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高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究几类优美的物理轨迹及其在CASIO CG 20计算器上的演示


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 探究几类优美的物理轨迹及其在 CASIO CG 20 计算 器上的演示
一、研究背景 正如我们所知道的一样,在物理世界中,几何一直都离不开物理。而在一般的数学中直 接用集合的方式去模拟物理中的大量优美轨迹是非常不容易的, 因而我们尝试用计算器来模 拟这些优美的轨迹,来填补这一研究上的空缺。 二、研究目标 本论文旨在探究几段优美的物理轨迹, 并将它们模拟在计算器 fx-CG20 上, 使轨迹表现 出本应具有动态的美感来。 三、研究内容 1. 物理模型之一: 一根长度为 L 的杆 AB 靠在光滑的竖直墙壁上, B 端着地。 在杆上有一点 C 到 B 的距离为 λ L。 给 AB 一点扰动,杆会下滑,此时求 C 点的轨迹。 先从特殊情况入手。当 C 为 AB 中点时, 。通过简单的平面几何知识可以得出,C 做的是 一个圆周运动。当 C 不是中点的时候呢?是否还是圆? 下面我们用 CASIO 计算器来绘制这份动态图像 运用 CG-20,调至动态函数。选定 Y1=-tanA*x+Lsin A,[0,cosA] 通过简单的平面几何知识可以得到 C 点的坐标为(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) 然后再用参数来表示。 ,其大致图象如图所示。

. 此时 L=1,λ =1/3 因为变量 θ 从 0 到π /2,所以定义变量

此次 step 为π /12 来看这动态图

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经过多次探究发现: 当 C 不是 AB 中点时, 其轨迹是一个椭圆。 这是不是可以证明的呢? 答案是可以的。给出如下证明: 建立平面直角坐标系,以墙角为 O 点,再令角 OBA=θ ,于是到图示位置的时候,C 点坐 标就是(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) ,于是 C 点满足方程 (x/(1-λ ) )^2+(y/λ )^2=L^2 于是其轨迹就是一个椭圆。取几个特殊的 λ ,会得到几个十分漂亮的图形。

物理模型之二: 一个质量为 M 的光滑半圆柱,半径为 R。平放在光滑水平面上。另一个质量为 m 的小球 放在半圆柱最上端,然后给 m 一个扰动,求 m 在脱离 M 之前的轨迹。 当然还是从最简单的形式分析,当 M 远大于 m 时,那么 m 就做一个圆周运动。但是现在 M 和 m 都在运动。 那么此时 M 做的是一个什么运动呢?我们还是通过 CASIO 计算器来模拟其 轨迹。 通过 CG-20 调至动态图,首先我们来模拟一个移动的半圆的轨迹。

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其中 A 是 M 的圆心的坐标。R 上有平方= 把 R 定义到 4,但从后文我们可以得到 A= mRsinθ /(M+m) 又因为 m 的坐标可以用θ 来表示为 (x,y)= (Rsinθ *c,Rcosθ ),其中 c=m/(M+m)-1,具体证明方法在后面 所以再次调整动态图,令 M/m=4,有

令 B 从 0 到π /2,step 为π /20 则有动态图

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(看红点点) 通过 10 次的实验,我们会得到这样一个优美的结论:m 的轨迹是一个椭圆。这是正确 的吗?我们来证明这一结论。 同样的,建立平面直角坐标系,

设 E 点, 即半圆的圆心处的坐标为 (b,0) ,于是初始时刻 m 球, 也就是 G 点的坐标为 (0, R).然后在运动过一段时间后 E 点到 了图示位置,设∠G’EG=可以得到 G 点的坐标为 (x,y)=(b-Rsinθ ,Rcosθ ) 。 将 M,m 看成一个整体。 由物理学知识可以知道这一系统在水平方向上不受外力。 由动量 守恒定律知道,m*dx/dt+M*db/dt=0 => m*dx+M*db=0,两边积分, => mx+Mb=0,将 x=b-Rsinθ 代入,得到 mRsinθ =(M+m)b ③ 于是 b= mRsinθ /(M+m) 代回原坐标,得到 (x,y)=(Rsinθ *c,Rcosθ ) 其中 c=m/(M+m)-1

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于是(x,y)满足 (x/c)^2+ y^2=R^2,于是这是个椭圆。 (注: 可能有些读者想要知道此系统的运动规律, 或许想要通过一些对称性和某些守恒 律将其完全解出,但是其可行性是没有的。因为再通过一些简单的物理学计算。比如说以 M 为参考系所列出的向心力公式 F=(m/r)*( (dx/dt-db/dt)^2+ (dy/dt)^2) Fsinθ =Md^2b/dt^2 然后将 x,y 关于 b 与 θ 的关系代入,可知 dx/dt= db/dt-Rcosθ dθ /dt dy/dt=-Rsinθ dθ /dt,得到 mR(dθ /dt)^2*sinθ /M= d^2b/dt^2 ④ 然后对③式两边对 t 求导,消去 d^2b/dt^2 得
2 2 RM ? d 2? ? mR ? d? ? ? d? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? 2 ? ? ? ? sin ? M ?m? dt ? ? dt ? ? ? M ? dt ?

但是很遗憾的是,此方程似乎没有解析解。 由此可见,即使是最简单的物理模型,其运动规律也是极其的复杂) 物理模型之四:狐狸追兔子(跟踪导弹的物理模型) 。有一只兔子,沿着直线 AB 跑,速 度为 Vf 另有一狐狸,用一种很“蠢笨”的方法去追兔子:它的速度大小不变为 V,方向始终 对着兔子,初始时 V⊥Vf.且他们的距离为 L,求狐狸之运动轨迹? 当然,此题也需运用平面直角坐标系。

令初始位置狐狸所在点 C 为原点, 建立 X,Y 轴。 再令任意时刻处, 导弹之坐标为 P(x,y) 飞行物的坐标为 yf(t),t 时刻导弹与飞行物的连线与导弹轨迹在 P 点相切,即、 tgθ =dy/dx 式子中 dx 和 dy 是 ds 在 x 轴和 y 轴的投影,ds 是导弹从 t 时刻到(t+dt)时刻经历的 距离. 有几何关系 Yf=y+(L-x)tgθ =y+(L-x) dy/dx
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对 x 求导,得到 dyf/dx=(L-x)*d^2y/dx^2 由已知,得到 dyf=vfdt dS=vdt ds=sqr((dx)^2+(dy)^2)

vf dyf=vfdt=vfdS/v= v

? dy ? 1 ? ? ? dx ? dx ?

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vf v

d2y ? dy ? 1 ? ? ? dx ? ? L ? x ? 2 dx ? dx ?

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联立得到上式。下求上式的解 令γ =vf/v ,u=dy/dx 化为γ sqr(1+u^2)=(L-x)du/dx 分离变量,得 du/ sqr(1+u^2)=γ dx/(L-x) 积分,得 ln(u+sqr(1+u^2))=-γ ln(L-x)+C 初始值为 t=0,x=0 u=dy/dx=0 代入,得到 C=γ lnL ln(u+sqr(1+u^2))=ln((L/(L-x)))^γ 或者 u+ sqr(1+u^2)= (L/(L-x))^γ

L? 1 解出 y ? ? 2? ?1 ? ?

x? ? ?1 ? ? ? L?

1? ?

1 ? 1? ?

x? ? ?1 ? ? ? L?

1??

? ?L ? vf ? , ? ? ? ?? 2 ? v ? ? 1? ? ? ?

代入几个γ ,可得到几个漂亮的曲线. 推广 1:若是兔子以抛物线,或者更直接一点,以 y=f(x)的曲线跑,那么此时狐狸追 兔子是怎样的曲线呢?) 推广 2:我们将人物数量增多一些, 比如说在正 n 边形的 n 个角上(边长为 L), 有 n 个人。 A1A2?An。然后 A1 追 A2,A2 追 A3?..An 追 A1,他们的速率大小都是 V,探讨此时他们几 个人所成的优美图形. 首先,我们考虑最简单的情况,就是正三角形。 注意到以其中心为极点, 以 BC 初始方向为极轴。 那么 B 点的运动方程应该是这样子的。

d ? ? V sin ? dt d? V cos ? ? dt ?
解方程先放一放。但是我们可以预见到的是,如果是正 N 边形,每一个顶点的运动方程 应该都是如此。只不过是初始值的问题罢了。 下面我们来解方程。 由于我们只要求 r 与 ? 的关系,于是消去 dt,我们得到:

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d? ? ? tan ? ? tan ? d? ,两边积分,有 d?
ln ? ? ? ln cos ? ? c

? ? c ? cos ?
所以其实很简单。 不妨将正 N 边形改成任意一个封闭图形,那么此时的图案会是怎样的呢?(没有能力) 结束语:物理世界是充满着无穷的奥妙的。所有的运动都有一定的规律性和对称性。数学和 物理要做的事就是找出这些优美的特性。来更加全面的探索这个世界。轨迹也是一样。所有 的优美轨迹都是一件艺术品。 希望我们在科学世界的探索中得到美的感觉, 正是因为自然界 所具有的美丽,才能激励着无数多的人勇敢向前。 参考文献:舒幼生《物理学难题集萃》

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