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2012--2013(上)高三(7)数学周六考试试题10(答案)


2012~2013(上)高三(7)数学周六考试试题 10(答案)
命题人:张开桃 8. 已知双曲线

x2 ?

y2 ?1 2 的焦点为 F1 , F2 ,点 M 在双曲线上,且 MF1 ? MF2 ? 0 ,则点 M 到


姓名: 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 i 1. 复数 在复平面上对应的点位于 3 ? 4i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

x 轴的距离为( D
( A D.第四象限 ) )

4 A. 3

5 B. 3

C. 3

2 3 D. 3
5 ]=1),对于给定的 n ? N*,定义 4
D )

2. 设全集U ? R , A ? {x | 2 x ( x ?2) ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则图中阴影部分 表示的集合为 B (
A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 1}

9. 设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2, [

Cnx ?

n(n ? 1)? (n ? ? x ? ? 1)

?3 ? , x ? ?1, ?? ? ,则当 x? ? ,3 ? 时,函数 C8x 的值域是( x( x ? 1)? ( x ? ? x ? ? 1) ?2 ? ?16 ? ,56 ? ?3 ? ? 16 ? ? 28 ? ? ? ? ? 3 , 28? ? ? 3?

? ? ? ? 3. 已知向量 a ? ( x ? 4,1), b ? ( x 2 , 2), 则 x ? 4 是 a//b 的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

A )

A. ?

?16 ? , 28? ?3 ? 28 ? ? ? ? 28,56 ? 3 ?

B. ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( C D.(2, 2.5) ,则等差数列 {a n } 的前 13 项 )

C. ? 4,

4. 若 x 0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x 0 属于区间
A.(0, 1) B.(1, 1.5) C.(1.5, 2)

? ?

D. ? 4,

5. 在等差数列 {a n } 中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 48

解析:当 x

时,



时,

所以

;

的和为( B ) A.104 B.52 C.39 D.24 6. 某几何体的三视图(单位:m)如右图所示,则其表面积为( D ) A. (96 ? 32 2)m B. (64 ? 32 2)m
2



时,



时,

故函数
2

的值域是

.

C. (144 ? 16 2 ? 16 3)m D. (80 ? 16 2 ? 16 3)m
2

2

10. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) ? 1 . f ?(x) 为 f (x) 的导函数,已知函数 y ? f ?(x) 的图象如右图所示.若两正数 a, b f (2a ? b) ? 1 ,则

b?2 的取值范围是( C a?2

)

7. 为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象(

B



1 1 ) 3 2 1 C. ( , 3) 2
A. ( ,

B. (??, ) ? ? 3, ?? ? D. (??, ?3)

1 2

y

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D. 向左平移 个单位长度 3
B. 向右平移
1

O
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分

x

11. 甲、乙、丙、丁 4 人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传

给另外 3 个人中的任何 1 人,经过 3 次传球后,球在甲手中的概率是_______.

2 12. 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点到 y 轴和到直线 l 的距离之和的最小

2 9

值为 答案:1 13. 如右图所示的程序框图输出的结果为 .

1 2
17. (本小题满分 12 分)某校为了对学生的 语文、英语的综合阅读能力进行分析,在全体学生 中随机抽出 5 位学生的成绩作为样本,这 5 位学生的语文、英语的阅读能力等级得分(6 分制) 如下表:

?x ? y ? 2 ? 14. 已知 O 是坐标原点,点 A ? ?1,1? .若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的 ?y ? 2 ? ??? ???? ? ? 一个动点 ,则 OA ? OM 的取值范围是_______ __ _. ?0,2?

x (语文阅读能力)
y (英语阅读能力) y

2 1.5

3 3

4 4.5

5 5

6 6

15. 一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依
此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前 2 012 个圆中共有●的个数是__________.61

三.解答题:共 75 分
? ?1 1 ? ? 3 cos x ? 与 b ? (1, y ) 共线,设函数 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? , sin x ? ?2 2 ? 2 ? ? y ? f ( x) 。 (1)求函数 f ( x) 的周期及最大值;

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

?? ? (2) 已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、 C, B、 若有 f ? A ? ? ? 3 , BC= 7 , 边 3? ? 21 ,求 △ABC 的面积. sin B ? 7

x

(1)如果以能力等级分数不 小于 3.5 分作为良好的标准,若从该样本中任抽取 2 名学生成绩, 求这 2 名学生的语文、英语阅读能力均为良好的概率; (2)根据上表数据 ①请画上表数据的散点图;

? ②请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a

? b?
(注: 答案

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ? , a ? y ?b x


2 i

2

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 每 答案: 个侧面均为正方形,D 为底边 AB 的中点,E 为侧棱 CC1 中点 (1)证: CD // 面 A1 EB (2)证: AB1 ? 面 A1 EB (2)用两点间距离公式推得 l 1 ? l 2 需要证明 若 l 1 与 l 2 有一条斜率不存在 s ? 2

19. (本小题满分 12 分)已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2 ? 1 ? n ? N *? .
n

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? S n ? an ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 6an ? Tn 的最大值及此时 n 的值. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 , …………………………………2 分 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2 ? 1 ? 2
n

16 易得面积的最小值为 9
21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ?

?

? ?

n ?1

? 1? ? 2n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,
…………………………………6 分 …………………………………7 分

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中m ? 0 3

? a1 ? 1 适合上式,? ?an ? 的通项公式是 an ? 2n ?1 .
(2) bn ? 2 ? 1 2
n

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线斜率 (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ) 已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 ? x2 。 且 若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] ,

?Tn ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ? ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ?

?
n

?

n ?1

? 22 n ?1 ? 2n ?1 ,

2?4 ? 2 n 2 1 ? 2 ? 1 ? ? 4n ? 2n ? 1? 4 1? 2 3 3 3 2 2 n 1 2 n 17 n 故 6an ? Tn ? ? ? 4 ? 4 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3? ? , 3 3 3 3 ?
n

2 ?1 ? 4

? ? 1? 2

?

n

…………………………11 分

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围 1 3 2 / 2 ' 解:当 m ? 1时,f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
w.w.w..c.o .m

所以曲线 y ? f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线斜率为 1. -----------3 分 (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

所以当 n ? 1 或 2 时, ? 6an ? Tn ?max ? 5 20. (本小题满分 13 分)椭圆的中心在坐标原点,长轴端点为 A , B ,右焦点为 F ,且

1 因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m
当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

AF ? FB ? 1 ,

OF

=1

(1)求椭圆方程 (2)过椭圆的右焦点 F 作直线 l1 , l 2 ,

x
f ' ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

直线 l1 与椭圆分别交于点 M , N , l 2 与 椭圆交于 P , Q ,且

MP ? NQ ? NP ? MQ

2

2

2

2

f (x)


f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =
3

求四边形 MPNQ 的面积 S 的最小值

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 ------6 分

函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? (3)解:由题设, f ( x) ? x(? 所以方程 ?

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 ----9 分

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) 3 3

1 2 x ? x ? m 2 ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x 2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2
因为 x1 ? x2 , 所以2 x2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ?

3 ?1 2 ------------------10 分

1 3 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, -------------12 分 1 则 f ( x) ?? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f (x) 在 x ? [ x1 , x 2 ] 的最小值 3 1 2 为 0,于是对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 ,解得 3
若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意

?

1 3 3 3 ) ?m? 综上,m 的取值范围是 ( , 2 3 --------------14 分 3 3
w.w. w..c.o.m

4


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