)>
x+2

,所以

ln?? ?

1 k

?

1?? ?

?

1

2 ? 2k

k ? N?



11 即 < [ln(k+1)-lnk].
2k+1 2

11

11

11

11

所以 < (ln2-ln1), < (ln3-ln2), < (ln4-ln3),..., < [ln(n+1)-lnn].

32

52

72

2n+1 2

111

11

将上面各式相加得到, + + +…+ < [(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…

357

2n+1 2

1

1

+(ln(n+1)-lnn)]= ln(n+1)= f(n).

2

2

∴原不等式成立.

?

22.解:(1)直线

l

的参数方程为

?? ?

x

?

?1

?

2t 2 ( t 为参数).

? ??

y

?

2t 2

由曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4 cos? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,

把 x ? ? cos? , y ? ? sin? ,代入得曲线 C 的直角坐标方程为 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 .

? ??x ? ?1? (2)把 ?

2t 2 代入圆 C 的方程得 (

2 t ? 3)2 ? (

2 t)2 ? 4 ,

? ??

y

?

2t 2

2

2

9

化简得 t2 ? 3 2t ? 5 ? 0 ,

设 A , B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,

则 ???t1 ? t2 ? 3 ??t1t2 ? 5

2 ,∴ t1

? 0 , t2

? 0 ,则

PA

?

PB

? t1 ? t2

?3

2.

23.解:(1)当 a ? 1时,由 f (x) ? 2 得: 2x ?1 ? x ?1 ? 2 ,

??x ? ? 1

??? 1 ? x ? 1

?x ?1

故有

? ???2

x

2 ?1

?

x

?1

?

2



?2 ??2x ?

1

?

x

?1

?

2



??2x

?

1

?

(x

?1)

?

2



∴ x ? ?4 或 2 ? x ? 1或 x ? 1 ,∴ x ? ?4 或 x ? 2 ,

3

3

∴ f (x) ? 2 的解集为{x | x ? ?4或x ? 2} . 3

??x ?1, x ? 0 (2)当 a ? 0 时 f (x) ? 2x ? x ?1 ? ??3x ?1, 0 ? x ? 1 ,∴ f (x)min ? f (0) ? ?1 ,
??x ?1, x ? 1

由 ?1 ? t2 ? t ? 7 得: t2 ? t ? 6 ? 0 ,∴ ?2 ? t ? 3 ,∴ t 的取值范围为 (?2,3) .

10


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