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新课程北师大版高中数学必修1第三章《指数函数与对数》单元测试题(含解答)


高中数学必修 1 第三章《指数函数与对数函数》单元测试题
一、选择题: (本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,四个选项中只有一项符合题目要求的) 1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 ( ) A、 a ? a ? a
m n m n

a ?a B、 a ?
m n

m ?n

C、 a )

? ?

m n

? a m?n

D、 1 ? a ? a
n

0? n

2、已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? A、 10
5



B、 5

10

C、 lg10 ( )

D、 lg 5

3、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

①若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ②若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ③若 loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ;④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。 A、①②③④ B、①③
x

C、②④
2

D、② ( )

4、设集合 S ? { y | y ? 3 , x ? R}, T ? { y | y ? x ?1, x ? R} ,则 S ? T 是 A、 ? B、 T C、 S ( )

D、有限集

5、函数 y ? 2 ? log2 x( x ≥1) 的值域为 A、 ? 2, ??? 6、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

B、 ? ??,2?

C、 ?2, ???
?1.5

D、 ?3, ?? ?

0.48

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则



) D、 y1 ? y2 ? y3

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 ( )

7、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是

a ? 5或a ? 2 A、
2 2

2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 B、
) C、2

2?a?5 C、

3? a ? 4 D、

lg 5 等于 ( 8、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2?
A、0 B、1

D、3 )
2

9、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 10、若 10 A、
2x

B、 a ? 2 ( )

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a ? 1
2

1 5

? 25 ,则 10? x 等于 1 B、 ? 5


C、

1 50

D、

1 625

11、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格 比较,变化的情况是(

1

A、减少 7.84%

B、增加 7.84%

C、减少 9.5%

D、不增不减 )

12、 若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 ? a, 2a? 上的最大值 是最小值的3 倍, 则 a 的值为 (

A、

2 4

B、

2 2

C、

1 4

D、

1 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、化简 log2 (1 ? 2 ? 3) ? log2 (1 ? 2 ? 3) ? 14、 log6 ?log4 (log3 81)? 的值为 . . .

15、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 16、若 log x

?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?

.

三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、化简或求值: (10 分) (1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

2

8 1 2 3 (2) lg 500 ? lg ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? ? 3 ?1 ? a ? ; 5 2

18、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为多少?(12 分)

1 , 3

19、已知 2 ? 2
x

?x

x ?x ? 5 ,求(1) 4 x ? 4? x ; (2) 8 ? 8 (12 分)

20、已知函数 f ( x) ? log 2 (1)求 f ( x ) 的定义域;

1? x (12 分) 1? x
(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

21、判断函数 f ( x) ? lg

?
?

x2 ? 1 ? x 的奇偶性、单调性.(12 分)

?

x x 22、设函数 f ( x ) ? log 2 a ? b ,且 f ?1? ? 1, f ? 2? ? log2 12 .

?

(1)求 a , b 的值:

(2)当 x ??1,2? 时,求 f ( x ) 的最大值.

2

高中数学必修 1 第三章《指数函数与对数函数》单元测试题 参考答案
一、选择题: (本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,四个选项中只有一项符合题目要求的) 1、若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式中正确的是 A、 a ? a ? a n
m n m

(D
m n

) D、 1 ? a ? a
n 0? n

a ?a B、 a ?
m n

m ?n

C、 a
5

? ?
D

? a m?n
B、 5 )
10

2、已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ?

(D )A、 10 (

C、 lg10

D、 lg 5

3、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是

①若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ②若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ③若 loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ;④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。 A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② (C )

4、设集合 S ? { y | y ? 3x , x ? R}, T ? { y | y ? x2 ?1, x ? R} ,则 S ? T 是 A、 ? B、 T C、 S (

D、有限集

5、函数 y ? 2 ? log2 x( x ≥1) 的值域为 A、 ? 2, ??? 6、设 y1 ? 4 , y2 ? 8
0.9

C

) D、 ?3, ?? ?

B、 ? ??,2?
0.48

C、 ?2, ???
?1.5

?1? , y3 ? ? ? ? 2?

,则



C

) D、 y1 ? y2 ? y3 )

A、 y3 ? y1 ? y2

B、 y2 ? y1 ? y3

C、 y1 ? y3 ? y2 (

7、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是

B

a ? 5或a ? 2 A、
2 2

2 ? a ? 3或3 ? a ? 5 B、

2?a?5 C、
)A、0 B、1 )
2

3? a ? 4 D、
C 、2 D、3

lg 5 等于 ( 8、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2?

B

9、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A、 5a ? 2 10、若 10
2x

B

B、 a ? 2 (

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a ? 1
2

? 25 ,则 10? x 等于

A

)A、

1 5

B、 ?

1 5

C、

1 50

D、

1 625

11、某商品价格前两年每年递增 20% ,后两年每年递减 20% ,则四年后的价格与原来价格

3

比较,变化的情况是( A、减少 7.84%

A

) C、减少 9.5% D、不增不减

B、增加 7.84%

12、若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 ? a, 2a? 上的最大值 是最小值的3 倍,则 a 的值为 (A)

A、

2 4

B、

2 2

C、

1 4 3 2

D、

1 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、化简 log2 (1 ? 2 ? 3) ? log2 (1 ? 2 ? 3) ? 14、 log6 ?log4 (log3 81)? 的值为 .0 .

15、某企业生产总值的月平均增长率为 p ,则年平均增长率为 (1 ? p)12 ?1 . 16、若 log x

?

2 ? 1 ? ?1 ,则 x ?

?

.

2 ?1

三、解答题: (本题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、化简或求值: (10 分) (1)

?

a ?1 ?

?

2

?1 ? a ?

2

8 1 2 3 (2) lg 500 ? lg ? lg 64 ? 50 ? lg 2 ? lg 5 ? ? 3 ?1 ? a ? ; 5 2 1 , 3

17、 (1) a ? 1

(2)52

18、由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 5 年计算机的价格降低 问现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年后,价格应降为多少?(12 分) 2400 元 19、已知 2 ? 2
x ?x

x ?x ? 5 ,求(1) 4 x ? 4? x ; (2) 8 ? 8 (12 分)
2 2 2

(1) 4 ? 4
x

?x

? ? 2 x ? ? ? 2? x ? ? 2?2 x ?2? x ? 2?2 x ?2? x ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2 ? 52 ? 2 ? 23

x ?x 3x ?3 x x ?x 2x x 2? x ? 2?2 x ? 5? (2) 8 ? 8 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 23 ? 1? ? 110

?

??

?

20、已知函数 f ( x) ? log 2 (1)求 f ( x ) 的定义域; (1)要使 f ( x) ? log 2

1? x (12 分) 1? x
(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

1? x 1? x ? 0 ? ?1 ? x ?? 有意义,必须 ?1 ? x ? ? 0 ? ?1 ? x ? 1 1? x 1? x 1? x ∴函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) 1? x 1? x 1? x ? 0 ? log 2 ? log 2 1 (2) f ( x) ? 0 ,即 log 2 1? x 1? x 1? x ? 1, ∵以 2 为底的对数函数是增加的,∴ 1? x
4

? x ? (?1,1),?1 ? x ? 0,?1 ? x ? 1 ? x ? x ? 0 1? x 又∵函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) ,∴使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为 (0,1) 1? x
21、判断函数 f ( x) ? lg 解: f ( x) ? lg

?
2

x2 ? 1 ? x 的奇偶性、单调性.(12 分)

?

?

x2 ? 1 ? x 是奇函数,减函数.
2

?

? x ?1 ? x? , f (x) ? lg ? x ?1 ? x? ∴ f ( x) ? f (? x) ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg ? x ? 1 ? x ? ? lg1 ? 0 即 f ( x) ? ? f (? x) ,∴函数 f ( x) ? lg ? x ? 1 ? x ? 是奇函数.
∵ x ? R, f (? x) ? lg
2 2 2 2 2

设 x1 ? x2 , x1 , x2 ? R ,设 u ( x) ? 则 f ( x1 ) ? lg

x2 ? 1 ? x ,

?

x12 ? 1 ? x1 , f ( x2 ) ? lg

?

?

x22 ? 1 ? x2

?
x22 ? 1 ? x12 ? 1 ? ? x2 ? x1 ?

且 u( x2 ) ? u( x1 ) ?

?

x22 ? 1 ? x2 ?

??

x12 ? 1 ? x1 ?

? ?

?

?

? x ? x ? x 2 ?1 ? x 2 ?1 ? 2 1 ? 2 1 ? ? ( x2 ? x1 ) ? ? x2 ? x1 ?? 2 2 2 2 ? ? x2 ? 1 ? x1 ? 1 x ? 1 ? x ? 1 2 1 ? ? x2 2 ? x12
2 2

∵ x2 ? 1 ? x2 ≥ x2 , x1 ? 1 ? x1 ≥ x1 ,∴ x2 ? ∴ u( x2 ) ? u( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴函数 f ( x) ? lg

x2 2 ? 1 ? 0, x1 ? x12 ? 1 ? 0

?

x2 ? 1 ? x 在定义域内是减函数.

?

x x 22、设函数 f ( x ) ? log 2 a ? b ,且 f ?1? ? 1, f ? 2? ? log2 12 .

?

?

(1)求 a , b 的值:

(2)当 x ??1,2? 时,求 f ( x ) 的最大值.

解: (1)由已知得 ?

? ?

? ?log 2 ? a ? b
2
x x

log 2 ? a ? b ? ? 1,
2

? ? log 12.
2

所以 ?

? a ? b ? 2, 故 a ? 4, b ? 2. 2 2 ?a ? b ? 12.

2 ?? x 1 ? 2 1 ? ? x 1? 1 (2)f ( x) ? log 2 ? 4 ? 2 ? ? log 2 ?? 2 ? ? ? ? , 且 u ? x ? ? ? 2 ? ? ? 在 x ??1, 2? 时 2 ? 4? 2? 4 ? ?? ? ?

1? 1 ? 是增加的,当 x ? 2 时, u ? x ? 有最大值 u ? x ?max ? ? 22 ? ? ? ? 12 .所以 f ( x ) 的最大值 2? 4 ?
为 log 2 12 .

2

5


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