2015 年上海市浦东新区高三二模
数学试卷（理科）
注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.
2.本试卷共 23 道试题，满分 150，考试时间 120 分钟.
一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1.不等式 3x ? 2 的解为
..
2.设 i 是虚数单位，复数 ?a ? 3i??1 ? i? 是实数，则实数 a ?
.
3.已知一个关于
x,
y
的二元一次方程组的增广矩阵为
?1
? ?
0
?1 1
2?
2
? ?
，则
x
?
y
?
.
4.已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ，则该数列的通项公式 an ?
.
5.已知
? ??
x2
?
1 x
?n ? ?
展开式中二项式系数之和为
1024，则含
x2
项的系数为
.0
6.已知直线 3x ? 4y ? 2 ? 0 与 ? x ? 1?2 ? y2 ? r2 圆相切，则该圆的半径大小为
.
7.在极坐标系中，已知圆 ? ? 2r sin? ?r ? 0? 上的任意一点 M ??,? ? 与点 N ?2,? ? 之间的最小
距离为 1，则 r ?
.
8.若对任意 x?R ，不等式 sin 2x ? 2sin2 x ? m ? 0 恒成立，则 m 的取值范围是
.
9.已知球的表面积为 64? cm2 ，用一个平面截球，使截面球的半径为 2 cm ，则截面与球心的
距离是
cm
10.已知随机变量? 分别取 1、2 和 3，其中概率 p ?? ? 1? 与 p ?? ? 3? 相等，且方差 D? ? 1 ，
3
则概率 p?? ? 2? 的值为
.
2
11.若函数 f ? x? ? x2 ? x3 ? 4 的零点 m ??a, a ?1? ， a 为整数，则所以满足条件 a 的值
为.
12.若正项数列?an? 是以 q 为公比的等比数列，已知该数列的每一项 ak 的值都大于从 ak?2 开
始的各项和，则公比 q 的取值范围是 .
13.已知等比数列?an? 的首项 a1 、公比 q 是关于 x 的方程 ?t ?1? x2 ? 2x ? ?2t ?1? ? 0 的实数
解，若数列?an? 有且只有一个，则实数 t 的取值集合为
.
14.给定函数 f ? x? 和 g ? x? ，若存在实常数 k,b ，使得函数 f ? x? 和 g ? x? 对其公共定义域 D
上的任何实数 x 分别满足 f ? x? ? kx ? b 和 g ? x? ? kx ? b ，则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ? x?
和 g ? x? 的“隔离直线”.给出下列四组函数：
①
f
?x?
?
1 2x
?1, g ? x?
? sin x
；②
f
?x?
?
x3, g ?x?
?
?1 x
；
③
f
?x?
?
x
?
1 x
, g ? x?
?
lg x
；④
f
?x?
?
2x
?
1 2x
,
g ? x?
?
x
其中函数 f ? x? 和 g ? x? 存在“隔离直线”的序号是 .
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）；每小题给出四个选项，其中有且只有一个选 项是正确的，考生应在答题纸相应的位置上，选对得 5 分，否则一律不得分.
15.已知 a,b 都是实数，那么“ 0 ? a ? b ”是“ 1 ? 1 ”的 ab
()
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
16.平面? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零，则平面? 与平面 ? 的位置关系
是
()
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
D. 平行或相交
17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 3 没有公共点，设点 P 的坐标 ?a,b? ,那过点 P 的一条
直线与椭圆 x2 ? y2 ? 1 的公共点的个数为 43
A. 0
B. 1
C. 2
18.如图，正方体 P1P2P3P4 ? Q1Q2Q3Q4 的棱长为 1，设
()
D. 1 或 2
? ? ?? ? ? x ? P1Q1?SiTj , Si ,Tj ? Pi ,Qj , i, j ??1,2,3,4? ，
对于下列命题： ①当 SiTj ? PiQi 时， x ?1；
②当 x ? 0 时， ?i, j? 有 12 种不同取值；
③当 x ? ?1时， ?i, j? 有 16 种不同的取值；
④ x 的值仅为 ?1,0,1 . 其中正确的命题是
()
P4 P1
P3 P2
Q4 Q1
Q3 Q2
A. ①②
B. ①④
C. ①③④
D. ①②③④
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）：解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，
写出必要的步骤. 19. （本大题共有 2 个小题，满分 12 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分.
已知函数 f ? x? ? x ? a ,? x ? 0?, a 为实数.
x
（1）当 a ? ?1时，判断函数 y ? f ? x? 在 ?1, ??? 上的单调性，并加以证明；
（2）根据实数 a 的不同取值，讨论函数 y ? f ? x? 的最小值.
20. （本大题共有 2 个小题，满分 12 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分. 如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面正方形 ABCD 为边长为 2， PA ? 底面 ABCD ， E 为
BC 的中点， PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan 2 . 2
P
（1）求异面直线 AE 与 PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点 B 到平面 PCD 的距离.
A
D
B
C
21. （本大题共有 2 个小题，满分 14 分）第（1）题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.
一颗人造卫星在地球上空 1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行，每 2 小时绕地球一周，将地
球近似为一个球体，半径为 6370 千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星
与中午 12 点整通过卫星跟踪站 A 点的正上空 A' ，12：03 时卫星通过 C 点，（卫星接收天
线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
(1)求人造卫星在 12：03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离.（精确到 1 千米）
(2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角（精确到 1 分）.
C A'
A
O
22. （本大题共有 3 个小题，满分 16 分）第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分， 第（3）小题满分 6 分. 已知直线 l 与圆锥曲线 C 相交于两点 A, B ，与 x 轴， y 轴分别交于 D、E 两点，且满足
EA ? ?1 AD EB ? ?2 BD
（1）已知直线 l 的方程为 y ? 2x ? 4 ，抛物线 C 的方程为 y2 ? 4x ，求 ?1 ? ?2 的值；
（2）已知直线 l : x ? my ?1?m ? 1? ，椭圆 C : x2 ? y2 ? 1，求 1 ? 1 的取值范围；
2
?1 ?2
（3）已知双曲线
C
:
x2 a2
?
y2 b2
? 1? a
? 0,b
? 0?,?1
? ?2
?
2a2 b2
，试问 D 是否为定点？若是，求
点 D 的坐标；若不是，说明理由.
23. （本大题共有 3 个小题，满分 18 分）第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分. 第（3）小题满分 8 分.
记无穷数列?an? 的前 n 项 a1, a2 , , an 的最大项为 An ，第 n 项之后的各项 an?1, an?2 , 的
最小项为 Bn ，令 bn ? An ? Bn .
（1）若数列?an? 的通项公式为 an ? 2n2 ? 7n ? 6 ，写出 b1,b2 ，并求数列?bn? 的通项公式；
（2）若数列?bn? 的通项公式为 bn ? 1? 2n ，判断?an?1 ? an? 是否等差数列，若是，求出公
差；若不是，请说明理由；
（3）若数列?bn? 为公差大于零的等差数列，求证：?an?1 ? an? 是否为等差数列.