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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练·对接高考练习:专题2第1讲 三角函数的图象与性质


一、选择题 ?5π ? 1.(2014· 吉林省实验中学一模)函数 f(x)=cos 2x+sin? 2 +x?是 ? ? ( A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数 解析 ?5π ? f(x)=cos 2x+sin? 2 +x?=cos 2x+cos x=2cos2 x+cos x-1, 易知函数 f(x) ? ? ).

1 是偶函数,且当 cos x=1 时取最大值,cos x=-4时取最小值. 答案 D

π 2.(2014· 福州一中模拟)将函数 y=sin 2x 的图象向右平移4个单位,再向上平移 1 个单位,所得到函数的图象对应的解析式为( π? ? A.y=sin?2x-4?+1 ? ? C.y=2sin2 x 解析 ).

B.y=2cos2 x D.y=-cos 2x

π 将函数 y=sin 2x 的图象向右平移4个单位,可得到函数的图象对应的函

π? ? 数解析式为 y=sin?2x-2?,再向上平移 1 个单位,所得到函数的图象对应的解 ? ? 析式为 y= π? ? sin?2x-2?+1,化简可得 y=-cos 2x+1,即 y=2sin2 x. ? ? 答案 C

π? ? 3.(2014· 益阳模拟)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)?ω>0,|φ|<2? ? ? ?x1+x2? ? π π? ?等于 的部分图象如图所示,如果 x1,x2∈?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),则 f? ? ? ? 2 ? ( ).
-1-

1 A.2 3 C. 2

2 B. 2 D.1 ? π? ?π? 由图象可知, f?-6?=f?3?=0, 得到 f(x)的一条对称轴为 x= ? ? ? ? π π -6+3 2 π =12,

解析

?x1+x2? π π ?π? ?=1. 所以 x1+x2=2×12=6,观察图象可知 f?12?=1,所以 f? ? ? ? 2 ? 答案 D

4. (2014· 豫南五市模拟)已知函数 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)(x∈R)满足 2014f(-
x)



π? 1 ? f?x?,且 f(x)在?0, ?上是减函数,则 θ 的一个可能值是( ? 4? 2014 2π B. 3 5π D. 3

).

π A.3 4π C. 3 解析

π? 1 ? f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)=2sin?2x+θ+3?,由 2014f(-x)= , ? ? 2014f?x?

π 所以 f(-x)+f(x)=0,所以函数 f(x)是奇函数.所以 θ+3=kπ(k∈Z),即 θ=kπ π? π ? -3,故 B,D 可能正确,又因为 f(x)在?0,4?上是减函数,所以 D 不满足条件. ? ? 答案 B

?πx π? 5.(2014· 北京东城区质量调研)函数 y=2sin? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之 ? ? 差为( ). B.4 D.2- 3 π πx π 7π πx π π 因为 0≤x≤9 ,所以- 3≤ 6 -3 ≤ 6 ,因此当 6 -3 = 2 时,函数 y =
-2-

A.2+ 3 C.3 解析

πx π π ?πx π? ?πx π? 2sin? 6 -3?取最大值, 即 ymax=2×1=2, 当 6 -3=-3时, 函数 y=2sin? 6 -3? ? ? ? ? ? π? ?πx π? 取最小值,即 ymin=2sin?-3?=- 3,因此 y=2sin? 6 -3? ? ? ? ? (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 2+ 3. 答案 A

二、填空题 π π 6.(2014· 重庆卷)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-2≤φ<2)图象上每一点的横坐 π 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的 ?π? 图象,则 f?6?=________. ? ?

答案

2 2

7.(2014· 江苏五市联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部 分图象如图所示,则 f(2 014)的值为________.

解析

根据题意,由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的

2π π 部分图象可知周期为 12, 由此可知 T= ω =12, ω=6, A=5, 将(5,0)代入可知, π ?5π ? 5sin? 6 +φ?=0,可知 φ=6, ? ?

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π? 5 ?π 所以 f(2 014)=5sin?6×2 014+6?=-2. ? ? 答案 5 -2

8.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: ①y=f(x)的周期为 π; π ②x=4是 y=f(x)的一条对称轴; ?π ? ③?8,0?是 y=f(x)的一个对称中心; ? ? π ④将 y=f(x)的图象向左平移4个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象. 其中正确命题的序号是________. 解析 π? ? 由 f(x)=sin 2x-cos 2x= 2sin?2x-4?, ? ?

2π 得 T= 2 =π,故①对; π ?π? f?4?= 2sin 4≠± 2,故②错; ? ? ?π? f?8?= 2sin 0=0,故③对; ? ? π y=f(x)的图象向左平移4个单位, π? ? ? π? π? x+4?- ?= 2sin? 2x+4?, ? 得 y= 2sin?2? ? 4? ? ? ? ? 故④错,故填①③. 答案 ①③

三、解答题 9.(2014· 福建卷)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). 5π (1)求 f( 4 )的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 f(x)=2sin xcos x+2cos2 x=sin 2x+cos 2x+1

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π? ? = 2sin?2x+4?+1. ? ? 11π ?5π? (1)f? 4 ?= 2sin 4 +1 ? ? π = 2sin4+1 =2. 2π (2)函数 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π π π 由 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,k∈Z, 3π π 得 kπ- 8 ≤x≤kπ+8,k∈Z. 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ- 8 ,kπ+8],k∈Z. 10. 如图,f(x)=Asin(2ωx+φ)(ω>0,A>0,-π<φ<0).

(1)求函数 f(x)的解析式; π? ? (2)求函数 f(x)在?-π,-2?上的值域. ? ? 解 3 2π ? π ? 3π (1)依题意,A=2,4T= 3 -?-12?= 4 ,T=π. ? ?

2π 由 T=2ω=π,得 ω=1,所以 f(x)=2sin(2x+φ). ?2π ? ?4π ? 代入? 3 ,2?得 sin? 3 +φ?=1, ? ? ? ? 4π π 所以 3 +φ=2+2kπ(k∈Z), 5 得 φ=-6π+2kπ(k∈Z). 5π 又因为-π<φ<0,所以 φ=- 6 , 5π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- 6 ?. ? ?
-5-

π? ? (2)因为 x∈?-π,-2?, ? ? 11π? 5π ? 17π 所以 2x- 6 ∈?- 6 ,- 6 ?, ? ? 5π? ? 1? ? 所以 sin?2x- 6 ?∈?-1,2?, ? ? ? ? 5π? ? 所以 2sin?2x- 6 ?∈[-2,1], ? ? π? ? 故函数 f(x)在?-π,-2?上的值域为[-2,1]. ? ? 11.(2014· 西安第一中学模拟)设函数 f(x)=2cos2 x+sin 2x+a(a∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π? ? (2)当 x∈?0,6?时,f(x)的最大值为 2,求 a 的值,并求出 y=f(x)(x∈R)的对称 ? ? 轴方程. 解 (1)f(x)=2cos2 x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a

π? ? = 2sin?2x+4?+1+a, ? ? 则 f(x)的最小正周期 T= 2π =π, 2

π π π 且当 2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2(k∈Z)时 f(x)单调递增, 3π π? ? 即?kπ- 8 ,kπ+8?(k∈Z)为 f(x)的单调递增区间. ? ? π? π π 7π ? (2)当 x∈?0,6?时,则4≤2x+4≤12, ? ? π? π π π ? 当 2x+4=2,即 x=8时 sin?2x+4?=1. ? ? 所以 f(x)max= 2+1+a=2?a=1- 2. π π kπ π 由 2x+4=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +8(k∈Z), kπ π 即 x= 2 +8(k∈Z)为 f(x)的对称轴.

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