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2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习空间向量习题课


【知识温故】:

补充三.空间向量习题课

(1) AB//CD ? AB// CD ? AB ? ? CD

⑵ AB ? CD ? AB ? CD ? 0
2
⑶ AB ? AB ? AB

⑷线线角即为两向量的夹角α或 1800-α

⑸线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角为α,则 900-α或α-900

⑹面面角即为两面的法向量的夹角α或 1800-α

⑺距离可通过求在法向量上投影的长度得到

d=AB

COSα=

AB? ?

? n

n

【案例讨论】: 讨论一、(02 天津高考) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底
面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小.

P FE

z P
FE

D

C

D

C y

G

A

B

A

B

x

解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC ? a .

(1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG.

依题意得 A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, a , a ) . 22

∵底面 ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 ( a , a , 0) 且 22

PA ? (a, 0, ? a), EG ? ( a , 0, ? a ) . ∴ PA ? 2EG ,这表明 PA//EG.

2

2

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,∴PA//平面 EDB.

( 2 ) 证 明 ; 依 题 意 得 B(a, a, 0) , PB ? (a, a, ? a) 。 又 DE ? (0, a , a ) , 故 22
a2 a2 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 .
22 ∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB,且 EF ? DE ? E ,所以 PB ? 平面 EFD.
(3)解:设点 F 的坐标为 (x0 , y0 , z0 ) , PF ? ? PB ,则

(x0 , y0 , z0 ? a) ? ?(a, a, ? a) .

从而 x0 ? ?a, y0 ? ?a, z0 ? (1 ? ?)a .所以

FE ? (?x0 ,

a 2 ? y0,

a 2

?

z0

)

?

(??a, (

1 2

?

?)a,

(? ? 1)a) . 2

由条件 EF ? PB知, FE ? PB ? 0 ,即

? ?a2 ? (1 ? ?)a2 ? (? ? 1)a2 ? 0 ,解得 ? ? 1 ∴点 F 的坐标为 ( a , a , 2a ) ,且

2

2

3

33 3

FE ? (? a , a , ? a) , FD ? (? a , ? a , ? 2a)

36 6

33 3

∴ PB ? FD ? ? a 2 ? a 2 ? 2a 2 ? 0 33 3

即 PB ? FD,故 ?EFD是二面角 C—PB—D 的平面角.

∵ FE ? FD

?

a2

a2 ?

?

a2

?

a2

,且

9 18 9 6

| FE |? a2 ? a2 ? a2 ? 6 a ,| FD |? a2 ? a2 ? 4a2 ? 6 a ,

9 36 36 6

99 9 3

a2

∴ cos EFD ? FE ? FD ?

6

? 1.

| FE || FD | 6 a ? 6 a 2

63

所以,二面角 C—PB—D 的大小为 ? . 3

∴ ?EFD ? ? . 3

讨论二、(03 全国高考) 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△

ABD 的重心 G.

(Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离.
解:(1)连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.

如图所示建立坐标系,坐标原点为 O,设 CA=2a,

则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) A1(2a,0,2)

E(a,a,1) G( 2a , 2a , 1 ). 3 33

?GE ? (a , a , 2), BD ? (0,?2a,1) , 333

?GE ? BD ? ? 2 a2 ? 2 ? 0 ,解得 a=1. 33

? BA1

?

(2,?2,2), BG

?

(2 ,? 3

4 3

, 1), 3

? c os?A1 BG

?

|

BA1 BA1

? BG || BG

|

?

2

14 / 3 3?1

21

?

7. 3

3

A1B 与平面 ABD 所成角是 arccos

7
.
3

(2)由(1)有 A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

AE? ED ? (?1,1,1) ? (?1,?1,0)? 0,AA1 ? ED ? (0,0,2) ? (?1,?1,0) ? 0
?ED ? 平面 AA1E,又 ED ? 平面 AED. ∴平面 AED⊥平面 AA1E,又面 AED ? 面 AA1E=AE,
∴点 A 在平面 AED 的射影 K 在 AE 上.

设 AK ? ? AE , 则 A1K ? A1A ? AK ? (??,?,? ? 2)

由 A1K ? AE ? 0 ,即 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0,

解得 ? ? 2 . 3

? A1K

?

(?

2 3

,

2 3

,?

4 3

)

?

A1 K

?

26 3

.

26 故 A1 到平面 AED 的距离为 3 .

讨论三、(04 浙江高考)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF

E

所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点。
(1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小;

M F

C

B

(3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与

BC 所成的角是 60?。

D

解:(Ⅰ)法一:记 AC 与 BD 的交点为 O,连接

A

OE,

∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩

形,

∴四边形 AOEM 是平行四边形,∴AM∥OE。
∵ OE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE,∴AM∥平面 BDE。
法二;建立如图所示的空间直角坐标系。
设 AC ? BD ? N ,连接 NE,

则点 N、E 的坐标分别是( 2 , 2 ,0) (0,0,1),∴NE=( ? 2 ,? 2 ,1) ,又点 A、M 的坐标分

22

22

别是( 2, 2,0 )、( 2 , 2 ,1) 22
∴ AM=( ? 2 ,? 2 ,1) ∴NE=AM 且 NE 22
与 AM 不共线,∴NE∥AM。又∵ NE ? 平 面 BDE, AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面
BDF。 (Ⅱ)法一、在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S , 连 结 BS , ∵AB⊥AF , AB⊥AD ,
AD ? AF ? A,
∴AB⊥平面 ADF,∴AS 是 BS 在平面 ADF 上 的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF。∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的 平 面 角 。 在 RtΔASB 中 ,
AS ? 6 , AB ? 2, 3
∴ tan ?ASB ? 3, ?ASB ? 60?,
∴二面角 A—DF—B 的大小为 60?。 法 二 、 ∵AF⊥AB , AB⊥AD ,
AF ? AD ? A, ∴AB⊥平面 ADF。

∴ AB ? (? 2,0,0) 为平面 DAF 的法向量。

∴NE·NF=( ? 2 ,? 2 ,1) ·( 2, 2,0) =0 22
得 NE⊥DB,NE⊥NF,∴NE 为平面 BDF 的法向量。
∴cos<AB,NE>= 1 ∴AB 与 NE 的夹角是 60?。即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60?。 2
(Ⅲ)设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 PF ? ( 2 ? t, 2 ? t,1),

∴CD=( 2 ,0,0)又∵PF 和 CD 所成的角是 60?。

∴ cos60? ?

( 2 ? t)? 2

解得 t ? 2 或 t ? 3 2 (舍去),

( 2 ? t)2 ? ( 2 ? t)2 ?1? 2

2

2

即点 P 是 AC 的中点。

讨论四、如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=
2a, BB1 =3a,D 为 A1C1 的中点,E 为 B1C 的中点.
(1)求直线 BE 与 A1C 所成的角;
(2)在线段 AA1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF ,若存在,
求出 AF;若不存在,说明理由. 解:(1)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵ AC=2a,∠ABC=90°,
∴ AB ? BC ? 2a .

∴ B(0,0,0),C(0, 2a ,0),A( 2a ,0,0),

A1 ( 2a ,0,3a), C1 (0, 2a ,3a), B1 (0,0,3a).

∴ D( 2 a , 2 a , 3a) , E(0 , 2 a , 3 a) ,

2

2

22



CA1 ? ( 2a , ?

2a , 3a) , BE ? (0 , 2 a , 3) . 22



| CA1 |? 13a



| BE|

? 11 a 2





CA1

? BE

?

0

?

a2

?

9 2

a2

?

7 2

a2 ,



cos? ?| CA1 ? BE |? 7 143 . CA1 ? CA1 143



BE



A1C 所成的角为 arccos

7 143 143



(2)假设存在点 F,要使 CF⊥平面 B1DF ,只要 CF ? B1F 且 CF ? B1D .

不妨设 AF=b,则 F( 2 ,0,b),CF ? ( 2a ,? 2a ,b) ,B1F ? ( 2a ,0,b ? 3a) ,

B1D ? (

2 a, 2

2 a , 0) , 2



CF ? B1D ? a2 ? a2 ? 0 ,



CF ? B1D 恒成立.

B1F ?CF ? 2a2 ? b(b ?3a) ? 0 ? b ? a 或 b ? 2a ,

故当| AF |? a 或 2a 时, CF ? 平面 B1DF .

【课堂小结】: 【作业布置】:
1、如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1中,M,N 分别为 A1B1 ,BC 之中点.

(1)试求

A1 A AB

的值,使

A1B?

B1C

?

0



(2)在(1)条件下,求二面角 N ? AC1 ? M 的大小.

解析:(1)以 C1 点为坐标原点, C1A1 所在直线为 x 轴, C1C 所在直线

为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 A1B1 ? b , AA1 ? a (a, b?(0,

+∞).



三棱柱

ABC

?

A1B1C1

为正三棱柱,则

A1

,B,B1

,C

的坐标分别为:(b,0,0),(

1 2

b



3 b ,a) ,( 1 b , 3 b ,0) ,(0,0,a). ∴

2

22

A1B

?

(?

1 2

b



3 2

b

,a)

,B1C

?

(?

1 2

b



?

3 2

b



a)

?

A1B ? B1C ? a 2 又A1B ? B1C ?

?
0.

1 2

b

2,?? ? ? ?

?

b

?

2a ? A1A ? a ? 2 . AB b 2

(2)在(1)条件下,不妨设 b=2,则 a ? 2 ,

又 A,M,N 坐标分别为(b,0,a),( 3 b , 3 b ,0),( 1 b , 3 b ,a).

44

44



| AN |? b 2

3?

3 ,| C1N |?

3.

∴ | AN |?| C1N |? 3

同理 | AM |?| C1M | .

∴ △ AC1N 与△ AC1M 均为以 AC1 为底边的等腰三角形,取 AC1 中点为 P,则

NP ? AC1,MP ? AC1 ? ?NPM 为二面角 N ? AC1 ? M 的平面角,而点 P 坐标为(1,0,

2 ), ∴ PN ? (? 1 , 3 , 2 ) . 同理 PM ? (1 , 3 , ? 2 ) .

2

22 2

22

2

∴ PM ? PN ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 0 ? PM ? PN .
442

∴ ∠NPM=90° ?二面角 N ? AC1 ? M 的大小等于 90°.

2、如图,正三棱锥 P-ABC,PA=4,AB=2,D 为 BC 中点,点 E 在 AP 上,满足 AE=3EP.

(1)建立适当坐标系,写出 A、B、D、E 四点的坐标; (2)求异面直线 AD 与 BE 所成的角. 解析:(甲)(1)建立如图坐标系:O 为△ABC 的重心,直线 OP 为 z 轴, AD 为 y 轴,x 轴

平行于 CB,得 A(0, ? 2 3 ,0)、B(1, 3 ,0)、D(0, 3 ,0)、

3

3

3

E(0, ? 3 , 33 ). 62

(2) AD ? (0 , 3 , 0)BE ? (?1, ? 3 , 33 ) , 22

3
设 AD 与 BE 所成的角为? ,则 cos? ?| AD? BE |? 2 ? 30 . AD? BE 3 ? 10 20

∴ ? ? arccos 30 . 2

3、如图,PD 垂直正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 是 PB 的中点,

cos ? DP , AE > ? 3 . 3
(1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标; (2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB. 解:(1)以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间
坐标系 ? A (2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)设 P(0,0,2m) ? E (1,1,m),
∴ AE ? (-1,1,m), DP =(0,0,2m)

cos ? DP , AE ??

2m2

? 3 ? m ?1,

1?1? m2 ?2m 3

∴ 点 E 坐标是(1,1,1)

(2)∵ F ?平面 PAD, ∴ 可设 F(x,0,z) ? EF =(x-1,-1,z-1)
∵ EF⊥平面 PCB ∴ EF ? CB ? (x ?1,-1, z ?1) ? ( 2,0, 0) ? 0 ? x ?1
∵ EF ? PC ∴ (x ?1,-1, z ?1)?( 0,2,-2 ) ? 0 ? z ? 0
∴ 点 F 的坐标是(1,0,0),即点 F 是 AD 的中点.
4、在棱长为 a 的正方体 OABC?O?A?B?C? 中,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点且 AE=BF. (1)求证: A?F ? C?E ; (2)当三棱锥 B? ? BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B? ? EF ? B 的大小(结果用反
三角函数表示).
解:(1)证明:如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系.
设 AE=BF=x,则 A? (a,0,a),F(a-x,a,0), C? (0,a,a),E(a,x,0),
∴ A?F ? (-x,a,-a), C?E ? (a,x-a,-a).
∵ A?F ?C?E ? ?xa ? a(x ? a) ? a2 ? 0 , ∴ A?F ? C?E .

(2)解:记 BF=x,BE=y,则 x+y=a,则三棱锥 B? ? BEF 的

体积为

V ? 1 xya ? a ( x ? y )2 ? 1 a2 .

6

b2

24

当且仅当 x ? y ? a 时,等号成立,因此,三棱锥 B? ? BEF 的体积取得最大值时, 2

BE ? BF ? a . 2
过 B 作 BD⊥BF 交 EF 于 D,连结 B?D ,则 B?D ? EF .

∴ ∠ B?DB是二面角 B? ? EF ? B 的平面角.在 Rt△BEF 中,直角边 BE ? BF ? a , 2

BD 是斜边上的高,

∴ BD ? 2 4

在 Rt △ B?DB 中 , tan ∠ B?DB ? B?B ? 2 2 . 故 二 面 角 B? ? EF ? B 的 大 小 为 BD

a r c t a2n 2 .


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