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2.2直线、平面平行的判定及其性质


2.2 直线、 直线、平面平行的 判定及其性质

主要内容
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.1 直线与平面平行的 判定

复习 直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以 下三种 三种: 三种 (1)直线在平面内——有无数个公共点. (2)直线和平面相交——有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行——无公共点. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在 平面外.

直线和平面的三种位置关系的画法

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

观察 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面, 观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎 样的位置关系? l

直线和平面平行
思考 如图,设直线b在平面α 如图,设直线b在平面α内,直线a在平面 直线a 猜想在什么条件下直线a与平面α平行. α外,猜想在什么条件下直线a与平面α平行.

a

a//b
α
b

直线和平面平行
判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

b

α

判定定理的证明
a 已知: ? α b ? α ,
求证: // α a 证明:因为a // b 所以经过a、b确定一个平面β. 因为 a?α ,而a?β , 所以α 与β是两个不同的平面. 因为b?α,b? β 所以 α∩β=b

a // b ,
b

α

未完

判定定理的证明

下面用反证法证明a与α没有公共点:
假设a与α有公共点P∈α,而α∩β=b,得P∈b, 所以 点P是a、b的公共点,这与a//b矛盾. 所以a//α

例1 求证:空间四边形相邻两边中点的 求证: 连线,平行于经过另外两边的平面. 连线,平行于经过另外两边的平面.
E、 已知:空间四边形 ABCD 中, F 分别是 AB、AD 的中点.

求证: EF //平面 BCD . 证明:连结 BD .

AE = EB ? ? AF = FD ?
? EF // BD ? ? 又EF ? 平面BCD ? BD ? 平面BCD ? ?

? EF // 平面BCD

在长方体ABCD—A1B1C1D1中. 例2 在长方体 且与直线BD 平行的截面, (1)作出过直线 且与直线 1平行的截面,并 )作出过直线AC且与直线 说明理由. 说明理由 分别是A 和 的中点, (2)设E、F分别是 1B和B1C的中点,求证直线 ) 、 分别是 的中点 EF//平面 平面ABCD. 平面 D1 C1 M A1 D E A G B B1

F C H

小结
直线与平面平行的判定定理可简述为 “线线平行,则线面平行” 思想方法 通过直线间的平行,推证直线与平面平 行,即将直线与平面的平行关系(空间问题) 转化为直线间的平行关系(平面问题).

作业
P55-56练习1,2 P62 习题2.2 A组 3,4

2.2.2

平面与平面平行的判定

思考1 思考1: 我们知道,两个平面的位置关系是平行或 相交.
α β

问:对于两个平面α、β,你猜想在什么条件 对于两个平面 、 , 下可保证平面α与平面 平行? 与平面β平行 下可保证平面 与平面 平行?

思考2 思考2 1.三角板的一条边所在直线 与桌面平行,这个三角板所在平 面与桌面平行吗? 2. 三角板的两条边所在 直线分别与桌面平行,三角板 所在平面与桌面平行吗?

A

A

思考3 思考 1.一般地 如果平面α 一般地, 1.一般地,如果平面α内有一条直线平行 于平面β 那么平面α与平面β一定平行吗? 于平面β,那么平面α与平面β一定平行吗? 如果平面α内有两条直线平行于平面β 2. 如果平面α内有两条直线平行于平面β, 那么平面α与平面β一定平行吗? 那么平面α与平面β一定平行吗? α β

两个平面平行的判定
判定定理: 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

平面平行的判定定理的证明 已知:在平面β内,有两条直线 a 、 相交且和 b 平面α平行. 求证:// β . α 证明:用反证法证明. 假设 α I β = c . Q a // α , a ? β , ∴ a // c 同理 b // c, ∴ a // b 是相交直线是矛盾的. 这与题设 a 和 b 是相交直线是矛盾的. ∴α // β

例题分析
已知:在正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD例1 已知:在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证:平面AB′D′∥平面BC′D. AB′D′∥平面 求证:平面AB′D′∥平面BC′D. D′ A′ D A B B′ C C′

在三棱锥P ABC中 例2 在三棱锥P-ABC中,点D、E、F分别是 PAB、 PBC、 PAC的重心 的重心. △PAB、△PBC、△PAC的重心. 求证:平面DEF//平面ABC. 求证:平面DEF//平面ABC. DEF//平面 P F A D M B E N C

练习
' 交与点 O, AA=A' O, 已知: 直线 AA'、BB '、CC ',

BB ' = B' O,

CC ' = C ' O,求证:平面 ABC //平面 A' B ' C ' 求证: //平面

小结
1. 知识小结 2. 思想方法 线线平行 线面平行 面面平行

作业
P58练习1,2,3 P62 习题2.2 A组 7,8

2.2.3 直线与平面平行的 性质

复习 直线与平面平行的判定定理是什么? 定理 若平面外一条直线与此平面内的

一条直线平行,则该直线与此平面平行. 一条直线平行,则该直线与此平面平行.

问:其逆定理是否成立? 其逆定理是否成立?

思考1 思考1 如果直线a与平面α平行,那么直线a 如果直线a与平面α平行,那么直线a与平 内的直线有哪些位置关系? 面α内的直线有哪些位置关系?

a α

思考2 思考2 若直线a与平面α平行,那么在平面α 若直线a与平面α平行,那么在平面α内与直 平行的直线有多少条? 线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如 何?

a α

思考3 思考3 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行?

a α

直线与平面平行
性质定理及证明 如果一条直线和一个平面平行, 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 已知: // α ,α ? β ,α I β = b a 求证: // b . a
证明: I β = b . α
? b ?α? ? a // α ?

? a I b = ?? ? 又a ? β ? ? a // b ? b?β ?

问题解决 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如 何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行? 灯管

地面

例 1 在图中所示的一块木料中,棱BC平行于平 面A’C’ . (1)要经过平面 A′C ′ 内的一点P 和棱BC将木料据 开,应怎样画线? (2)所画的线和平面AC 是什么位置关系?
D′ A′ D A B P B′ C′

C

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平 行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面. 如图,已知直线a,b和 平面α ,a∥b,a∥α , a, b都在平面α外 . 求证:b∥α .

b a c

α

练习 如果三个平面两两相交,有三条交线,如 果有两条交线平行,那么第三条交线和这两条 交线的位置关系如何? b β

γ
α

l

a

三条交线两两平行

小结
直线与平面平行的性质定理可简述为 “线面平行,则线线平行” 线面平行,则线线平行” 思想方法 线面平行的性质定理不但提供了用线面平 行来证明线线平行的方法, 行来证明线线平行的方法,也提供了作平行线 的一种方法. 的一种方法

作业
P61-63习题2.2 A组1,2,5,6

2.2.4

平面与平面平行的性质

复习1: 复习1:

两个平面的位置关系是 平行或相交 .

α β

复习2: 复习2:

两个平面平行的判定

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都 判定定理: 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

思考1 思考1 若 α // β,l ?α ,则直线l与平面β的位置关系 如何?
l

α

β

两个平面平行的性质
结论1 结论 如果两个平面平行,那么其中一个平面内 的直线平行于另一个平面.
a

α

α // β , a ? α ? a // β
β

思考2 思考2 与平面α相交, 若 α // β ,直线 l 与平面α相交,那么直 与平面β的位置关系如何? 线 l 与平面β的位置关系如何?

l α β

思考3 思考3 //β 平面α 分别与平面γ 若 α//β ,平面α、β分别与平面γ相交于 直线a 那么直线a 的位置关系如何? 直线a、b,那么直线a、b的位置关系如何?为什 么?

α β

a b
γ

两个平面平行的性质定理 定理:如果两个平行平面同时和第三个平 如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行. 面相交,那么它们的交线平行.

α // β ? ? 即:α I γ = a ? ? a // b β I γ = b? ?

这个定理判定两直线平行的依据之一

求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.

A β Bγ

C

α

D

在正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD例2 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M在CD′ 试判断直线MB′与平面BDA′的位置关系, MB′与平面BDA′的位置关系 上,试判断直线MB′与平面BDA′的位置关系,并说 明理由. 明理由. C′ D′ M C D A A′ B B′

如图,已知AB CD是夹在两个平行平面 AB、 是夹在两个平行平面α 例3 如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、 之间的线段, 分别为AB CD的中点 求证: AB、 的中点, β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点,求证: MN∥平面 平面β. MN∥平面β. A M β B E D
l

C N

α

练习1 练习 如果三个平面两两相交, 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 位置如何? 位置如何? b β γ l α
相交于一条交线 三条交线两两平行

β γ a α

a

b

l

三条交线相交 于一点

应用举例
练习2 练习 一条斜线和两个平行平面相交, 一条斜线和两个平行平面相交,求证它和两 个平面所成的角相等. 个平面所成的角相等.

小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用 2. 思想方法
面面平行 线面平行或线线平行

作业
P61 练习 P63习题2.2 B组2,3,4


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