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江苏省扬州中学2015届高三数学第四次模拟考试(5月)试题


2015 届高三第四次模拟考试试卷答案 数 学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上) 1. 已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N= 【答案】(0,1) ▲ . a+i 2. 复数 z= 为纯虚数,则实数 a 的值为 1-i 【答案】1 ▲ . 3. 某学校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已 知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽 取的人数为 【答案】8 4. 执行如图所示流程图,得到的结果是 7 【答案】 8 ▲ . ▲ . x y 4 5. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= x,那 a b 3 么该双曲线的离心率为 5 【答案】 3 6. 将一颗骰子先后抛掷 2 次, 观察向上的点数, 则所得的两个点数中至少有一个是奇数的 概率为 3 【答案】 4 7. 函数 f (x)= 1 +a(x≠0) ,则“f (1)=1”是“函数 f (x)为奇函数”的 ▲ x 3 -1 条 ▲ . ▲ . 2 2 件(用“充分不必要” , “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写) . 【答案】充要 8. 若一圆锥的底面半径为 3,体积是 12π ,则该圆锥的侧面积等于 【答案】15π 9. 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 【答案】4 32≥0, 即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0.又 x+2y>0,∴x+2y≥4. 解:x+2y=8-x·(2y)≥8-? ▲ . ?x+2y?2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)- ? ? 2 ? 1 π 10. 函数 y=sinα ·(sinα -cosα ) (a∈[- ,0])的最大值为 2 1 2 【答案】 + 2 2 11. 已知△ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 AB + ▲ . 1 AC = AD ,且| CD |= 3,那么 2 DA ? DC = 【答案】3 ▲ 2 . ?-x +ax (x≤1) 12. 已知函数 f (x)=? ,若 ? x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f (x1)=f (x2)成立, (x>1) ?2ax-5 则实数 a 的取值范围是 【答案】(-∞,4) ▲ . 1 1 13. 已知函数 f (x)满足 f (x)=f ( ),当 x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[ ,3]内, x 3 函数 g(x)=f (x)-ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ln3 1? 【答案】? ? 3 ,e? ? ? 14. 各项均为实数的等差数列的公差为 2, 其首项的平方与其余各项之和不超过 33, 则这样 的数列至多有 【答案】7 解:a1+a2+a3+···+an=a1+ +n(n-1)=? ?a1+ 2 2 ▲ . ▲ 项. (n-1)(a2+an) 2 2 =a1+(n-1)(a1+n)=a1+(n-1)a1 2 (n-1) ? n-1?2 (n-1)(3n+1) =?a1+ + ≤33 4 2 ? 4 ? ? (n-1)(3n+1) ≤33 4 2 ? n-1?2 +n(n-1)- 2 ? ? 为了使得 n 尽量大,故? ?a1+ ? n-1?2 =0,∴ 2 ? ? ∴(n-1)(3n+1)≤132,当 n=6 时,5×19<132;当 n=7 时,6×22=132, 故 nmax=7. 【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) π 1? 已知函数 f (x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ <π ),其图像经过点 M? ? 3 ,2?,且与 ? ? x 轴两个相邻的交点的距离为 π . (1)求 f (x)的解析式; 3 5 (2)在△ABC 中,a=13,f (A)= ,f (B)= ,求△ABC 的面积. 5 13 解:(1)依题意知,T=2π ,∴ω =1,∴f (x)=sin(x+φ ) ………2 分 即φ π π 1 π π 4π π 5π ∵f ( )=sin( +φ )= ,且 0<φ <π ∴ < +φ < ∴ +φ = 3 3 2 3 3 3 3 6 = π 2 ……5 分 2 π? ∴f (x)=sin? ?x+ 2 ?=cosx. ? ? 3 5 (2)∵f (A)=cosA= ,f (B)=cosB= , 5 13 4 12 ∴sinA= ,sinB= 5 13 56 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 65 ∵在△ABC 中 = sinA sinB π ∴A,B∈(0, ) 2 ………6 分 注意:不写 φ 的范围,直接得 φ 的值扣 1 分,f (x)的解析式不化简不扣分. ………8 分 ………10 分 ………12 分 ………14 分 A1 C1 a b ∴b=15. 1 1 56 ∴S△ABC= absinC= ×13×15× =84. 2 2 65 注意:其他解法参照给分 16. (本小题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D, 求证:平面 AB1D⊥平面 ABM. A B1 M 证明:(1) 记 A1B∩AB1=O,连接 OD. ∵四边形

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