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四川省古蔺县中学高中数学 2.9.1函数的应用 课件 新人教A版必修1


函数的应用
古蔺中学

第一课时

例1、按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期 利率为 r ,设本利和为 y ,存期为 x,写出本利和 y 随 存期 x 变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率 2.25%,试计算5期后的本利和是多少? “复利”:即把前一期的利息和本金加在一起算作本 金,再计算下一期利息. 解:已知本金为 a 元.

1期后的本利和为
2期后的本利和为 3期后的本利和为
……

y1 ? a ? a ? r ? a(1 ? r )
y2 ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r )r ? a(1 ? r )2

y3 ? a(1 ? r )

3

x期后的本利和为

y ? a(1 ? r )

x

将a ? 1000(元), r ? 2.25%, x ? 5代入上式得

y ? 1000 ? (1 ? 2.25%) ? 1000 ?1.0225 .
5 5

由计算器算得

y ? 1117.68(元)
x

答:在复利函数为 y ? a(1 ? r ) ,5期后的本利和为 1117.68元. 注:在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题, 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为P,则对 y 于时间 x 的总产值 ,可以用下面的公式 :

y ? N (1 ? p) x
表示,解决平均增长率的问题,要用到这个函数式.

例2、设海拔 x m处的大气压强是 y Pa,y与 x 之间的函 kx y ? ce 数关系式是 ,其中 c,k为常量,已知某地某天 5 1.01 ? 10 在海平面的大气压为 Pa,1000 m高空的大气压 为 0.9 ?105 Pa,求:600 m高空的大气压强.(结果保留3 个有效数字) 5 5 解: 将 x = 0 , y ? 1.01?10 ; x = 1000 , y ? 0.90 ?10 , 分别代入 y ? ce 得: ?4 5 k ? ? 1.15 ? 10 5 k ?0 5 c? 1.01 ?10 (1) ? 1.01 ? c ? 1.01? ? 10 ? ce 10 ?4 5? ?1.15?10 x ? ? y ? 1.01 5 k? ?1000 5 1000k 10 ? e (2) 0.90 ? 10 ? ce 0.90 ? 10 ? ce ? ? 将 代入上述函数得 将x=600 (1) 代入 (2) 得: 5 ?1.15?10?4 ?600 1 0.90 y 5? 1.01?10 ?e 5 1000k
kx

1000 1.01 ? 0.943 ?105 (Pa). ?4 k ? ? 1.15 ? 10 由计算器得: ?4 105 Pa. 答:在600m高空的大气压约为 0.943 × 5 ?1.15?10 x


0.90 ?10 ? 1.01? 10 e

?k?

? ln

y ? 1.01?10 ? e

例3. 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高/cm 体重/kg 60 6.13 70 7.90 130 26.86 80 9.99 140 31.11 90 12.15 150 38.85 100 15.02 160 47.25 110 17.50 170 55.05

身高/cm 120 体重/kg 20.92

⑴根据上表中各组对应的数据,能否从我们学过的 x y ? ax ? b 函数 , y ? a ? ln x ? b , y ? a ? b 中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男 性体重y关于身高x的函数关系,试写出这个函数的解 析式,并求出a,b的值. ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg,他的体重是否正常?

以身高为横坐标,体重为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图
80
80

70
70

60
60

50
50

f?x? = 2?1.02x

40

40

30

30

20

20

10

10

20

40

60

80

100

120

140

160

20

40

60

80

100

120

140

160

-10

-10

-20

-20

-30

-30

函数拟合与预测的步骤: 在中学阶段,学生在处理函数拟合与预测的问题时,通常 需要掌握以下步骤: ⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图. ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合 直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴
“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情 况是很少发生的.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧, 使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的 了.

⑶根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函 关系式. ⑷利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制, 为决策和管理提供依据.

练习: 某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该 乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长 4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求出函数y 关于x的解析式. 解:设该乡镇现在人口量为M, 则该乡镇现在一年的粮食总产量360M x 经过x年后, 人口量为 M(1 ? 1.2%)

该乡镇粮食总产量为 360M(1 ? 4%)x
经过x年后,人均占有粮食
360M(1 ? 4%)x y= x M(1 ? 1.2%) 1.04 x ) 即所求函数式为:y= 360( 1.012

解答应用问题的基本思想:
明确题意,找出题设 与结论的数学关系— —数量关系或空间位 置关系

实际应用问题
再译成 具体应 用问题 的结论

分析、联想、转化、抽象
在分析联想的基 础上转化为数学 问题,抽象构建 一个或几个数学 模型来求来解

解答数学问题

建立数学模型

给出数学问题的解答

解答程序:审题、建模、求模、还原

小材料:

铀核裂变——链式反应

在铀核裂变释放出巨大能量的同时,还放出两三个 中子来. 一个中子打碎一个铀核,产生能量,放出两个中 子来;这两个中子又打中另外两个铀核,产生两倍的能 量,再放出四个中子来,这四个中子又打中邻近的四个 铀核,产生四倍的能量,再放出八个中子来,……以此 类推,这样的链式反应,也就是一环扣一环的反应,又 称连锁反应,持续下去,宛如雪崩.

裂变过程中,假定铀235吸收一个中子后裂变成一 个溴85核和一个镧148核的同时放出三个中子,铀235的 质量是235.124, 溴的质量是84.938,镧148的质量是147.96, 中子的质量是1.009.

裂变前总质量:235.124+1.009=236.133. 裂变后总质量:147.96+84.938+3.027=235.925. 裂变过程中减少的质量是:236.133- 235.925=0.208. 由爱因斯坦的相对论,这些损失的质量,变成了能量. 由能量转换公式可以算出这一能量来,比如说,1克铀235 完全裂变所释放的能量相当于2吨优质煤完全燃烧所释 放的能量,也就是说,裂变能大约比化学能大200万倍. 一座电功率为100万千瓦的火电站,一年要烧300万吨 煤,而同样功率的核电站,只要二三十吨核燃料就够了,而 且一次装料可以用上一年、两年甚至更长时间. 核反应堆还有其他许多用处.

核裂变的这种链式反应, 其数学模型就是指数函数.


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