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福建省南安一中10-11学年高二数学下学期期末试题 理 新人教A版【会员独享】


2010~2011 年南安一中高二年下学期期末考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确答案) 1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 5 0 0 0 0 的偶数共有( ) A. 6 0 个 B. 4 8 个 C. 3 6 个 D. 2 4 个 2. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,要求至少有甲型与乙型电视机各 1 台,则 不同的取法共有( ) A. 1 4 0 种 B. 8 4 种 C. 7 0 种 D. 3 5 种 3. (1 ? 2 x ) ( 2 ? x ) 的展开式中 x 的项的系数是(
5
3

) D. ? 1 0 0
? 0 . 618 ,这种矩形给人以美感,称为黄金

A. 1 2 0

B. ? 1 2 0

C. 1 0 0
5 ?1 2

4. 设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与 长度的比值样本: 甲批次:0.598 乙批次:0.618 0.625 0.613 0.628 0.592 0.595 0.622 0.639 0.620 )

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是( A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同

D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 5. 某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ”到 “ ? ? ? ? ? ? ? 9 9 9 9 ”共 1 0 0 0 0 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ” 的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A. 2 0 0 0 B. 4 0 9 6 C. 5 9 0 4 D. 8 3 2 0

6. 某学校每学期在高二年段评出奖学金获得者 20 人,规定高二年 18 个班每班至少获得一个名额, 则高二年 8 班获得两个奖学金名额的概率为( ) A.
1 10

B.

1 9

C.

17 171

D.

18 171

7. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种 方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用 方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p 1 和 p 2 ,则( )

-1-

A. p 1 = p 2

B. p 1 < p 2

C. p 1 > p 2

D。以上三种情况都有可能

8. 在 2010 年某大学的小语种提前招生考试中,我校共获得了 5 个推荐名额,其中缅甸语 2 名, 朝鲜语 2 名,阿拉伯语 1 名,并且缅甸语和朝鲜语都要求必须有男生参加考试。学校通过选拔 定下 3 男 2 女五个推荐对象,则不同的推荐方案共有( A.48 种 9. 下列说法: B.36 种 C.24 种 ) D.12 种

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ? ②设有一个回归方程 y =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;
? ③线性回归方程 y =bx+a 必过 ( x , y ) ; ④匀速直线运动的路程和时间之间具有线性相关关系; 2 ⑤在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 本题可以参考两个分类变量 x 和 y 有关系的可信度表:

P(k ≥k) k

2

0.5 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635 )

0.005 7.879

0.001 10.828

10.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 1 2 0 B. 2 4 0 C. 2 8 0 D. 6 0

11.考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两 个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( A.
1 75

)()
?

?B

B.

2 75

C.

3 75

D.

4 75

C
? E

?F

?

D

? A

12. 对有 n ( n ? 4 )个元素的总体 ?1, 2 , ? , n ? 进行抽样,先将总体分成两个子总体 ?1, 2 , ? , m ? 和 ? m ? 1, m ? 2 , ? , n ? ( m 是给定的正整数,且 2 ? m ? n ? 2 ),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成 样本.用 Pij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率, P1 n = 则 述两个空格分别填( A.
1 n

; 所有 Pij (1≤ i < j ≤ n ? 的和等于

,上

). B.
4 m (n ? m )

,1

,6

C.

4 m (n ? m )

,1

D.

1 n

,6

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
-2-

13.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生,将他们的身 高和体重制成 2×2 列联表,根据列联表的数据,可以有_____%的把握认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身 高和体重之间有关系. 超重 偏高 不偏高 合计
2

不超重 1 12 13

合计 5 15 20
2

4 3 7

(注:独立性检验临界值表参考第 9 题,K =

n ( ad ? bc )

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

.)

14.6 名学生和 1 位老师站成一排照相,甲同学要求不排在左边,乙同学要求不排在右边,而且老师站中间, 则不同的排法有_____种 15.已知 ? ?
? 3 ? ? 3 x ?
n

x ?

展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 6 4 ,则 n 等于_____.

16.2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如右图所示,它是由四个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果在 5 个区域内用红、橙、黄、绿四种颜色进行 涂色,要求相邻区域不能同色,则涂色的方案有_____种. 三 、解答题(本大题共 6 小题共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)下表是某小卖部 6 天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表: 气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 (Ⅰ)将上表中的数据制成散点图,并判断散点图中温度与饮料杯数是否成线性相关关系? ? (Ⅱ)如果把上述关系近似成线性关系的话,经计算得回归方程 y = bx+ a 的系数 b= -1.65,请求出回归直线 方程来近似地表示这种线性关系.(a 的值精确到 0.1) (Ⅲ)如果某天的气温是-5℃时,预测这天小卖部卖出热茶的杯数.

18、 (本题满分 12 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从 本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在 8.0 米(精确 到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后, 分成 6 组画出频率分 布直方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. ( I ) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (II) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中 随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的数学期 ... 望和方差. 19.(本题满分 12 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康, 某地要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,
-3-

只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为 格的概率为
1 10

1 6

,第二轮检测不合

,每轮检测结果只有“合格”“不合格”两种,且两轮检测是否合格相互没有影响. 、

(Ⅰ)求该产品不能销售的概率; .... (Ⅱ) 如果产品可以销售, 则每件产品可获利 40 元; 如果产品不能销售, 则每件产品亏损 80 元 (即获利 ? 80 元) .已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 EX. 20 (本小题满分 12 分) (1) (本小题满分 5 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ? ??1
? 1 a? ? ? b?

,A 的一个特征值 ? ? 2 ,属于 λ 的特征向量是 ? 1

?2? ? ? ? ? ? ?1?

,求矩阵 A 与其逆矩阵.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? co s ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C : ?
? x ? ? 1 ? cos ? ( ? 为 参 数 )上求一点,使它到直线 l 的距离最小,并 ? y ? s in ?

求出该点坐标和最小距离. 21. (本小题满分 14 分)(1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知曲线 C 1 : y ?
1 x

绕原点逆时针旋转 4 5 ? 后可得到曲线 C 2 : y ? x ? 2 ,
2 2

(I)求由曲线 C 1 变换到曲线 C 2 对应的矩阵 M 1 ; (II)若矩阵 M
2

?2 ? ? ?0

0? ? ,求曲线 C 1 依次经过矩阵 M 1 , M 2 对应的变换 T1 , T 2 变换后得到的曲线方程. 3?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?
?x ? 2 ? t ? ?y ? ? 3t

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? co s 2? ? 1 .
2

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 22. (本小题满分 12 分)对某班级 50 名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计,得到如下频率分布 表: 参加次数 人数 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.3

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从该班级任选两名同学,用 η 表示这两人参加社会实践次数之和,记“函数 f ( x ) ? x ? ? x ? 1 在区
2

间 ( 4 , 6 ) 内有零点”的事件为 A ,求 A 发生的概率 P ; (Ⅱ)从该班级任选两名同学,用 ξ 表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数 学期望 Eξ.

-4-

2010~2011 年南安一中高二年下学期期末考数学试卷答案(理科)
命题:陈建设

第Ⅰ卷

选择题(共 60 分)

2011.07

审核:林建源 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确答案) 1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 5 0 0 0 0 的偶数共有( C ) A. 6 0 个 B. 4 8 个 C. 3 6 个 D. 2 4 个 2. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,则 不同的取法共有( C ) A. 1 4 0 种 B. 8 4 种 C. 7 0 种 D. 3 5 种 3. (1 ? 2 x ) ( 2 ? x ) 的展开式中 x 的项的系数是(B )
5
3

A. 1 2 0

B. ? 1 2 0

C. 1 0 0
5 ?1 2

D. ? 1 0 0
? 0 . 618 ,这种矩形给人以美感,称为黄金

4. 设矩形的长为 a ,宽为 b ,其比满足 b ∶ a =

矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与 长度的比值样本: 甲批次:0.598 乙批次:0.618 0.625 0.613 0.628 0.592 0.595 0.622 0.639 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值 0.618 比较,正确结论是(A) A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 5. 某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ”到 “ ? ? ? ? ? ? ? 9 9 9 9 ”共 1 0 0 0 0 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ” 的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为( C ) A. 2 0 0 0 B. 4 0 9 6 C. 5 9 0 4 D. 8 3 2 0

6. 某学校每学期在高二年段评出奖学金获得者 20 人,规定高二年 18 个班每班至少获得一个名额, 则高二年 8 班获得两个奖学金名额的概率为(C ) A.
1 10

B.

1 9

C.

17 171

D.

18 171

7. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种 方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用
-5-

方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p 1 和 p 2 ,则(B) A. p 1 = p 2 B. p 1 < p 2 C. p 1 > p 2 D。以上三种情况都有可能

8. 在 2010 年某大学的小语种提前招生考试中,我校共获得了 5 个推荐名额,其中缅甸语 2 名, 朝鲜语 2 名,阿拉伯语 1 名,并且缅甸语和朝鲜语都要求必须有男生参加考试。学校通过选拔 定下 3 男 2 女五个推荐对象,则不同的推荐方案共有( A.48 种 9. 下列说法: B.36 种 C.24 种 C )

D.12 种

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ? ②设有一个回归方程 y =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;
? ③线性回归方程 y =bx+a 必过 ( x , y ) ; ④匀速直线运动的路程和时间之间具有线性相关关系; 2 ⑤在一个 2×2 列联表中,由计算得 k =13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中正确的个数是 ( B) A.1 B.2 C.3 D.4 本题可以参考两个分类变量 x 和 y 有关系的可信度表:

P(k ≥k) k

2

0.5 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

10.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为(A ) A. 1 2 0 B. 2 4 0 C. 2 8 0 D. 6 0 11.考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两 个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(D) () A.
1 75
?B

B.

2 75

C.

3 75

D.

4 75
?

C
? E

?F

?

D

? A

12. 对有 n(n≥4)个元素的总体 ?1, 2 , ? , n ? 进行抽样,先将总体分成两个子总体 ?1, 2 , ? , m ? 和 ? m ? 1, m ? 2 , ? , n ? (m 是给定的正整数,且 2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成 样本.用 Pij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率, P1 n = 则
1 n

; 所有 Pij (1≤i<j≤ n ? 的和等于
1 n

. (B )

A.

,1

B.

4 m (n ? m )

,6

C.

4 m (n ? m )

,1

D.

,6

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
-6-

13. 某研究小组为了研究中学生的身体发育情况, 在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生, 将他们的身高和体重制成 2×2 列联表,根据列联表的数据,可以有_97.5%______%的把握认为 该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 超重 偏高 不偏高 合计 4 3 7 不超重 1 12 13 合计 5 15 20

(注:独立性检验临界值表参考第 9 题) 独立性检验随机变量 K 2 值的计算公式:K 2=
n ( ad ? bc )
2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

.

14.6 名学生和 1 位老师站成一排照相,甲同学要求不排在左边,乙同学要求不排在右边,而且 老师站中间,则不同的排法有_504__种. 15.已知 ? ?
? x ? 3 ? ? 3 x ?
n

展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 6 4 ,则 n 等于___6__.

16.2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如右图所示,它是由四个相同的直角三
角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果在 5 个区域内用红、橙、黄、绿四种颜色 进行涂色,要求相邻区域不能同色,则涂色的方案有___72_____种.

三 、解答题(本大题共 6 小题共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本题满分 12 分)下表是某小卖部 6 天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表: 气温/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 (Ⅰ)将上表中的数据制成散点图,并判断散点图中温度与饮料杯数是否成线性相关关系? ? (Ⅱ)如果把上述关系近似成线性关系的话,经计算得回归方程 y = bx+ a 的系数 b= -1.65,请 求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系.(a 的值精确到 0.1) (Ⅲ)如果某天的气温是-5℃时,预测这天小卖部卖出热茶的杯数. 解: (Ⅰ)将表中的数据制成散点图如下图
热 数 茶 杯 8 0 6 0 4 0 2 0 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 气 ??????????2 0 温 杯 数


-7-

从散点图中发现温度与饮料杯数近似成线性相关关系. ??????????4 分 (Ⅱ) x =
35 3



y

=

115 3

??????????6 分

把样本中心点( x , y )代入回归直线方程,可得 a≈57.6 用 y =-1.65x+57.6 来近似地表示这种线性关系. ??????????9 分 (Ⅲ)如果某天的气温是-5℃, ? 用 y =-1.65x+57.6 预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为 ? y =-1.65×(-5)+57.6≈66(杯). ??????????12 分 18、 (本题满分 12 分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽 取一个班进行铅球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分 成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图), 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10, 0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. ( I ) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (II) 用 此 次 测 试 结 果 估 计 全 市 毕 业 生 的 情 况 . 若 从 今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不 . 合格的人数,求 X 的数学期望和方差. .. 解:(I)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+ 0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为
7 0 .1 4

?

???????????2 分
? 50

(人). ???????????4 分 ??6 分

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (II) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为 ∴ X ~ B (2, ∴E(X ) ?
2? 7 25 ?

14 50

?

7 25

,???????????8 分

7 25
14 25

) .????10



???????????11 分
? 252 625 . ???????????12

D(X)=2×

7 25

?

18 25



19.(本题满分 12 分) 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,某地要求产品在进入市场前必须进行两 轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不 合格的概率为 ,第二轮检测不合格的概率为
6 1 1 10

,每轮检测结果只有“合格”“不合格” 、

两种,且两轮检测是否合格相互没有影响. (Ⅰ)求该产品不能销售的概率; ....
-8-

(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元) .已知一箱中有产品 4 件,记一箱产品获利 X 元,求 EX. 解: (Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件 A,则
P ( A ) ? 1 ? (1 ? 1 6 ) ? (1 ? 1 10 )? 1 4

.所以,该产品不能销售的概率为

1 4

.

……………4 分

法一: (Ⅱ)由已知,可知 X 的取值为 ? 3 2 0, ? 2 0 0, ? 8 0, 4 0,1 6 0 .
1 4 1 P ( X ? ?320) ? ( ) ? 4 256

………………………5 分 ,



1 3 3 3 1 P ( X ? ?200) ? C 4 ? ( ) ? ? 4 4 64

1 2 3 2 27 2 P ( X ? ?80) ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? 4 4 128
3 4 81 P ( X ? 160) ? ( ) ? 4 256

,P(X

? 40) ? C 4 ?
3

1

3 3 27 ?( ) ? 4 4 64



. -320
1 256

……………………………………10 分 -200
3 64

所以 X 的分布列为 X P -80
27 128

40
27 64

160
81 256

………………11 分 E(X) ?
?320 ? 1 256 ? 200 ? 1 64 ? 80 ? 27 128 ? 40 ? 27 64 ? 160 ? 81 256

? 40

,所以均值 E(X)为 40.

法二: 设一箱 4 件产品能销售的有 x 件, x 服从二项分布 B( 4 , 则 Ex= 4 ?
3 4 ?3

3 4

), X=40x-80(4-x)=120x-320, 且

,EX=120Ex-320=40.

20 (本小题满分 12 分) (1) (本小题满分 5 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A 逆矩阵. 解:(1) ①由 ? 1 ?
? ? A-1 = ? ? ? ? 2 3 1 6 ?
a ? ?1 ??2? ?2? ?? ? ? 2? ? b ? ?1 ? ?1 ?

?1 ? ? ?? 1

a? ? b?

,A 的一个特征值 ?

? 2

, 属于 λ 的特征向量是. ? 1

?2? ? ? ? ?1 ?

,求矩阵 A 与其

,得 ? ?

2? a ? 4

??2 ? b ? 2

,解得 A ? ?

? 1 ? ?1

2? ? 4?

???????3 分 ,

1? ? 3 ? ???????5 1 ? ? 6 ?



(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程是 ? co s ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲线 C 它到直线 l 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.
-9-

? x ? ? 1 ? cos ? :? ( ? 为 参 数 )上求一点,使 ? y ? s in ?

解:直线 l 的直角坐标方程是 x ?
? 1 ? cos ? ? sin ? ? 1 2
当? ?

y ?1 ? 0

设所求的点为 P ( ? 1 ? cos ? , sin ? ) ,则 P 到直线 l 的距离
d ? ? sin( ? ?

?
4

)?

2
, k ? Z, 的 最 小 值 为 2 ? 1 d

?
4

? 2 k? ?
2 2

?
2
,

, k ? Z 时,即 ? ? 2 k ? ?
2 2

?
4

此时 P ( ? 1 ?

)

21. (本小题满分 14 分) (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知曲线 C 1 :
y ? 1 x

绕原点逆时针旋转 4 5 ? 后可得到曲线 C 2
0? ? 3?

:y ? x ? 2
2 2



(I)求由曲线 C 1 变换到曲线 C 2 对应的矩阵 M 1 ; (II)若矩阵 M 2 程.
? 2 ? 解: (I)依题意得 M 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
?2 ? ? ?0

, 求曲线 C 1 依次经过矩阵 M 1 , M 2 对应的变换 T1 , T 2 变换后得到的曲线方



(II)设依次经过矩阵 M 1 , M 2 对应的变换 T1 , T 2 对应的矩阵
M ? M 2M ?2 ? ? ? ?0
1 x

1

? 2 ? 0? ??? 2 ? 3? ? 2 ? ? 2

?

2 ? ? ? 2 2 ? ? ? ?3 2 2 ? ? ? ? 2 2 ?

?

2? ? 3 2 ? ? 2 ?
? x' ? ?x? 作用下变成点 P ( x , y ), 则有 ? ' ? ? M ? ? ? ? ? ? ? y? ?y ?
' ' '

任取曲线 C 1 :

y ?

上的一点 P ( x , y ), 它在变换 T M
? 3x ? 2 y ?x ? ? 6 2 ,? ? ' ' 2 y ? 3x ?y ? ? 6 2 ?
' '

,即

? x' ? 2x ? 2y ? ? ' 3 2 3 2 x? y ?y ? 2 2 ?

又因为点 P 在 C 1 :

y ?

1 x

上,得到

y

' 2

?

x 8

' 2

? 1即

y 18

2

?

x 8

2

?1。

18
?x ? 2 ? t ? ?y ? ? 3t

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 co s 2?
? 1.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程;
- 10 -

(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 解: (1)由 ? 2 co s 2? ? 1 . 得 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 (2)由 ?
y ?

? 1,

? y

2

?1

???????????????2 分
? 3 ( x ? 2)

?x ? 2 ? t ? ?y ? ? 3t

消去 t 得 l 的普通方程为 y
? y
2

,?????????4 分 , , ????????5 分

3 ( x ? 2)

,与 x 2

? 1 联立消去

y 得2x2

? 12 x ? 13 ? 0

设 l 与 C 交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2),则 x1+ x2=6,x1 x2= ∴直线 l 被曲线 C 截得的弦长为

13 2

|AB|= (1 ? 3 )[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 ] ? 4 ( 36 ? 26 ) ? 2 10 , ????????7 分 22. (本小题满分 12 分)对某班级 50 名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计,得到 如下频率分布表: 参加次 0 1 2 3 数 人数 0.1 0.2 0.4 0.3 根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从该班级任选两名同学,用 η 表示这两人参加社会实践次数之和,记“函数
f (x) ? x
2

? ? x ? 1 在区间 ( 4

, 6 ) 内有零点”的事件为 A ,求 A 发生的概率 P ;

(Ⅱ)从该班级任选两名同学,用 ξ 表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ. 解 :( Ⅰ ) 函 数
f

? x? ?

x ?? x ?1
2

( 在

?
2

, ? )内 单 调 递 增 , 在 区 间 ( 4 , 6 ) +

上有零点的条件是

?1 6 ? 4? ? 1 ? 0 , ? f ( 4 ) ? 0, 即: ? ? ? 3 6 ? 6? ? 1 ? 0 , ? f ( 6 ) ? 0,

解得:

15 4

?? ?
2

35 6

,所以,?
1 1

? 4 或? ? 5

;?????????????????3 分
C 20 ? C 15
1 1

P (? ? 4 ) ?

C 20 ? C 10 ? C 15 C 50
2

?

68 245

, P (?

? 5) ?

C 50

2

?

12 49

,????????5 分

? ? 4 与 ? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式得:
P ? P (? ? 4 ) ? P (? ? 5 ) ? 68 245 ? 12 49 ? 128 245

, ?????????????? 6 分 2 20 3 15
- 11 -

(Ⅱ) 根据频率分布得到频数分布: 参加次 0 1 数 参加人 5 10 数

从该班级任选两名同学,用 ? 表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值,则 ? 的可能取 值分别是 0,1,2,3,?????????????????????8 分 于是:
P ?? ? 0 ? ? C 5 ? C 10 ? C 20 ? C 15
2 2 2 2

C 50

2

?

2 7



P ( ? ? 1) ?

C 5 C 10 ? C 10 C 20 ? C 15C 20
1 1 1 1 1 1

C 50
P ( ? ? 3) ? C 5C 15 C 50
2 1 1

2

?

22 49



P (? ? 2 ) ?

C 5C 20 ? C 10 C 15
1 1 1 1

C 50

2

?

10 49



?

3 49

. ????10 分

从而 ? 的分布列如下表:
?
P

0
2 7

1
22 49

2
10 49

3
3 49

?

的数学期望为 E ?

? 0?

2 7

? 1?

22 49

? 2?

10 49

? 3?

3 49

?

51 49

. ?????????12 分

- 12 -


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