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2014世纪金榜课时提升作业(三十四) 第五章 第五节


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课时提升作业(三十四)
一、填空题 1.(2013· 淮安模拟)等差数列{an}的公差 d≠0,且 a3,a5,a8 依次成等比数列,则错 误!未找到引用源。= . . .

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an=错误!未找到引用源。,则 S10 等于 3.在等差数列{an}中,a9= a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11 等于
1 2

4.数列{an}的前 n 项的和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为 . .

5.已知数列{an}的通项公式是 an=错误! 未找到引用源。 ,若 Sn=10,则 n=

6.(2013· 扬州模拟)设 bn=(n+1)· 2-n,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,则 Tn>2 的 n 的取 值范围是 . .

7.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a3=20-a6,则 S8 等于 8.数列{1+2n-1}的前 n 项和为 .

9.已知等比数列的公比为 2,且前 4 项之和等于 1,则其前 8 项之和等于

.

10.在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N*),且 a7=2,a9=3,a98=4, 则此数列{an}的前 100 项的和 S100= 二、解答题 11.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{an}的通项公式.
-1-

.

(2)求和: Sn=
1 1 1 . ? ?…? a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n ?1 ? a n

12.(2013·徐州模拟)等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}满足 bn=错误!未找到引用源。,其前 n 项和为 Tn,求证:Tn<错误! 未找到引用源。(n∈N*). 13.(2013 ·常州模拟 ) 设 {an} 是等差数列 ,{bn} 是各项都为正数的等比数列 , 且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和 Sn. 14.(能力挑战题)已知数列{an}的通项公式是 an=n· 2n-1,bn=错误! 未找到引用源。 , 求数列{bn}的前 n 项和.

-2-

答案解析
1.【解析】由题意知错误!未找到引用源。=a3〃a8, ∴(a1+4d)2=(a1+2d)〃(a1+7d), 即错误!未找到引用源。+8a1d+16d2=错误!未找到引用源。+9a1d+14d2(d≠0), ∴a1=2d.
S ∴ 5? a9 5a1 ? 5? 4 d 5a ? 10d 20d 2 ? 1 ? ? 2. a1 ? 8d a1 ? 8d 10d

答案:2 2.【解析】an=
1 1 1 1 ? ( ? ), n ? n ? 2? 2 n n ? 2

所以 S10=a1+a2+…+a10
1 1 1 1 1 ? ) 3 2 4 10 12 1 1 1 =错误!未找到引用源。×(1 ? ? ? )=错误!未找到引用源。. 2 11 12 175 答案: 264 11 3.【解析】设公差为 d,则 a1+8d=错误!未找到引用源。a1+ 错误!未找到引用 2

=错误!未找到引用源。×(1 ? ? ? ? … ?

源。d+6,即 a1+5d=12,即 a6=12,所以 S11=11a6=132. 答案:132 4.【思路点拨】根据数列的前 n 项和减去前 n-1 项的和得到数列的第 n 项的通 项公式,即可得到此等比数列的首项与公比 ,根据首项和公比 ,利用等比数列的 前 n 项和的公式表示出前 n 项的和,与已知的 Sn=3n+b 对比后,即可得到 b 的值. 【解析】 因为 an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项 为 2,公比为 3 的等比数列, 则 Sn=错误!未找到引用源。=3n-1,
-3-

所以 b=-1. 答案:-1 5.【解析】∵an=
1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n ,

∴Sn=(错误!未找到引用源。-1)+( 3 -错误!未找到引用源。)+…+( n ? 1 ? n ) = n ? 1 错误!未找到引用源。-1. 由 Sn=10,即 n ? 1 错误!未找到引用源。-1=10 得 n=120. 答案:120 6.【解析】∵bn=(n+1)〃
1 错误!未找到引用源。. 2n

∴Tn=2×错误!未找到引用源。+3×错误!未找到引用源。+…+n〃错误!未找 到引用源。+(n+1)〃错误!未找到引用源。,① 错误!未找到引用源。 Tn=2×错误!未找到引用源。+3×错误!未找到引用源。 +…+n〃错误!未找到引用源。+(n+1)错误!未找到引用源。, ② ①-②得:错误!未找到引用源。Tn=1+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。+…+错误!未找到引用源。-(n+1)〃错误!未找到引用源。, ∴Tn=3-错误!未找到引用源。, 则不等式可化为:3-错误!未找到引用源。>2,即错误!未找到引用源。-1<0, 设 f(n)=错误!未找到引用源。-1,则 f(n+1)-f(n)=-错误!未找到引用源。<0, ∴f(n)在 N*上单调递减, ∵f(1)=1>0,f(2)=错误!未找到引用源。>0,f(3)=- <0, ∴当 n=1,n=2 时,f(n)>0,当 n≥3 时,f(n)<0, 所以 n 的取值范围为 n≥3,且 n∈N*. 答案:n≥3 且 n∈N*
-4-

1 2

1 4

7.【解析】因为 a3=20-a6, 所以 S8=4(a3+a6)=4×20=80. 答案:80 8.【解析】Sn=1+20+1+21+1+22+…+1+2n-1 =n+错误!未找到引用源。=n+2n-1. 答案:n+2n-1 9.【解析】据等比数列前 n 项和的性质,前 4 项之和、第 5 项到第 8 项之和组成 公比为 24 的等比数列,故 a5+a6+a7+a8=16,又前 4 项之和为 1,所以前 8 项之和为 17. 答案:17 10.【解析】设定值为 M,则 an+an+1+an+2=M,进而 an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得 an+3=an,即数列{an}是以 3 为周期的数列.由 a7=2,可知 a1=a4=a7=…=a100=2,共 34 项, 其和为 68;由 a9=3,可得 a3=a6=…=a99=3,共 33 项,其和为 99;由 a98=4,可得 a2=a5=… =a98=4,共 33 项,其和为 132.故数列{an}的前 100 项的和 S100=68+99+132=299. 答案:299 11.【解析】(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9 得 2(log22+d)=log22+log28, 即 d=1. 所以 log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. (2)因为 所以 Sn= =
1 1 1 ? n ?1 n ? n , a n ?1 ? a n 2 ? 2 2 1 1 1 ? ?…? a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n+1 ? a n

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ?…? n 1 2 2 2 2
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1 1 1 ? n? 2 2 2 ? 1? 1 . ? 1 2n 1? 2

12.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11, 2a3=a2+a6-4, 即 2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得 d=2, 则 a1=1,故 an=2n-1. (2)由(1)得 Sn=n2,∴bn=
? 1 1 ? n ? 2n n ? n ? 2 ?
2

1 Sn ?1 ? 1

?

1

? n ? 1?

2

?1

1 1 1 ? ( ? ), 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn= ( ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 * = ( ? ? ? ) ? (n∈N ). 2 1 2 n ?1 n ? 2 4

13.【解析】(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且错误!未 找到引用源。解得错误!未找到引用源。 所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. (2)
a n 2n ? 1 ? n ?1 , bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? … ? n ?2 ? n ?1 , ① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn= 2 ? 3 ? ? … ? n ?3 ? n ?2 . ② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①,得 Sn= 2 ? 2 ? ? 2 ? … ? n ?2 ? n ?1 2 2 2 2

Sn= 1 ?

=2+2×(1+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引 用源。)2n ? 1 错误!未找到引用源。, 2n ?1

-6-

1 n ?1 2n ? 1 2n ? 3 =2+2× 2 ? n?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 1?

【变式备选】(2013〃石家庄模拟)已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和 为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*),且 b1=3,求数列{错误!未找到引用源。}的 前 n 项和 Tn. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 则错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。∴an=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an, ∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*), bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+2), 当 n=1 时,b1=3 也适合上式, ∴bn=n(n+2)(n∈N*). ∴
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn n ? n ? 2 ? 2 n n ? 2

Tn= (1 ? ? ? ? … ? ? = ( ?
1 3 2 2

1 2

1 1 1 3 2 4

1 n

1 ) n?2

1 1 3n 2 ? 5n ? )? . n ?1 n ? 2 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?

k ? 2 ? 2k ?1 a k ?2 ? ? 14.【解析】 a k a k ?1 k ? 2k ?1 ? ? k ? 1? 2k

-7-

= =

2 ? k ? 1? ? k k?2 ? k ?2 k ? k ? 1? ? 2 k ? k ? 1? ? 2k ? 2

1 1 ? ,k=1,2,3,…,n. k ?3 k?2 ? k ? 1? ? 2k ?2
a3 a a ? 4 ? … ? n ?2 a1a 2 a 2a 3 a n a n ?1

故 =(

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? )+( )+…+[ ]= ? ? n ?3 n?2 ?2 ?2 ?1 ?1 0 n?2 1? 2 1? 2 2? 2 2? 2 3? 2 ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 2n ?2

=4-错误!未找到引用源。. 【方法技巧】裂项相消法的应用技巧 裂项相消的基本思想是把数列的通项 an 分拆成 an=bn+1-bn 或者 an=bn-bn+1 或者 an=bn+2-bn 等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本 思想变换数列 an 的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把 数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的 两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.

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