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湖北省武汉市武汉中学2014-2015学年高二上学期期中考试(理)数学试题Word版含答案


湖北省部分重点中学 2014--2015 学年度上学期高二期中考试
理科数学试卷

命题人:武汉中学 缪艳青

审题人:武汉四中 李文溢

全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的. 1.根据下列算法语句,当输入 x 为 60 时,输出 y 的值为

输入 x
If x≤50 Then
y=0.5 * x
Else y=25+0.6*(x-50)
End If 输出 y

A.25

B.30

C.31

D.61

2.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? lg 1 ? x } ,在区间 (?3,3) 上任取一实 x?2
数 x ,则 x ? A ? B 的概率为

1

1

1

1

A.

B.

C.

D.

3

4

8

12

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过 3 次而

接通电话的概率为

A. 9 10

B. 3 10

C. 1 8

D. 1 10

4.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关

于该同学数学成绩的以下说法:

①中位数为 84; ②众数为 85;

③平均数为 85; ④极差为 12.

其中,正确说法的序号是

A. ①②

B.③④

78 8335 910

C. ②④

D.①③

5.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用 2×2

列联表进行独立性检验,经计算 K2=8.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把

握性约为

P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

A.0.1%

k0 B.1%

2.706 3.841 C.99%

5.024 6.635 D.99.9%

10.828

6.执行如下的程序框图,若输入的 x ?[0,1] ,则输出的 x 的范围是

A.[1,3]

B.[3,7]

C.[7,15]

D.[15,31]

开始

2
输入 x

n=1

n≤3


否 输出 x

1
2 正视图

1

1

侧视图

7.一个几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为

2?
A.
3

4?
B.
3

3?
C.
4

3?
D.
2

8.设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB ? 3 ,

AC ? 4 , AD ? 11 ,则球的表面积为

A. 36?

B. 64?

C. 100? D. 144?

9.下表是一位母亲给儿子作的成长记录:

年龄/周岁

3

4

5

6

7

8

9

身高/cm

94.8

104.2

108.7

117.8

124.3

130.8

139.1

根 据 以 上 样 本 数 据 , 她 建 立 了 身 高 y (cm) 与 年 龄 x ( 周 岁 ) 的 线 性 回 归 方 程 为

y? ? 7.19x ? 73.93 ,给出下列结论:

① y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本的中心点(42,117.1);
③儿子 10 岁时的身高是145.83 cm; ④儿子年龄增加 1 周岁,身高约增加 7.19 cm.
其中,正确结论的个数是

A.1

B.2

C. 3

D. 4

10.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? (x ?1)2 图象上的任意一点,点 Q(2a, a ? 3)

( a ? R ) ,则| PQ | 的最小值为

A. 8 5 ? 2
5

B. 5

C. 5 ? 2

D. 7 5 ? 2
5

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答.题.卡.对.应.题.号.的位 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

11.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随

机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,…,196-200

号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 10 组抽出的号码应是_________.

12.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒 黄豆随机撒在 ?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率是_________.
13.过点 P(1,2) 引圆 x2 ? y2 ? 1的两条切线,这两条切线与 x 轴和 y 轴围成的四边形的面

积是_________.

14.如图所示, ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,给出以下五个结论: ① BD // 平面 CB1D1 ;

② AC1 ⊥平面 CB1D1 ;

③ AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2;

④二面角 C ? B1D1 ? C1 的正切值是 2;
⑤过点 A1 且与异面直线 AD 和 CB1 均成 70°角的直线有 2 条.
其中,所有正确结论的序号为________.
15.已知圆 M : (x ? cos? )2 ? ( y ? sin? )2 ? 1 ,直线 l : y ? kx ,给出下面四个命题:
①对任意实数 k 和? ,直线 l 与圆 M 有公共点; ②对任意实数 k ,必存在实数? ,使得直线 l 与圆 M 相切; ③对任意实数? ,必存在实数 k ,使得直线 l 与圆 M 相切; ④存在实数 k 与? ,使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3.
其中,所有正确命题的序号是________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分) 在一个盒子中装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品和 1 枝三等品,从中任取 3 枝,求: (Ⅰ)取出的 3 枝中恰有 1 枝一等品的概率; (Ⅱ)取出的 3 枝中一、二、三等品各一枝的概率; (Ⅲ)取出的 3 枝中没有三等品的概率.
17.(本小题满分 12 分)
已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,且直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点.
(Ⅰ)若| AB |? 17 ,求直线 l 的倾斜角;
(Ⅱ)若点 P(1,1) 满足 2 AP ? PB ,求此时直线 l 的方程。

18.(本小题满分 12 分)

为了分析某次考试数学成绩情况,用简单随机抽样从某班中抽取 25 名学生的成绩(百

分制)作为样本,得到频率分布表如下:

分数

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

频数

2

3

9

a

1

频率

0.08

0.12

0.36

b

0.04

(Ⅰ)求样本频率分布表中 a,b 的值,并根据上述频率分布表,在下表中作出样本频率分布直方图; (Ⅱ)计算这 25 名学生的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人,求至少有 1 人的成绩在[60,70)中的概率.
频率/组距

0.045

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020 0.015 0.010

19.(本小题满分 12 分)

0.005

O

50 60 70 80 90 100 成绩/分

如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AB // CD , ?BAD ? ?ADC ? 90? ,

AB ? AD ? 2CD , E 为 PB 的中点.

(Ⅰ)证明: CE ? AB ;

(Ⅱ)若二面角 P ? CD ? A 为 45? ,求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值.

(Ⅲ)若 PA ? kAB ,求平面 PCD 与平面 PAB 所成的锐二面角的余弦值

P

E

A

D

20.(本小题满分 13 分)
已知关于 x 的二次函数 f (x) ? ax2 ? 4bx ?1.

(Ⅰ)设集合 A ? {?1,1,2,3,4,5} 和 B ? {?2,?1,1,2,3,4} ,分别从集合 A , B 中随机取一个数

作为 a 和 b ,求函数 y ? f (x) 在区间[1,??) 上是增函数的概率.

(Ⅱ)设点 (a,b)

是区域

?x ??x

? ?

y? 0,

8

?

0,内的随机点,求函数

f

(x)

在区间[1,??)

上是增函数的概率.

?? y ? 0

21.(本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 过坐标原点 O 且圆心在曲线 y ?

3
上.

x

(Ⅰ)若圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B (不同于原点 O),求证: ?AOB 的面积为定值;

(Ⅱ)设直线l : y ? ? 3 x ? 4 与圆 M 交于不同的两点 C,D,且| OC |?| OD | ,求圆 M 的方程; 3

(Ⅲ)设直线 y ? 3 与(Ⅱ)中所求圆 M 交于点 E 、F , P 为直线 x ? 5 上的动点,直线 PE ,

PF 与圆 M 的另一个交点分别为 G , H ,求证:直线 GH 过定点. 湖北省部分重点中学 2014--2015 学年度上学期高二期中考试
理科数学试卷参考答案及评分细则

一、选择题: 1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.B 10.C

二、填空题:
11.47 12. 1 2

13. 13 8

14.①②④ 15.①②

三、解答题:

16.(本小题满分 12 分)
解:记 3 枝一等品为 A, B,C ,2 枝二等品为 D, E ,1 枝三等品为 F .

从 6 枝圆珠笔中任取 3 枝的方法有 20 种(列举略). ( Ⅰ ) 取出 的 3 枝 中恰有 1 枝一 等 品的 方 法有 9 种( 列 举略 ),所以 , 所 求概 率

p1

?

9 20

.

………………(4 分)

(Ⅱ)取出的 3 枝中一、二、三等品各一枝的概率的方法有 6 种(列举略),所以,所求概



p2

?

3 10

………………(8 分)

(Ⅲ)取出的 3 枝中没有三等品的方法有 10 种(列举略),所以,所求

概率

p3

?

1 2

.

17.(本小题满分 12 分)

………………(12 分)

解:直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 恒过点 (1,1) ,且点 (1,1) 在圆 C 内,所以直线与圆相交.

(Ⅰ)因为圆心 C(0,1) 到直线 l 的距离 d ? | m | ,圆的半径为 5 , m2 ?1

所以 ( 5)2 ? ( | m | )2 ? ( 17 )2 ,解得 m ? ? 3 .

m2 ?1

2

当 m ? 3 时,直线 l 的方程为 y ? 3x ? 1 ? 3 ,斜率为 3 ,倾斜角为 60? ;

当 m ? ? 3 时 , 直 线 l 的 方 程 为 y ? ? 3x ?1? 3 , 斜 率 为 ? 3 , 倾 斜 角 为

120? .

…………………(6 分)

(Ⅱ)联立方程组

?x2 ?

?

(y

? 1)2

?

5,

?mx ? y ? 1 ? m ? 0,

消去 y 并整理,得 (1 ? m2 )x2 ? 2m2x ? m2 ? 5 ? 0 .

所以

x1

?

x2

?

2m2 1? m2



x1

?

x2

?

m2 1?

?5 m2

.



设 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ,则 AP ? (x1 ?1, y1 ?1) , PB ? (1 ? x2,1 ? y2 ) . 其中 y1 ? mx1 ? 1 ? m , y2 ? mx2 ? 1 ? m .

由 2 AP ? PB ,得 2x1 ? x2 ? 3 且 2 y1 ? y2 ? 3 .



2 x1

?

x2

?

3

代入①式,解得

x1

?

m2 m2

?3 ?1



A

的坐标为

(

m2 m2

? ?

3 1

,

1

?

2m ? m m2 ?1

2

)

把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m ? ?1.

当 m ? 1 时,所求直线方程为 x ? y ? 0 ;

当 m ? ?1时,所求直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

……………(12 分)

18.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)由 2 ? 3 ? 9 ? a ? 1 ? 25 ,得 a ? 10 ; 由 10 ? 0.4 ,得 b ? 0.4 .
25
频率分布直方图如下:
频率/组距

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004

O

50 60 70 80 90 100 成绩/分

…………………(5 分)

(Ⅱ)平均数为

x ? 55 ? 0.08 ? 65 ? 0.12 ? 75 ? 0.36 ? 85 ? 0.4 ? 95 ? 0.04 ? 77 ;
方差为

s2 ? 1 [(55 ? 77)2 ? 2 ? (65 ? 77)2 ? 3 ? (75 ? 77)2 ? 9 25 ? (85 ? 77)2 ?10 ? (95 ? 77)2 ?1]

? 1 [(?22)2 ? 2 ? (?12)2 ? 3 ? (?2)2 ? 9 ? 82 ?10 ? 182 ?1] ? 96 . 25


s2 ? (?22)2 ? 0.08 ? (?12)2 ? 0.12 ? (?2)2 ? 0.36 ? 8 ? 0.4 ?18 ? 0.04 ? 96 .

…………………(9 分)
(Ⅲ)成绩在[50,60)的学生共有 2 人,记为 a,b ,在[60,70)共有 3 人,记为 c, d ,e .

从成绩在[50,70)的 5 名学生任选 2 人的方法有 10 种(列举略),其中 至少有 1 人的成绩在[60,70)中方法有 9 种(列举略),

所以,所求概率 p ? 9 . 10

………………(12 分)

19.(本小题满分 12 分)

P

解:(Ⅰ)取 AB 的中点 F,连结 EF,FC,

则 EF // PA,CF // AD .

因为 PA ? 平面 ABCD ,

所以 EF ? 平面 ABCD . 因为 AB ? 平面 ABCD , 所以 EF ? AB . 因为 AB ? AD , 所以 AB ? CF . 因为 EF ? 平面 EFC , CF ? 平面 EFC , 所以 AB ? 平面 EFC .

E A
F B

D C

因为 CE ? 平面 EFC ,

所以 CE ? AB .

…………………(4 分)

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,

所以 PA ? CD .

因为 AD ? CD ,

所以 CD ? 平面 PAD .

所以 CD ? PD .

所以 ?PDA 为二面角 P ? CD ? A 的平面角. 所以 ?PDA ? 45? . 所以 PA ? AD .

因为 AB ? AD ? 2CD , 所以 PA ? AB ? AD .

由(Ⅰ)知, ?CEF 为 CE 与平面 PAB 所成的角.

因为 tan ?CEF

?

CF EF

?

AD EF

?

AD 1 PA

?

2,

2

所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正切值为 2.

………………(8 分)

(Ⅲ)过点 P 作 PG // CD ,

由 PA ? 平面 ABCD ,? PA ? AB ,? PA ? PG

由 BA ? 平面 PAD ,?CD ? 平面PAD ,?CD ? PD ? PG ? PD , ??APD 为所
求锐二面角的平面角

cos?APD ? PA ? k PD 1 ? k 2

………………(12 分)

20.(本小题满分 13 分)

解:要使函数 y ? f (x) 在区间[1,??) 上是增函数,则 a ? 0 且 ? ? 4b ? 1 ,即 a ? 0 且 2a
2b ? a . (Ⅰ)所有 (a,b) 的取法总数为 6 ? 6 ? 36 个,满足条件的 (a,b) 有 (1,?2) ,(1,?1) ,(2,?2) ,

(2,?1) ,(2,1) ,(3,?2) ,(3,?1) ,(3,1) ,(4,?2) ,(4,?1) ,(4,1) ,(4,2) ,(5,?2) ,(5,?1) ,

(5,1) , (5,2) 共 16 个,

所以,所求概率 p ? 16 ? 4 . 36 9

…………………(6 分)

?x ? y ? 8 ? 0,

(Ⅱ)如图,求得区域 ??x ? 0, ??y ? 0

的面积为 1 ? 8 ? 8 ? 32 . y 2
8



?x ??x

? ?

y 2

?8 y?

? 0

0,
求得

P (16 3

,

8 3

)

O

x ? 2y ? 0 P

8

x

所以区域内满足 a ? 0 且 2b ? a 的面积为 1 ? 8 ? 8 ? 32 . 2 33

32 所以,所求概率 p ? 3 ? 1 .
32 3

……………………(13 分)

21.(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)由题意可设圆 M 的方程为 (x ? t)2 ? ( y ?

3 )2 t

?

t2

?

3 t2



即 x2 ? y2 ? 2tx ? 2 3 y ? 0 . t

令 x ? 0 ,得 y ? 2 3 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2t . t

? S?AOB

?

1 2

|

OA | ? | OB

|?

1 2

|

2t

|?|

2 t

3

|?

2

3 (定值). ………(4 分)

(Ⅱ)由| OC |?| OD |,知 OM ? l .

所以 kOM

?

3 t2

?

3 ,解得 t ? ?1.

当 t ? 1时,圆心 M (1, 3) 到直线 l : y ? ? 3 x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ?1) 小于半径,符合题 3
意;

当 t ? ?1时,圆心 M (?1,? 3) 到直线 l : y ? ? 3 x ? 4 的距离 d ? 2( 3 ? 1) 大于半径,不 3
符合题意.

所以,所求圆 M 的方程为 (x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 . ………………(8 分)

(Ⅲ)设 P(5, y0 ) , G(x1, y1) , H (x2, y2 ) ,又知 E(?1, 3) , F (3, 3) ,

所以 kPE

?

y0

? 6

3

?

y1 ? 3 x1 ? 1

? kGE ,

kPF

?

y0

? 2

3

?

y2 ? 3 x2 ? 3

?

kFH

.

因为 3kPE

?

kPF

,所以 9 ?

( y1 ? 3)2 (x1 ? 1)2

?

( y2 ? 3)2 (x2 ? 3)2

.

将 ( y1 ? 3)2 ? 4 ? (x1 ? 1)2 , ( y2 ? 3)2 ? 4 ? (x2 ? 1)2 代入上式,

整理得 2x1x2 ? 7(x1 ? x2 ) ? 20 ? 0 .



设直线 GH 的方程为 y ? kx ? b ,代入 (x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,

整理得 (1 ? k 2 )x2 ? (2kb ? 2 3k ? 2)x ? b2 ? 2 3b ? 0 .

所以

x1

?

x2

?

?

2kb

?2 1?

3k k2

?

2



x1

?

x2

?

b2 ? 2 3b 1? k2

.

代入①式,并整理得 b2 ? (7k ? 2 3)b ? 10k 2 ? 7 3b ? 3 ? 0 ,

即 (b ? 2k ? 3)(b ? 5k ? 3) ? 0 ,

解得 b ? 3 ? 2k 或 b ? 3 ? 5k .

当 b ? 3 ? 2k 时,直线 GH 的方程为 y ? k(x ? 2) ? 3 ,过定点 (2, 3) ;

当 b ? 3 ? 5k 时,直线 GH 的方程为 y ? k(x ? 5) ? 3 ,过定点 (5, 3)
……………………(14 分)


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