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3[1].2古典概型(公开课)


假设一个人把钱误存进了一张长期不用的 银行卡中,并且他完全忘记了该卡的密码,问他 在自动提款机上随机地输入密码,一次就能取出 钱的概率是多少?

如何计算随机事件的概率?

密码 是… …

实验一:抛掷一枚质地均匀的硬币, 实验二:抛掷一枚质地均匀的骰子, 试验材料 试 验 一 试 验 二 试验结果 结果关系

质地是均 “正面朝上” 两个基本事件的可 匀的硬币 “反面朝上” 能性相等,即它们 的概率都是 1 2 质地是均 “1点”、“2 六个基本事件的可 点” 匀的骰子 能性相等,即它们 1 “3点”、“4 的概率都是 点” 6 “5点”、“6 点”

1.我们把上述试验中的这类随机事件称为 基本事件,它是试验的每一个可能结果。

构成试验结果的基本事件有 哪些特点? ( 1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以 表示成基本事件的和.

基本事件有如下特点:

思考:从基本事件出现 例1 从字母a,b,c,d 中任意取出两个不同字母的实验中, 的可能性来看 , 上述两 按一次性抽取的方式,哪那些基本事件? 个试验和例1及变式中 变式:若将上面的抽取方式改为按先后顺序依次抽取,结 的基本事件有什么共 同特点? 果如何呢?

基本事件 掷硬币 掷骰子 例1 例1变式

个数 2 6 6 12

共同点 1.基本事 件有有限 个 2、每个基 本事件出 现是等可 能的

“正面朝上” 、“反面朝上”
“1点”、“2点”、 “3点” “ 4点”、“ 5点”、 {a,b} 、{a,c}、 {a,d} “ 6点” {b,c} 、{b,d}、{c,d} (a,b),(a,c),(a,d),(b,a) (b,c),(b,d),(c,a),(c,b) (c,d),(d,a),(d,b),(d,c)

2、古典概率模型,简称古典概型。
①试验中所有可能出现的基本 事件只有有限个;(有限性) ②每个基本事件出现的可能性

相等。(等可能性)

(1)向一个圆面内随机地投射一个点, 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的, 你认为这是古典概型吗?为什么?

有限性

等可能性

(2)某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验 的结果只有有限个:“命中10环”、“命中9环”、 “命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命 中5环”和“不中环”。你认为这是古典概型吗? 为什么? 5 6 有限性 7 8 9 等可能性 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 9 8 7 6 5

思考:在古典概型下,基本事件出 现的概率是多少?随机事件出现的 概率如何计算?
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中,“正面 1 朝上” 的概率是多少?
2

②在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中,“出现 1 点数为1”的概率是多少?
6

③在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中,“出现
3 1 ? 奇数点”的概率是多少? 6 2

试验一: P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)

由概率的加法公式,得:
P(“正面朝上”)+P(“反面朝上”)=P(“必然事 件”)=1 P(“正面朝上”)=P(“反面朝上”)=1/2 所以,
“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 1 P (“出现正面朝上”)= ? 基本事件的总数 2

试验二: P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”) = P(“4点”)= P(“5点”)= P(“6 由概率的加法公式,得: 点”) P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”) +P(“5点”)+P(“6点”)=P(“必然事 件” )=1 所以: P(“ 1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4 点”) =“1点”所包含的基本事件的个数 P(“5点”)= P(“6点”)=1/6 1
P (“1点”)= 基本事件的总数 ? 6
“出现偶数点”所包含的基本事件的个数 3 1 P (“出现偶数点”)= ? ? 基本事件的总数 6 2

3、古典概型概率计算公式:
A所包含的基本事件的个数 m P(A)= ? 基本事件的总数 n

假设一个人把钱误存进了一张长期不用 的银行卡中,并且他完全忘记了该卡的密 码,问他在自动提款机上随机地输入密码, 一次就能取出钱的概率是多少? 解: 这是一个古典概型, 基本事件总数有1000000个。 记事件A表示“试一次密码就能取到钱”,它

包含的基本事件个数为1,
则,由古典概型的概率计算公式得:

A所包含的基本事件的个数 1 P (A)= ? 基本事件的总数 1000000

例2、单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌 握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设 考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概 率是多少? 解:这是一个古典概型, 基本事件共有4个: {选择A};{选择B};{选择C}; {选择D} 设事件A表示“答对”,它包含的基本事件个数为1 则,由古典概型的概率计算公式得:

“答对”所包含的基本事件的个数 1 P“ ? ? 答对” ?= 基本事件的总数 4

变式:如果考生不会做,但可以根据常识从
A,B,C,D四个选项中排除一个选项(比如排除A),问 此时这位考生答对的概率是多少? 解:排除A选项之后,从B、C、D三个选项中选 择一个正确答案同样也是一个古典概型,基本事件 共有3个: {选择B}; {选择C}; {选择D} 设事件A表示“答对”,它包含的基本事件个数为1 则,由古典概型的概率计算公式得:

“答对”所包含的基本事件的个数 1 P“ ? ? 答对” ?= 基本事件的总数 3

探究2:在标准化的考试中既有单选题又有不定项选
择题,不定项选择题是从A、B、C、D四个选项中选 出所有正确的答案,同学们可能有一种感觉,如果 不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么?

基本事件有: { D} {A}; {B};{C}; {A、B}; {A、C}; { A、 D } ; {B、C}; {B、D}; {C、D}; {A、B、C}; {A、B 、D}; {A、C、 D}; {B、 C 、D }; {A 、B 、 C、 D};
" 答对" 所包含的基本事件的个数 ? P(“答对”)= 基本事件的总数

1 15

例3 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的等可能结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)若以两颗骰子的点数和打赌,你认为压几 点最有利?

.

例2 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的等可能结果? 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
.

例2 同时掷两个骰子,计算: (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) 3 (3,1) (3 2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) 1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
.

解: 由上表可知,向上的点数之和是5的 结果有4种.

例2 同时掷两个骰子,计算: (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
解:

设事件A表示“向上点数之和为5”,由 (2)可知,事件A包含的基本事件个数为4 个.于是由古典概型的概率计算公式可得
A所包含的基本事件的个数 4 1 P ? A ?= ? ? 基本事件的总数 36 9

.

例2 同时掷两个骰子,计算: (4)若以两颗骰子的点数和打赌,你认为压几 点最有利?
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6 (6, ,1) 1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号
思考与探究 会出现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有 区别。这时,所有可能的结果将是:
1 1 (1,1) 2 (1,2) 3 (1,3) 4 (1,4) 5 (1,5) 6 (1,6)

2 (2,1) 3 (3,1)
4 (4 (4, ,1) 1)

(2,2) (2,3) (3 (3, ,2) 2)
(4,2)

(2,4) (3,4)
(4,4)

(2,5) (3,5)
(4,5)

(2,6) (3,6)
(4,6)

(3,3)
(4,3)

5 (5,1)
.

(5,2)
(6,2)

(5,3)
(6,3)

(5,4)
(6,4)

(5,5)
(6,5)

(5,6)
(6,6)

6 (6,1)

A所包含的基本事件的个数 2 P (A)= = 基本事件的总数 21

古典概型解题步骤:
(1)阅读题目,搜集信息; (2)判断试验是否为古典概型; (3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;

m (4)用公式P(A)= 求出概率并下结论. n

(1) 甲、乙、丙在“五· 一”3天节日 中值班,每人值班1天,甲排在乙 前面值班的概率是多少?
解:设A表示“甲排在乙前面”
基本事件有:

{甲,乙,丙}, {甲,丙,乙}, {乙,甲,丙},
{乙,丙,甲}, {丙,甲,乙}, {丙,乙,甲}. 因此,甲排在乙前面的概率为:
A所包含的基本事件的个数 3 1 P ? A ?= ? ? 基本事件的总数 6 2

(2) 某种饮料每箱装6听,如果 其中有2听不合格,问质检人员 从中随机抽取2听,检测出不合 格产品的概率有多大?

1

1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 3
4 5

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

" 检测出不合格产品" 所包含的基本事件的个数 18 3 P ?" 检测出不合格产品"?= ? ? 基本事件的总数 30 5

知识巩固
(1).基本事件的两个特点: ①任何两个基本事件是互斥的;
②任何事件(除不可能事件)都可以 表示成基本事件的和。 (2).古典概型的定义和特点: ①有限性; ②等可能性。 (3).古典概型计算任何事件的概率计算公式:

A所包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

课本: P130—3, P134—4

(2) (摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个 红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。 ① 问共有多少个基本事件; 解: 分别对红球编号为1、2、3、4、5号,对黄球编号6、7、 8号,从中任取两球,有如下等可能基本事件,枚举如下:
(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8) 7

(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2,8) 6 (3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(3,8) (4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8) 5 4 3 2

(5,6)、(5,7)、(5,8)

共有28个等可能事件

(6,7)、(6,8)

(7,8) 1

(2) (摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个 红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。 ② 求摸出两个球都是红球的概率; 设“摸出两个球都是红球”为事件A 则A中包含的基本事件有10个, 因此 P ( A) ?
m 10 5 ? ? n 28 14

(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8) (2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2,8) (3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(3,8) (4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8) (5,6)、(5,7)、(5,8) (6,7)、(6,8) (7,8)

(2) (摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个 红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。
③ 求摸出的两个球都是黄球的概率; 设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B, 则事件B中包含的基本事件有3个, 故 P( B) ?
m 3 ? n 28

(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8) (2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2,8)

(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(3,8)
(4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8) (5,6)、(5,7)、(5,8) (6,7)、(6,8) (7,8)

(2) (摸球问题):一个口袋内装有大小相同的5个 红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。 ④ 求摸出的两个球一红一黄的概率。
设“摸出的两个球一红一黄” 为事件C, 则事件C包含的基本事件有15个, 故 P (C ) ?
m 15 ? n 28

(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8) (2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2,8)

(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(3,8)
(4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8) (5,6)、(5,7)、(5,8) (6,7)、(6,8) (7,8)

(3): 用三种不同的颜色给图中的3个矩形 随机涂色,每个矩形只能涂一种颜色,求 ① 3个矩形的颜色都相同的概率; ② 3个矩形的颜色都不同的概率.

解 : 本题的等可能基本事件共有27个 ① 同一颜色的事件记为A,P(A)=3/27 =1/9; ② 不同颜色的事件记为B,P(B)=6/27 =2/9

假设有20道单选题,如果有一个考生答对了17道题, 他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定的知 识的可能性大? 答:他应该掌握了一定的知识
可以运用极大似然法的思想解决。假设他每道题都是 随机选择答案的,可以估计出他答对17道题的概率为

?1? ? ? ?4?

17

? 5.82?10?11

可以发现这个概率是很小的;如果掌握了一定的知 识,绝大多数的题他是会做的,那么他答对17道题 的概率会比较大,所以他应该掌握了一定的知识。

例5、某种饮料每箱装6听,如 果其中有2听不合格,问质检人 员从中随机抽取2听,检测出不 合格产品的概率有多大?

探究思考: 随着检测听数的增加,查出不 合格产品的概率怎样变化?为什么 质检人员一般采用抽查的方法而不 采用逐个检查的方法?


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