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河北省武邑中学2015-2016学年高一上学期周考(1.24)数学试题Word版含答案


2015-2016 学年高一年级数学周测(1.24) 数学必修 5 解三角形综合检测 1
一、选择题:
1.(2014.广州综合测试)在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 C ? 2B ,则 c b
为( )
A. 2sinC B. 2cos B C. 2sin B D. 2cosC 2. 在 ?ABC 中,已知 a ? 2,b ? 2, B ? 450 ,则角 A ? ( )

A. 300 或1500 B. 600 或1200 C. 600 D. 300 3.(2014.昆明一模)已知 ?ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 A ? ? ,
3 b ? 2a cos B , c ?1,则 ?ABC 的面积等于( )

A. 3 B. 3 C. 3 D. 3

2

4

6

8

4.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为 450 和 600 ,则塔高为( )

A. 200(3 ? 3) m B. 400 3 m C. 200(3 ? 3) m D. 400 2 m

3

3

3

3

5.某观察站 C 与两灯塔 A, B 的距离分别为 300m 和 500m ,测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东

300 ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 300 处,则两灯塔 A, B 间的距离为( )

A. 400m B. 500m C. 700m D.800m 6.在 ?ABC 中, a ? b ?10c ? 2(sin A ? sin B ?10sin C) , A ? 600 ,则 a ? ( )

A.3 B.23 C.4 D.不确定
7.(2014.新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB ? 1, BC ? 2 ,则 AC ?( ) 2
A.5 B.5 C.2 D.1

8.在锐角 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4 ,其面积 S?ABC ? 3 3 ,则 BC ? ( )

A.5 B.13 或 37 C.37 D.13

二、填空题

9.在 ?ABC 中,若 AB ? 5, AC ? 5 ,且 cos C ? 9 ,则 BC ?

.

10

10.已知 a,b, c 是 ?ABC 中角 A, B,C 所对的边,S 是 ?ABC 的面积,若 a ? 4, b ? 5, S ? 5 3 ,

则 c 的长度为

.

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

三、解答题
13. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 cos A ? 4 ,若 b ? 2 , ?ABC 的面 5
积为 3,求 tan C .

14. 在 ?ABC 中,已知 2a ? b ? c,sin2 A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状.

15.已知 ?ABC 的面积为10 3cm2 , a ? b ?13 , C 为 600 ,求这个三角形的各边长. 16.如图,甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处,乙船以每小时 10 海里的 速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏西 600 方向行驶,问经
过多少小时后,甲、乙两船相距最近?

17.(2014.北京卷)如图,在 ?ABC 中,?B ? ? , AB ? 8 ,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2, 3
cos ?ADC ? 1 . 7
(1)求 sin ?BAD ;
(2)求 BD, AC 的长.

18.(2014.湖南卷)如图,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1, CD ? 2, AC ? 7 .

(1) cos ?CAD 的值;

(2)若 cos ?BAD ? ? 7 , sin ?CBA ? 21 ,求 BC 的长.

14

6

参考答案

一、选择题
1.由于 C ? 2B ,故 sin C ? sin 2B ? 2sin Bcos B ,所以 sin C ? 2 cos B ,由正弦定理可得 sin B
c ? sin C ? 2 cos B ,故选 B. b sin B

2.由正弦定理 a ? b ,得 sin A ? a sin B ? 2 sin 450 ? 1 ,又因为 b ? a ,故

sin A sin B

b

2

2

A ? 300 ,故选 D.

3.由正弦定理得 sin B ? 2sin Acos B ,故 tan B ?2sin A ?2sin ? ? 3 ,又 B ?(0, ?) ,所 3



B

?

? 3

,则 ?ABC 是正三角形,所以 S?ABC

?

1 bc sin 2

A

?

3 ,故选 B. 4

4. A 5. C

定理得: AC2 ? 1? 2 ? 2 2 cos 450 ? 1 ,所以 AC ?1,又因为 AB ? 1, BC ? 2 ,所以此时

?ABC 为等腰直角三角形,不合题意,舍去;当 B ? 1350 时,由余弦定理得:

AC2 ? 1? 2 ? 2 2 cos1350 ? 5 ,所以 AC ? 5,故选 B.
8.D

9.设 BC ? x ,则 ( 5) 2 ? x2 5? 2 2? 5? co?s ?C9?x2 25? x

,即 x2 ? 9x ?20 0? ,∴ x ? 4

或 x ?5. 经检验 x ? 4 或 x ? 5 符合题意,∴ BC ? 4 或 5,答案:4 或 5.
10.21 或 61

11.由余弦定理得:cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 12 ? ( 3)2 ? ( 7)2 ? ?3 ? ? 3 ,所以 B ? 5? ,

2ac

2?1? 3

23 2

6

答案: 5? . 6

12.由 a ? 2 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,故 (a ?b)(sin Asin?) B( ?)csin ?b C ,

又根据正弦定理,得 (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ,化简得: b2 ? c2 ? a2 ? bc ,故

cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 1 ,所以 A ? 600 ,又 a2 ? 4 ? b2 ?2c ? bc ? 2bc ? bc ? bc ,即 bc ? 4 ,

2bc

2

故 S?ABC

?

1 bc sin 2

A

?

3 ,答案:

3.

13.由 cos

A?

4 5

?

0 ,知 sin

A

?

3 5

, ?ABC 的面积为 S?ABC

?

1 bc sin 2

A

?

3 ,得 c

? 5 ,由

正弦定理得 c ? 2 , sin B ? sin(A ? C) ? sin AcosC ? cos Asin C ,所以 sin C sin B

5(3 cos C ? 4 sin C) ? 2sin C ,得 2sin C ? ?3cosC ,所以 tan C ? ? 3 .

5

5

2

14.由正弦定理得 a2 ? bc ,又 2a ? b ? c ,∴ 4a2 ? (b ? c)2 ,∴ 4bc ? (b ? c)2 ,即

(b ? c)2 ? 0 ,∴ b ? c ,

又 2a ? b ? c 得 2a ? 2b ,∴ a ? b ,即 a ? b ? c ,∴ ?ABC 为等边三角形.

15. S ? 1 ab sin C ,∴10 3 ? 1 absin 600 ,∴ ab ? 40 ,∵ a ? b ?13 ,∴ a ? 5,b ? 8 或

2

2

a ? 8,b ? 5 ,∴ c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cosC ? 49 ,∴ c ? 7 ,故三角形三边长为

a ? 5cm,b ? 8cm,c ? 7cm 或 a ? 8cm,b ? 5cm, c ? 7cm .

16.如图,设经过 x 小时后,甲船和乙船分别到达 C, D 两点,

则 AC ? 8x , AD ? AB ? BD ? 20 ?10x ,∴ CD2 ? AC2 ? AD2 ? 2AC ? AD ? cos 600

? (8x)2 ? (20 ?10x)2 ?16x ? (20 ?10x) ? 1 ? 244x2 ? 560x ? 400 2

? 244(x ? 70)2 ? 4800 ,∴当 x ? 70 时, CD 取得最小值.

61 61

61

因此,经过 70 小时甲、乙两船相距最近. 61
17.(1)在 ?ABC 中,∵ cos ?ADC ? 1 ,∴ 7

sin ?ADC ? 1? cos2 ?ADC ? 1? (1)2 ? 48 ? 4 3 ,

7

49 7



sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B ? 4 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 3 3 7 2 7 2 14
.

(2)在 ?ABD 中,由正弦定理得 BD

?

AB ? sin ?BAD

?

8? 3 3 14

? 3,

sin ?ADB

43

7

在 ?ABC 中,由余弦定理得 AC2 ? AB2 ? CB2 ? 2AB ? BC ? cos B ? 82 ? 52 ? 2?8? 5? 1 ? 49 ,
2 即 AC ? 7 .

18.(1) cos ?CAD ? AC2 ? AD2 ? CD2 ? 1? 7 ? 4 ? 2 7 .

2AD ? AC

2?1? 7 7

(2)∵ cos ?BAD ? ? 7 ,∴ sin ?BAD ? 1? 7 ? 3 21 ,

14

196 14

∵ cos ?CAD ? 2 7 ,∴ sin ?CAD ? 1? 4 ? 21 ,

7

77



sin ?BAC ? sin(?BAD ? ?CAD) ? sin ?BAD cos ?CAD ? cos ?BAD sin ?CAD ? 3 21 ? 2 7 ? 7 ? 21 ? 3 14 7 14 7 2

∴由正弦定理知: BC ? AC , sin ?BAC sin ?ABC

∴ BC ? AC ? sin ?BAC ? 7 ? 3 ? 3 .

sin ?ABC

21 2

6


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