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解析几何小结(有配题)


解析几何小结
※重要知识点的回忆: ①直线的五种表示方法、直线间的位置关系、到角夹角公式、点到 直线距离、重心中点坐标的表示。 ②圆方程的表示方法、点直线圆与圆的位置关系、切线方程。 ③椭圆、双曲线、抛物线:一二定义,定义域,焦点,焦半径,长 短轴,渐近线,准线,离心率,abc 关系,通径,弦长公式。 ※考点细化: 一、直线与圆位置关系 ①代数法
解题步骤 适用情况 ①通过消元得到关于 x 的一元二次方程;②根据方程的个数对 各个选项进行讨论. 能转化为直线与圆的方程组的问题.

②几何法
① 求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小; 解题步骤 ②判断二者的大小,大于半径相离;等于半径相切;小于半 径相交. 适用情况 通过圆的几何性质能求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小.

二、解析几何最值问题 ①定义转化问题
解题步骤 适用情况 ①根据圆锥曲线的定义列方程; ②将最值问题转化为距离问题求解. 此法为求解最值问题的常用方法,多数题可以用.

②切线切点问题
①求与直线平行的圆锥曲线的切线; 解题步骤 ②求出两平行线的距离即为所求的最值.

适用情况

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离时用此法.

③韦达定理与基本不等式的应用
①将最值用变量表示. 解题步骤 ②利用基本不等式求得表达式的最值.

适用情况

最值问题中的多数问题可用此法.

④第二定义
①将所求式子带分式部分转化为到准线距离。 解题步骤 ②利用两点间线段最短求解。

适用情况

两绝对值相加求最值问题。

三、解析几何范围问题 ①几何性质的活用
解题步骤 适用情况 ①由几何性质建立关系式; ②化简关系式求解. 利用定义求解圆锥曲线的问题.

②判别式法
解题步骤 ①联立曲线方程,消元后求判别式; ②根据判别式与零关系结合曲线性质求解. 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时,分别对应着直线和圆锥 适用情况 曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于 零、小于零.此类问题可用判别式法求解.

四、解析几何定值定点问题 ①特殊到一般思想在证明题中的应用
解题步骤 适用情况 ① 根据特殊情况确定出定值或定点; ②对确定出来的定值或定点进行证明. 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.

②引进参数与方程思想的结合
解题步骤 ① 引进参数表示变化量; ②研究变化的量与参数何时没有关系, 找到定值或定点. 适用情况 定值、定点是变化中的不变量,引入参数找出与变量与 参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).

五、解析几何轨迹问题 ①直接法
解题步骤 适用情况 建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明 所求动点的要满足的条件简单明确

②定义法
解题步骤 ①分析、说明动点的轨迹所满足的曲线类型; ②求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线等)的定义或特征

适用情况

③相关点转移代入法
① 将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示; 解题步骤 ② 代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即 得到动点 P 的轨迹方程。 适用情况 题目中有多个动点,所求动点可用这些点表示。

④几何法

① 利用平面几何或解析几何知识分析图形性质; 解题步骤 适用情况 ② 找到动点的运动规律和要满足的条件,从而得到动点 的轨迹方程. 题目简洁,考点几何意图明确。

⑤点差法
①把弦的两端点设出并代入圆锥曲线方程; ②将①中得到两方程相减可得 x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式; ③中点坐标和这条弦的斜率即可得到,代入求出中点轨 迹方程。 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题

解题步骤

适用情况

⑥交轨法
①将四个端点分别设出; 解题步骤 ②用两点式表示出两直线方程, 将两方程左右同时相乘; ③将在曲线上的其中一点代入曲线方程并与②中乘得方 程联立,化简消元。 适用情况 求两曲线的交点轨迹


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