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4-5高三复习周-三角函数的性质


第四章

三角函数

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第四章

三角函数

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第四章

三角函数

y=sinx 定义域

y=cosx

y=tanx

y=cotx

R

R

π {x|x≠kπ+ , 2 {x|x≠kπ, k∈Z} k∈Z}

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图象

( )

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三角函数
y=sinx y=cosx y∈ [-1,1] y=tanx y∈ R y=cotx y∈ R
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值域

y∈ [-1,1]

最值

无最大值和 最小值

无最大值和 最小值

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第四章

三角函数

y=sinx 奇偶性 奇函数

y=cosx 偶函数

y=tanx 奇函数

y=cotx 奇函数

对称性

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周期





π

π 单调减

)

单调性

区间 (kπ,kπ+ π)(k∈Z)

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第四章

三角函数

二、函数y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的奇偶性与周

期性
1.函数y=Asin(wx+φ)(wx≠φ)为奇函数的充要条件为

φ=

kπ ,k∈Z,为偶函数的充要条件为φ=

, k∈Z.

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函数y=Acos(wx+φ)(A,w≠0)为奇函数的充要条件为φ=

(

,k∈Z.为偶函数的充要条件为φ=, k∈Z.
kπ 函数y=Atan(wx+φ)(A,w≠0)为奇函数的充要条件为φ=

)

,k∈Z.它不可能是偶函数.

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第四章

三角函数

2.y=Asin(wx+φ)的周期是
y=Acos(wx+φ)的周期是 y=Atan(wx+φ)的周期是 y=Acot(wx+φ)的周期是


; ; (其中w>0)

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第四章

三角函数

●易错知识 1.下面四个命题中正确命题的序号是________.
(1)正切函数在整个定义域内是增函数; (2)周期函数一定有最小正周期; (3)函数 y=3tan x2的图象关于 y 轴对称; (4)若 x 是第一象限角,则 sinx 是增函数,cosx 是减 函数. 答案:(3)

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第四章

三角函数

二、忽视定义域产生的混淆 x 2tan2

2.y= x的最小正周期是________. 1-tan22

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答案:π

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三角函数

π sin(x-4) 3.(2010· 湖北八校联考)函数 f(x)= 2|sinx|· 是 sinx-cosx ( π A.周期为2的偶函数 B.周期为 π 的非奇非偶函数 C.周期为 π 的偶函数 π D.周期为 的非奇非偶函数 2 )

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三角函数

答案:B
π 解析:由 sinx-cosx≠0 得 x≠kπ+4,k∈Z,因 此,函数 f(x)的定义域不关于原点对称,故函数 f(x)既 不是奇函数也不是偶函数. 注意到 f(x)=|sinx|(x≠kπ+ π ,k∈Z),所以函数 f(x)的周期为 π,故选 B. 4
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三角函数

4.y=log2cosx的递增区间是________________.
π 答案:(2kπ- ,2kπ]k∈Z 2
三、忽视 x 的系数符号易出错 5 . 函 数 π 1 y = sin( 4 - 2 x) 的 增 区 间 为

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______________________________________________. 5π π 答案:[4kπ- 2 ,4kπ-2].k∈Z

)

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三角函数

●回归教材

1.(2010·陕西,3)函数f(x)=2sinxcosx是(
A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数
2π 解析:f(x)=sin2x,T= 2 =π, f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),∴选 C.

)

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答案:C
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三角函数

2.比较下列两数的大小 (1)sin125° ________sin152° ; π 3π (2)cos(-5)________cos 5 ; 3π 2π (3)cot(- 5 )________cot 5 .

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答案:> >



)

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三角函数

3.判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x3+sinxcosx;(2)y= sinx.

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答案:(1)奇函数 (2)非奇非偶函数

( )

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三角函数

4.(教材改编题)函数 y=cosx 的一个单调递增区间为 ( π π A.(-2,2) π 3π C.(2, 2 ) B.(0,π) D.(π,2π) )
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解析:观察y=cosx的图象经分析可知选D. 答案:D

)

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三角函数

π 5.(教材改编题)在下列函数中,同时满足①在(0, )上 2 递减;②以 2π 为周期;③是奇函数的函数是 ( A.y=tanx C.y=-sinx B.y=cosx D.y=sinxcosx )

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1 解析:根据函数 y=sinx,y=cosx,y=tanx 及 y= sin2x 2 的图象和性质可知应选 C.

答案:C

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三角函数

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三角函数

求使函数解析式有意义的x的范围,一般转化为利用 单位圆、数轴、三角函数的图象解不等式或不等式组.
【例 1】 求下列函数的定义域:

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(1)y=lg(2sinx-1);(2)y= cosx+ 16-x2.

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三角函数

分析:(1)只需 2sinx-1>0,求 x 的取值范围;
?cosx≥0 ? (2)需解? ?16-x2≥0 ?

的 x 的范围.

解析:(1)要使原函数有意义,必须有 2sinx-1>0,即 1 sinx>2. 作出单位圆中的三角函数线, 由图①知, 原函数的定义 π 5π 域为(2kπ+6,2kπ+ 6 )(k∈Z).

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三角函数

?cosx≥0 ? (2) 要 使 原 函 数 有 意 义 , 必 须 有 ? ?16-x2≥0 ? ?cosx≥0 ? ? ?-4≤x≤4 ?

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?

. 作出函数 y=cosx 的图象,由图②知,原

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( )

π π 函数的定义域为[-2,2].
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三角函数

总结评述:(1)确定三角函数定义域的原则是:当函

数是用解析式给出时,其定义域就是使解析式有意义的自
变量的允许值的集合,当函数由实际问题给出时,其定义 域由实际问题确定,当函数用图象给出时,其定义域是图 象在x轴上的投影所覆盖的x的集合. (2)确定三角函数的定义域的依据是:

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(Ⅰ)正余弦函数和正余切函数的定义域.
(Ⅱ)若函数是分式函数,则分母不能为零. (Ⅲ)若函数是偶次根式,则被开方式非负.

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三角函数

求下列函数的定义域: (1)y= 1 2+log x+ tanx; 2

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(2)y=lg(2sinx- 2)- 1-2cosx.

( )

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三角函数

1 ? ?2+log x≥0 2 ? ?x>0 解析:(1)x 应满足? ?tanx≥0 ? π ?x≠kπ+2(k∈Z) ?



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?0<x≤4 ? π 即为? ?0<x< 或 π≤x≤4, π 2 ?kπ≤x<kπ+2(k∈Z) ? π ∴所求定义域为(0,2)∪[π,4].
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三角函数

? 2 ?2sinx- 2>0 ?sinx> 2 ? (2)x 应满足? ?? ?1-2cosx≥0 ? ?cosx≤1 2 ? 利用单位圆中的三角函数线,可得 π 3π ∴ +2kπ≤x< +2kπ(k∈Z), 3 4



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π 3π ∴所求定义域为[2kπ+3,2kπ+ 4 )(k∈Z).

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三角函数

总结评述:对于(1)要注意根据0<x≤4去适当选择整数 k的取值.对于(2)运用三角函数图象也可以,但出现多种 三角函数时,还是用单位圆中的三角函数线为宜.

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三角函数

求三角函数周期的一般方法有:①公式法:将三角 函数式化简为 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的形式, 2π π 周期 T=|ω|; 化为 y=Atan(ωx+φ)的形式, 周期 T=|ω|.② 图象法:如果解析式中含有绝对值符号,可考虑利用图 象判断求解.③定义法:对定义域中的每个自变量先由 解析式观察,初步确定周期 T,然后再利用定义 f(x+T) =f(x)验证.

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三角函数

【例 2】

π (1)求函数 f(x)=cos(2x- )+2sin(x- 3

π π )sin(x+ )的最小正周期. 4 4

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三角函数

π π π 解析:f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ) 3 4 4 1 3 = cos2x+ sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 2 2 1 3 =2cos2x+ 2 sin2x+sin2x-cos2x 1 3 =2cos2x+ 2 sin2x-cos2x π =sin(2x-6). 2π ∴最小正周期为 T= =π. 2
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三角函数

(2)f(x)=|2sin +sinx-1|的最小正周期是( 2 π A. 2 B.π C.2π

2x

)

D.4π

解析:f(x)=|1-cosx+sinx-1|=|sinx-cosx| π =| 2sin(x- )|.借助图象,可知最小正周期为 π. 4

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答案:B

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三角函数

规律总结:1.y=|sinx|的周期 T=π. π y=|sin(ωx+φ)|的周期 T=|ω|. 2.y=sin|x|不是周期函数. 3.y=|tanx|的周期仍为 π. 4.y=cosx 与 y=cos|x|的周期一样,为 2π.

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三角函数

x π (2010· 湖北,2)函数 f(x)= 3sin( - ),x∈R 的最 2 4 小正周期为 ( π A. 2 B.π C.2π D.4π )

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2π 解析:∵T= 1 =4π,故选 D. 2 答案:D

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三角函数

求下列函数的最小正周期. (1)y=(asinx+cosx)2(a∈R); π (2)y=2cosxsin(x+3)- 3sin2x+sinxcosx; π (3)y=2|sin(4x-3)|.

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解析:(1) ∵y=[ a2+1sin(x+φ)]2=(a2+1)sin2(x+φ)= 1-cos(2x+2φ) (a +1)· (φ 为辅助角). 2
2

)

2π ∴此函数的最小正周期为 2 =π.
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第四章

三角函数

1 3 (2)∵y=2cosx(2sinx+ 2 cosx)- 3sin2x+sinxcosx =sinxcosx+ 3cos2x- 3sin2x+sinxcosx π =sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+ ), 3 2π ∴该函数的最小正周期是 T= =π. 2 π 2π π (3)注意到 y=sin(4x-3)的最小正周期 T= 4 =2, 结合 y π 1 π π =2|sin(4x-3)|的图象,知其最小正周期为2×2=4.

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第四章

三角函数

三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断步骤 一致:(1)首先看定义域是否关于原点对称.(2)在满足(1) 的前提下再看f(-x)与f(x)的关系.另外三角函数中奇函数 一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,偶函数一般可化为y

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=Acosωx+b的形式.

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三角函数

【例 3】

判断下列函数的奇偶性.
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(1)f(x)=sin2x-tanx; 1+sinx-cosx (2)f(x)= ; 1+sinx+cosx (3)f(x)=cos(sinx);
π 解析:(1)∵f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z},故其 2 定义域关于原点对称. 又 f(-x)=sin(-2x)-tan(-x)=-sin2x+tanx=-f(x). ∴f(x)为奇函数.
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(4)f(x)= lgcosx.

( )

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三角函数

π π (2)∵x=2时, 1+sinx+cosx=2, x=-2时, 而 1+sinx +cosx=0,

∴f(x)的定义域不关于原点对称. ∴f(x)为非奇非偶函数. (3)∵f(x)的定义域为R,

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又f(-x)=cos(sin(-x))=cos(sinx)=f(x),
∴f(x)为偶函数.

)

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三角函数

(4)由lgcosx≥0得cosx≥1,又cosx≤1,

∴cosx=1.故此函数的定义域为x=2kπ(k∈Z),关于
原点对称,此时f(x)=0. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 点评:1.判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域 是否关于原点对称.

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2.要想说明函数不是奇函数或不是偶函数只需证明
存在x0使f(-x0)≠-f(x0)或f(-x0)≠f(x0)即可.

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第四章

三角函数

(2010·湖北荆州质检)函数f(x)=cos2(x-)+sin2(x+)
-1是 ( A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的偶函数 )

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C.周期为π的奇函数
D.周期为2π的偶函数

)

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三角函数

π π 1+cos(2x-6) 1-cos(2x+6) 解析:f(x)= + -1 2 2 1 2π = sin2x,故 T= =π 且为奇函数. 2 2

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答案:C

( )

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第四章

三角函数

使 f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ)为奇函数,且在 π [0, ]上是减函数的 φ 的一个值是 4 π A.3 2π B. 3 4π C. 3 ( 5π D. 3 )

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π π 解析:f(x)=2sin(2x+φ+3),当 φ+3=π, 2π π 即 φ= 3 时,y=-2sin2x 在[0,4]上为减函数.

)

答案:B
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第四章

三角函数

定义一种运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,将函数 f(x)= (1,sinx)*( 3,cosx)的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,所得 图象对应的函数为偶函数,则 φ 的最小值是( π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )

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第四章

三角函数

解析:f(x)=(1,sinx)*( 3,cosx)=cosx- 3sinx= π π 2cos(x+ ),向左平移 φ(φ>0)个单位得 y=2cos(x+ +φ), 3 3 由于它是偶函数, π 2π ∴3+φ=kπ(k∈Z).则 φ 的最小值是 3 ,故选 C.

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答案:C

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第四章

三角函数

规律总结: 1.若 y=Asin(ωx+φ)为偶函数, 则有 φ=kπ π + (k∈Z);若为奇函数,则有 φ=kπ(k∈Z). 2 2.若 y=Acos(ωx+φ)为偶函数,则有 φ=kπ(k∈Z); π 若为奇函数,则有 φ=kπ+2(k∈Z). 3 . 若 函 数 y= Atan(ωx + φ) 为 奇 函 数 , 则有 φ = kπ(k∈Z).

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第四章

三角函数

三角函数单调区间的确定,一般先将函数转化为基本 三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法 求解.若对函数利用描点画图,则根据图形的直观性可迅 速获解.对复合函数的单调区间的确定,应明确对复合过

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程中的每一个函数而言,奇数个减则减,偶数个减则增.

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三角函数

【例 4】 (2)求

(1)求函数

?π ? y=sin?3-2x?的单调递减区间; ? ?

?π x ? y=3tan?6-4?的最小正周期及单调区间. ? ? ? π? y=-sin?2x-3? ,再求单调区间;(2) ? ?

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分析:(1)先化为 先化为

(

? x π? y=-3tan?4-6?,再求单调区间. ? ?

)

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第四章

三角函数

π 解答:(1)方法一:令 u=3-2x,y=sinu 利用复合函数 单调性. π π π 由 2kπ-2≤-2x+3≤2kπ+2(k∈Z),得 5π π 2kπ- 6 ≤-2x≤2kπ+6(k∈Z), π 5π -kπ-12≤x≤-kπ+12(k∈Z), π 5π 即 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). ∴原函数的单调递减区间为 ? π 5π? ?kπ- , kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ?
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第四章

三角函数
? π? y=-sin?2x-3?,欲求函数的单调 ? ?

方法二:由已知函数 递减区间,只需求

? π? y=sin?2x-3?的单调递增区间. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 3 2 π 5π 解得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). ∴原函数的单调递减区间为
? π 5π? ?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ?
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第四章

三角函数

?π x ? ? x π? (2)y=3tan?6-4?=-3tan?4-6?, ? ? ? ? ?π x ? π ∴T=|w|=4π,∴y=3tan?6-4?的最小正周期为 ? ?

4π.

π x π π 由 kπ-2<4-6<kπ+2, 4π 8π 得 4kπ- 3 <x<4kπ+ 3 (k∈Z), ? x π? ? 4π 8π? ∴y=3tan ?4-6? 在 ?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ? (k∈Z)内单调递 ? ? ? ? ?π x ? ? 4π 8π? 增,∴y=3tan?6-4?在区间?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z)内单调 ? ? ? ? 递减.

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第四章

三角函数

总结评述:(1)求形如y=Asin(wx+φ)或y=Acos(wx+
φ)(其中A≠0,w>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式 的方法去解答,列不等式的原则是:①把“wx+φ(w>0)” 视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方法与 y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方

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向相同(反).

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三角函数

(2)对于 y=Atan(wx+φ)(A、w、φ 为常数,A≠0),其周
? π π? π 期 T=|w|,单调区间利用 wx+φ∈?kπ-2,kπ+2?,解出 x ? ?

的取值范围,即为其单调区间,对于复合函数 y=f(v),v= φ(x),其单调性判定方法是:若 y=f(v)和 v=φ(x)同为增(减) 函数时,y=f(φ(x))为增函数;若 y=f(v)和 v=φ(x)一增一减 时,y=f(φ(x))为减函数.

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第四章

三角函数

π π (2010· 重庆,文 6)下列函数中,周期为 π,且在[ , ] 4 2 上为减函数的是 ( π A.y=sin(2x+2) π C.y=sin(x+2) π B.y=cos(2x+2) π D.y=cos(x+2) )

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第四章

三角函数

解析:C、D 两项中函数的周期都为 2π,不合题意,排 π π π 除 C、D;B 项中 y=cos(2x+2)=-sin2x,该函数在[4,2] π 上为增函数,不合题意;A 项中 y=sin(2x+2)=cos2x,该函 数符合题意,选 A.

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答案:A

)

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三角函数

已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)在 R 上是偶 3 π 函数,其图象关于点 M(4π,0)对称,且在区间[0,2]上是单 调函数,求 φ 和 ω 的值.

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解析:因为 f(x)在 R 上是偶函数, 所以当 x=0 时,f(x)取得最大值和最小值. π 即 sinφ=± 1,则 sinφ=kπ+2,k∈Z.

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三角函数

π 又 0≤φ≤π,所以 φ= . 2 3 由图象关于( π,0)对称可知, 4 3 π 4 2 sin( πω+ )=0,解得 ω= k- ,k∈Z. 4 2 3 3 π 2π 又 f(x)在[0,2]上是单调函数,所以 T≥π,即 ω ≥π,所 以 ω≤2. 2 又 ω>0,所以当 k=1 时,ω=3,当 k=2 时,ω=2.

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总结升华:本题应用知识广泛,技巧性高,有较强的 综合性.解答时要认真分析,以提高分析问题和解决问题 的能力.

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1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y =Asin(wx+φ)(w>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区 间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的 定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同: π π (1)y=sin(2x-4);(2)y=sin(4-2x). 2.正余弦函数的线性关系式都可以转化为 f(x)=asinx +bcosx= a2+b2sin(x+φ),特别注意把 sinα± 3cosα, 3 sinα± cosα 的转化为 y=2sin(α+φ)形式时,φ 为特殊角.
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