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上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编-三角函数 Word版含答案


上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

三角函数
一、填空、选择题 1、 (宝山区 2017 届高三上学期期末)若函数 y ? 数 a 的值为 2、 (崇明县 2017 届高三第一次模拟)已知 A,B 分别是函数 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 在 y 轴右 侧 图 像 上 的 第 一 个 最 高 点 和 第 一 个 最 低 点 , 且 ? AOB ? 是 .

cos x sin x 的最小正周期为 a? ,则实 sin x cos x

?
2

,则该函数的最小正周期

x? 3、 ( 虹 口 区 2017 届 高 三 一 模 ) 设 函 数 f ( x ) ? s i n
sin? 2?


c ox s 且 f (? ) ? 1, 则 ,

4、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)已知 sin(? ? ) ? 为 .

π 2

1 π , ? ? (? ,0) ,则 tan? 的值 3 2

5、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测)函数 f ( x) ? 1 ? 3 sin ? x ?
2

? ?

??

? 的最小正周期 4?





6、 (闵行区 2017 届高三上学期质量调研)

1? ? 曲线 C1 : y ? sin x ,曲线 C2 : x ? ? y ? r ? ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,它们交点的个数 ( 2? ?
2

2

)

(A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过 2017 (D) 可超过 2017 7 、 ( 浦 东 新 区 2017 届 高 三 上 学 期 教 学 质 量 检 测 ) 函 数

f

? ?x? ?

3 s i n x ?

??c xo

s

? 3x c的最小正周期为 o sx s i ____________ n .

?

8、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研) 若 ?

?
2

?? ?

?
2

, sin ? ?

cot 2? ?

3 ,则 5

.

9、 (青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研) 已知 f ( x) ? sin

?
3

x ,A ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}

现 从 集 合 A 中 任 取 两 个 不 同 元 素 s 、 t , 则 使 得 f ( s ) ? f (t ) ? 0 的 可 能 情 况 为 …………………( A. 12 种 ). C. 14 种 D. 15 种

B. 13 种

10 、 ( 松 江 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 监 控 ) 已 知 向 量 a ? ( s i n x , co xs, )

?

? ? ? b ? (sin x,sin x) ,则函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周期为





11、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研)若△ABC 中, a ? b ? 4 , ?C ? 30? , 则△ABC 面积的最大值是_________. 12、 (长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研)函数 y ? sin? ?x ? 最小正周期是 ? ,则 ? ? ____________. 13、 (虹口区 2017 届高三一模) 已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

? ?

??

? ( ? ? 0 )的 3?

?
3

) 在区间 ?0, a?(其中 a ? 0 )

上单调递增,则实数 a 的取值范围是(

) .

A. 0 ? a ?

?
2

B. 0 ? a ?

?
12

C. a ? k? ?

?
12

,k ? N?

D. 2k? ? a ? 2k? ?

?
12

,k ? N

14 、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测)已知 ? 为锐角,且 cos(? ?

?
4

)?

sin? ? ________ .
15、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)将 y ? cos 2 x 图像向左平移 所得的函数为( A. y ? cos ? 2 x ? ) .

3 ,则 5

? 个单位, 6

? ? ? ?

??
? 3?

B. y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

C. y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

D. y ? cos ? 2 x ?

??
? 6?

16、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末)已知函数 f ? x ? ? sin wx ? cos wx ? w ? 0? , x ? R , 若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递增, 且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称, 则? 的 值为____________. 17、 (金山区 2017 届高三上学期期末)如果 sin ? ? ? 值是

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的 13

二、解答题 1、 (崇明县 2017 届高三第一次模拟) 在一个特定时段内,以点 D 为中心的 7 海里以内

海域被设为警戒水域.点 D 正北 55 海里处

有一个雷达观测站 A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 ? 且与点 A 相 距

40 2 海里的位置 B 处,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? ? ? (其中
sin ? ? 26 , 26

0? ? ? ? 90? )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C 处.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (2)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

2、 (虹口区 2017 届高三一模)如图,我海监船在 D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至

A 处,此时测得其北偏东 30 ? 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛
位于海监船正东 18 海里处. (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦 截在离 D 岛 12 海里的 E 处( E 在 B 的正南方向) ,不让其进入 D 岛 12 海里内的海 域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到 0.1? ,速度精确到 0.1 海里/小时).

3、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)现有半径为 R 、圆心角 (?AOB) 为 90 ? 的扇形材 料, 要裁剪出一个五边形工件 OECDF , 如图所示. 其中 E , F 分别在 OA, OB 上,C , D 在 ? AB 上,且 OE ? OF , EC ? FD , ?ECD ? ?CDF ? 90? .记 ?COD ? 2? ,五边形 OECDF 的 面积为 S . (1)试求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

4、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当 前台风中心位于城市 A(看做一点)的东偏南 ? 角方向 ? ? cos? ?
? ? 2? ? ,300 km 的海面 P 处, 10 ? ?

并以 20km / h 的速度向西偏北 45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km,并以 10km / h 的速度不断增大. (1) 问 10 小时后,该台风是否开始侵袭城市 A,并说明理由; (2) 城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久?

5、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为

a, b, c .

(1)若 B ?

?
3

, b ? 7, ?ABC 的面积 S ?

3 3 ,求 a ? c 值; 2

BC ? AB ?AC ? c ,求角 C . (2)若 2cos C BA?
2

?

??? ? ??? ? ??? ? ????

?

6、 (青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 ? (1) 求函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

?? ? 1? 3 ? x? ? ? x ? R? . 2 ?4 ?

? ?? 上的最大值; ? 2? ?
1 BC ,求 的值. 2 AB

(2)在 ?ABC 中,若 A ? B ,且 f ? A ? ? f ? B ? ?

7、 (松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜 度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” .兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的 倾斜度和塔高:如图,记 O 点为塔基、P 点为塔尖、点 P 在地面上的射影为点 H.在塔身 OP 射影所在直线上选点 A,使仰角 ?HAP ? 45 ,过 O 点与 OA 成 120 的地面上选 B 点, 使仰角 ?HBP ? 45 (点 A、B、O 都在同一水平面上) ,此时测得 ?OAB ? 27 ,A 与 B 之
? ? ? ?

间距离为 33.6 米.试求: (1)塔高(即线段 PH 的长,精确到 0.1 米) ; (2)塔身的倾斜度(即 PO 与 PH 的夹角,精确到 0.1 ).
?

8、 (徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)已知函数 f ( x) ? (1)当 x ? ?0,

3 cos 2 x cos x

? sin x . 1

? ?? ? 时,求 f ( x) 的值域; ? 2?

(2)已知 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 3, a ? 4, b ? c ? 5 , 求 ?ABC 的面积. 9、 (长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研)在△ ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,

A 2

B , C 的对边,且 8 sin 2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 . 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a ?

3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.

10、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末) 一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到 灯塔 A ,B 在一直线上,并与航线成角 ? 0 ? ? ? 900 .轮船沿航线前进 b 米到达 C 处,
0 此 时 观 测 到 灯 塔 A 在 北 偏 西 45 ? 方 向 , 灯 塔 B 在 北 偏 东 ? 0 ? ? ? 90 方 向 ,

?

?

?

?

(结果用 ? , ? , b 的表达式表示) . 00 ? ? ? ? ? 900 .求 CB .

参考答案:
一、填空、选择题 1、解析:y= cos x ? sin x ? cos 2 x ,T= ? ? a? ,所以,a=1
2 2

2、

8 3 3

3、0 7、 ?

4、 ? 2 2

5、 ?

6、D

8、 【解析】∵ ?

?

2 4 ∴cosα= , 5

?? ?

?
2

, sin ? ?

3 , 5

∴tanα=

3 , 4
∴cot2α=

1 7 = . tan 2? 24

故答案是: 9、B 10、 ?

7 . 24
11、1

12、 【解析】∵ y ? sin? ?x ?

? ?

??

, ? (? ? 0 ) 3?

∴T=

2? =π,∴ω=2.故答案是:2. |? |  

13、B

14、

2 10
5 12

15、A

16.

?
2

17. ?

二、解答题 1、解:(1)因为 0? ? ? ? 90? , sin ? ? 所以 cos ? ? 1 ? sin
2

26 , 26

? ?

5 26 ....................................2 分 26

由余弦定理,得 BC ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos? ? 10 5 ,..........5 分 所以船的行驶速度为
10 5 ? 15 5 (海里/小时)..................6 分 2 3

(2)如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B,C 的坐标分别是 , B (x1,y1),( C x2 ,y2)

? x ? AB ? cos 45? ? 40 由题意,得 ? 1 ............................8 分 ? y1 ? AB ? sin 45? ? 40 ? x2 ? AC ? cos(45? ? ? ) ? 30 ..................................10 分 ? ? y2 ? AC ? sin(45? ? ? ) ? 20
所以直线 BC 的方程为 2 x ? y ? 40 ? 0 .........................12 分
(0, ? 55) 因为点 E 到直线 BC 的距离 d ?

| ax0 ? by0 ? c | a 2 ? b2

?3 5 ?7

所以船会进入警戒水域...............................14 分
2、解:(1)依题意,在 ?ABD 中, ?DAB ? 60 ,由余弦定理得
?

DB2 ? AD2 ? AB2 ? 2 AD?AB? cos 60? ? 182 ? 202 ? 2 ?18 ?15 ? cos 60? ? 364
所以 DB ? 2 91 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 2 91 海里.…………………………5 分 (2)过点 B 作 BC ? AD 于点 C 在 Rt ?ABC 中, AC ? 10 ,所以 CD ? AD ? AC ? 8 …………………… 7 分

以 D 为圆心, 12 为半径的圆交 BC 于点 E ,连结 AE 、 DE ,
2 2 在 Rt ?DEC 中, CE ? ED ? CD ? 4 5 ,所以 BE ? 10 3 ? 4 5

又 AE ?

AC2 ? CE2 ? 6 5
?

n EAC ? ? ? 所 以 s i? AE 6 5 3 , 所 以

CE

4

5

2

2 ?EAC ? a r c s i?n 3

4 ……………… 1 . 81 11 分

外国船只到达点 E 的时间 t ?

BE 5 3 ? 2 5 ? ? 2.09 (小时) 4 2

所以海监船的速度 v ?

AE 6 5 ? ? 6.4 (海里 / 小时) t 5 3?2 5 2

又 90? ? 41.81? ? 48.2? , 故 海 监 船 的 航 向 为 北 偏 东 48.2? , 速 度 的 最 小 值 为 6.4 海 里 / 小 时. ………………14 分 (2)另解:建立以点 A 为坐标原点, AD 为 x 轴,过点 A 往正北作垂直的 y 轴。 则 A(0, 0) , D(18, 0) , B(10,10 3) ,设经过 t 小时外国船到达点 E(10,10 3 ? 4t ) , 又 ED ? 12 ,得 E(10, 4 5) ,此时 t ?

10 3 ? 4 5 ? 2.09 (小时) 4

则 tan ?EAD ?

EH 4 5 2 5 ? ? AH 10 5

?EAD ? arctan

2 5 ? 41.81? ,所以监测船的航向东偏北 41.81? 5

所以海监船的速度 v ?

AE 6 5 ? ? 6.4 (海里 / 小时) t 10 3 ? 4 5 4

3、解: (1)设 M 是 CD 中点,连 OM ,由 OC ?OD ,可知 OM ? CD , ?COM ? ?DOM ? ,

1 ?COD ? ? , MD ? R sin ? ,又 OE ? OF , EC ? FD , OC ? OD ,可得△ CEO ≌△ DFO , 2 1 ? 故 ?EOC ? ?DOF ,可知 ?AOM ? ?BOM ? ?AOB ? , …………2 分 2 4
又 DF ? CD , OM ? CD ,所以 MO / / DF ,故 ?DFO

3? DF DO ,在△ DFO 中,有 , ? 4 sin ?DOF sin ?DFO ? R sin( ? ? ) 4 可得 DF ? ? R(cos? ? sin ? ) ………5 分 3? sin 4 ?
所以 S ? S?COD ? SODF ? SOCE ? S?COD ? 2SODF 1 ? ………8 分 ? R2 sin 2? ? R sin? ( R cos? ? R sin ? ) ? R2 sin 2? ? R2 sin 2 ? (0 ? ? ? ) 2 4 1 1 1 (2) S ? R2 sin 2? ? R2 (1 ? cos2? ) ? R2 (sin 2? ? cos2? ) ? R2 ……………10 分 2 2 2 5 2 1 1 ? R sin(2? ? ? ) ? R 2 (其中 ? ? arctan ) ……………………12 分 2 2 2 当 2? ? ? ? 又

?

2

,即 ? ?

?

4

?

?

2

时, sin(2? ? ? ) 取最大值 1. ……………14 分 ……………………………1 分

?
4

?

?

5 ?1 2 π R . ? (0, ) ,所以 S 的最大值为 2 4 2

4、解: (1)如图建立直角坐标系, 则城市 A? 0,0? ,当前台风中心 P 30 2, ?210 2 ,

?

?

? ? x ? 30 2 ? 10 2t 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为 ? x, y ? ,则 ? ,此时台风的半径为 ? ? y ? ?210 2 ? 10 2t

60 ?10t ,

10 小时后, PA ? 184.4 km,台风的半径为 r ? 160km,

? r ? PA ,

……………………………5 分

故,10 小时后,该台风还没有开始侵袭城市 A. ………1 分 (2)因此,t 小时后台风侵袭的范围可视为以
P 30 2 ? 10 2t , ?210 2 ? 10 2t 为圆心, 60 ?10t 为半径的圆,

?

?

若城市 A 受到台风侵袭,则
? 30 2 ?10 2t ? 0? ? ? ?210 2 ? 10 2t ? 0? ? ? 60 ? 10t ? ? ? ? ?
? 300t 2 ? 10800t ? 86400 ? 0 ,即 t 2 ? 36t ? 288 ? 0 ,……………………………5 分

?

?

2

?

?

2

解得 12 ? t ? 24 答:该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时. 5、解: (1)∵ B ?
2

……………………………1 分 ……………………………1 分

?

1 3 3 , S?ABC ? ac sin B ? ,∴ ac ? 6 ……………………………2 分 3 2 2
2 2

由余弦定理得 a ? c ? b ? 2ac cos B ……………………………………4 分

∴ ? a ? c ? ? 25, a ? c ? 5 ……………………………………….7 分
2

(2)∵

2cos C ? ac cosB? bccosA ? ? c 2 ?2cos C ?acos B ? bcos A ? ? c …………………10 分
又∵ a cos B ? b cos A ? c ……………………………12 分 ∴ 2 cos C ? 1, cos C ? ∵ C ? ? 0, ? ? ,∴ C ?

1 , 2

?

3

……………………………………14 分

1 ? cos 2 x ? 6、解: f ? x ? ? 3 ? 2

?? ? 1 ? cos ? ? 2 x ? ?2 ? ? 1? 3 2 2

1 3 ?? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 2 3? ?
(1)由于 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
2

?

2? ? ? 5 ? 时, f ? x ? 取 ,所以当 2 x ? ? 即 x ? 3 3 2 12 1 ? ,可解得 A ? , 2 4

得最大值,最大值为 1 (2)由已知, A 、 B 是 ?ABC 的内角, A ? B ,且 f ? A ? ? f ? B ? ?

B?

7? 12

所以 C ? ? ? A ? B ? 得

?
6

,

BC sin A ? ? 2 AB sin C ? ? 7、 解:(1)设塔高 PH ? x, 由题意知, ?HAP ? 45 , ?HBP ? 45 , 所以 ?PAH , ?PBH 均为等腰直角三角形 ∴ AH ? BH ? x ……………2 分 ? 在 ?AHB 中,AH ? BH ? x ,?HAB ? 27 ,AB ? 36.6 AB 16.8 2 ∴x? ? ? 18.86 ……………6 分 cos ?HAB cos 27? ? (2)在 ?BOH 中, ?BOH ? 120 , O ? ?O B H ?1 8 0? ? 1 2 0 ? 2? 2 7 ? ? 6 ? ? 18.86 , , BH 120 OH BH ? 由 , B sin ?OBH sin ?BOH 18.86 ? sin 6? ? 2.28 ……………10 分 得 OH ? sin120? OH 2.28 ? arctan ? 6.89? ∴ ?OPH ? arctan ……………13 分 PH 18.86
°

P

H

A

所以塔高 18.9 米,塔的倾斜度为 6.9 。
2

?

……………14 分

8、解: (1)由条件得: f ( x) ? 3 cos x ? sin x ? cos x ? 3 ? 即 f ( x) ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x , 2 2

3 1 3 ………2 分 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2

? 3 ,………3 分 ? sin(2 x ? ) ? 3 2
因为 x ? [0,

?

? 3 ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [? ,1] 2 3 2

因此 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 3 的值域是 [0, ? 1] ………6 分 2 2

(2)由 f ( ) ? 3 ,化简得 sin( A ? 因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ?

A 2

?
3

)?

3 , 2

?

? 4? ? 2? ? ? ( , ) ,所以 A ? ? ,即 A ? .………8 分 3 3 3 3 3 3

2 2 由余弦定理得: b ? c ? bc ? 16 ,所以 (b ? c)2 ? 3bc ? 16 ,

又 b ? c ? 5 ,解得 bc ? 3 ,………12 分 所以 S?ABC ?

1 3 3 .………14 分 bc sin A ? 2 4
2

9、 (1)由 8 sin

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 ,得 4 cos2 A ? 4 cos(B ? C) ? 1 ? 0 ,……(2 分) 2

2 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos(B ? C ) ? ? cos A ,故 (2 cos A ? 1) ? 0 ,…………(4 分)

所以, cos A ?

1 ? ,A? . 2 3
2 2 2

…………………………………………………………(6 分)
2 2

(2)由余弦定理, a ? b ? c ? 2bccos A ,得 b ? c ? bc ? 3 , ………………(2 分)

(b ? c)2 ? 3bc ? 3 ,得 bc ? 2 ,
由? 10.

……………………………………(4 分) ………………………………(8 分)

?b ? c ? 3 , ?b ? 2 , ?b ? 1 , 解得 ? 或? ?bc ? 2 , ?c ? 2 . ?c ? 1 ,

图1
0

图2
0

图3

解:在 ?APC 中, ?ACP ? 45 , ?PAC ? 135 ? ?

AC PC ? sin ? sin ?PAC

AC PC b ? ? sin ? sin ?PAC sin(135? ? ?)
所以 AC ?

b sin ? 2b sin ? = ? sin(135 ? ?) sin ? ? cos ?

2分

解法 2:作 AH ? PC ,设 AC ? x

?APC ? 450 , AH ? CH ?

2 2 x , PH ? x ? cot ? , 2 2
2分

?

2 2 2b x ? cot ? ? x ? b , x ? AC ? 2 2 1 ? cot ?

0 0 0 0 (2)因为 ?B ? 180 ? ? ? 45 ? 45 ? ? ? 90 ? ?? ? ? ?

?

? ?
0

?

4分

又因为 00 ? ? ? ? ? 900 ,所以 0 ? B ? 90 在 ?ABC 中 所以 BC ?

0

AC BC ? sin B sin ?BAC
7分

sin ?BAC sin ? ? AC = ?b sin B cos(? ? ?)

2 sin ? ? ? 450 ? sin ?BAC ?b ? AC = 若 BC ? sin B ?1 ? cot ? ? cos(? ? ?)

不扣分


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