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高中数学二轮复习四种命题和充分、必要条件教案含答案(全国通用)


第2课 [最新考纲] 内容 四种命题和充分、必要条件 要求 A B C 命题的四种形式 充分条件、必要条件、充分必要条件 √ √ 1.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 图 21 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 2.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,那么 p 与 q 互为充分必要条件. (3)如果 pD q,且 qD p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 3.集合与充分必要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有: (1)若 A?B,则 p 是 q 的充分条件,若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件. (2)若 B?A,则 p 是 q 的必要条件,若 B?A,则 p 是 q 的必要不充分条件. (3)若 A=B,则 p 是 q 的充分必要条件. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( ) ) ) ) (2)命题“若 p 则 q”的否命题是“若 p,则非 q”.( (3)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( (4)“若 p 不成立,则 q 不成立”等价于“若 q 成立,则 p 成立”.( [解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论. (3)正确.q 是 p 的必要条件说明 p?q,所以 p 是 q 的充分条件. (4)正确.原命题与逆否命题是等价命题. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ π 2.(教材改编)命题“若 α=4,则 tan α=1”的逆否命题是________. π 若 tan α≠1,则 α≠4 [“若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q,则非 p”,显 π π 然非 q: tan α≠1, 非 p: α≠4, 所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1, 则 α≠4”. ] 3. (2016· 镇江期中)实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0, 则“ac<0”是“该 方程有实数根”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分 必要”或“既不充分又不必要”) 充分不必要 [一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根,则判别式 Δ=b2-4ac ≥0,即 b2≥4ac.当 ac<0 时,显然有 b2≥4ac;但 b2≥4ac 未必推出 ac<0,故 “ac<0”是一元二次方程 ax2+bx+c=0 有实根的充分不必要条件.] 4.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假 命题的个数为________. 2 [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若 a>-6,则 a> -3”是假命题,从而其否命题也是假命题. 因此 4 个命题中有 2 个假命题.] 5.(2017· 南京三模)记不等式“x2+x-6<0”的解集为集合 A,函数 y=lg(x -a)的定义域为集合 B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 则实数 a 的取值范围 为________. (-∞,-3] [由 x2+x-6<0 得-3<x<2,即 A={x|-3<x<2}. 由 x-a>0 得 x>a,即 B={x|x>a}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件, ∴A?B, ∴a≤-3.] 四种命题的关系及其真假判断 (1) 命题“若 x , y 都是偶数,则 x + y 也是偶数”的逆否命题是 ________. (2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命 题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是________.(填序号) ①真,假,真;②假,假,真;③真,真,假;④假,假,假. (1)若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数 (2)② [(1)“若 x,y 都是偶数, 则 x+y 也是偶数”的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”. (2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题. 当 z1=1+2i,z2=2+i 时,显然|z1|=|z2|,但 z1 与 z2 不共轭,所以逆命题为 假命题,从而它的否命题也为假命题.] [规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明 它是假命题,只需举一反例即可. 3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性 间接地证明命题的真假. [变式训练 1] (1)已知命题 p:正数 a 的平方不等于 0,命题 q:若 a 不是正 数,则它的平方等于 0,则 p 是 q 的________.(填“逆命题”“否命题”“逆否 命题”或“否定”) (2)给出以下四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤-1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题; ④若 ab 是正整数,则 a,b 都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) (1)否命题 (2)①③ [(1)把命题 p 可改成“若 a 是正数, 则它的平方不等于 0”,显然 q 是 p 的否命题. (2)①的逆命题为:若 x,y 互为相反数,则 x+y=0,显然是真命题;②的 否命题为:不全等的三角形的面积不相等,显然是假命题; 1 ③若 x2+x+q=0 有实根,则 Δ=1-4q≥0,即 q≤4.故当 q≤-1 时,方程 x2+x+q=0 有实根是真命题,

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