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[名校联盟]广东省执信中学2009-2010学年高一上学期期中考试数学试题


2009-2010 学年度第一学期
高一级数学科期中考试试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡 和答卷密封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各 题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后 再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列命题正确的是 ( )
A.很大的实数可以构成集合.
? ? ? ? B.集合 y | y ? x2 ?1 与集合 ?x, y? | y ? x2 ?1 是同一个集合.

C.自然数集 N 中最小的数是1.

D.空集是任何集合的子集.

2.下列各式错.误.的是
A. 47 ? 37

()

B. log0.5 4 ? log0.5 6

C. 0.75?0.1 ? 0.750.1

D. lg1.6 ? lg1.4

3.下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )

A. y ? x ?1和 y ? x2 ?1 x ?1
C. f (x) ? x2 和 g(x) ? (x ?1)2
3
4.化简[ 3 (?5)2 ]4 的结果为 (

B. y ? x0 和 y ?1

D. f (x) ? ( x )2 和 g(x) ? x

x

( x)2



A.5

B. 5

C. ? 5

D.-5

5.设 f (x) ? 3x ? 3x ? 8 , 用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0在x ?(1, 2) 内近似解的过程中,

计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0, 则方程的根落在区间 ( )

A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2)

D.不能确定

6.设集合 A ? {x | 0 ? log2 x ? 1}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是 ( )

A. a ? 2

B. a ?1

C. a ?1

D. a ? 2

7.下列幂函数中过点 (0,0) , (1,1) 的偶函数是( )

1
A. y ? x 2

B. y ? x 4

C. y ? x ?2

1
D. y ? x 3

8.已知函数 f (x) ? (x ? a)(x ? b)(其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数

g(x) ? ax ? b 的图象是 ( )

y

y ? f (x)

A

B

b -·1

o

a

· 1

x

C

D

9.如果一个函数 f (x) 满足:(1)定义域为 R; (2)任意 x1, x2 ? R ,若 x1 ? x2 ? 0 ,

则 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ; (3)任意 x ? R ,若 t ? 0 , f (x ? t) ? f (x) 。

则 f (x) 可以是( )

A. y ? ?x

B. y ? 3x

C. y ? x3

D. y ? log3 x

10. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y ( m2 )与时间 t (月)的关系: y ? at ,

有以下叙述:

y/m2

① 这个指数函数的底数是 2;

8

② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m2 ;

③ 浮萍从 4m2 蔓延到12m2 恰好经过 1.5 个月;

4

④ 浮萍每个月增加的面积都相等;其中正确的是 ( )

2 1

t/月

A.①②

B . ①②③ C . ②③④ D . ①②③④

012 3

第二部分非选择题 (共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置.

? ? 11. log2 82 ? 22

? ____ ; 12. f (x) ?

x ? 4 的定义域为_________________ x ?1

13.设 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log2 0.3

比较 a、b、c 大小关系_____

____(用“<”连接)

14.函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? log3 x ( x ? 0 )的图象关于直线 y ? x 对称,

则函数 f (x) 的解析式为

15.函数 y ? 5 ? 4x ? x2 的单调递增区间是
16.某同学在研究函数 f (x) ? x ( x ? R ) 时,分别给出下面几个结论: 1? x
①等式 f (?x) ? ? f (x) 在 x ? R 时恒成立;②函数 f (x) 的值域为(-1,1);

③若 x1 ? x2 ,则一定有 f (x1 ) ? f (x2 ) ;④方程 f (x) ? x 在 R 上有三个根.

其中正确结论的序号有

.(请将你认为正确的结论的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17. (本题满分 12 分)

已知

A

?

??x ?

|

1 2

?

2x

?

4?? ?



B

? ?x

|

x ?1?

0?

(1)求 A B 和 A B ;

(2)若记符号 A ? B ? ?x | x ? A,且 x ? B? ,

A

B

17 题图

①在图中把表示“集合 A ? B ”的部分用阴影涂黑; ②求 A ? B 和 B ? A .

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f (x) 为定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f (x) ? log2 (x ?1)
(1) 当 x ? 0时,求 f (x) 的解析式;

(2)作出函数 f (x) 的图象,并指出其单调区间,以及在每一个单调区间上,它是增 函数还是减函数,并指出 f (x) 的值域。(不要求证明)

19.(本题满分

12

分)探究函数

f

(x)

?

x2

?

16 x2

(x

?

0)

的最小值,并确定取得最

小值时 x 的值. 列表如下, 请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成以下的问题.

x … 0.5 1 1.5 1.7 2 2.1 2.3 3 4

7…

y … 64.25 17 9.36 8.43 8 8.04 8.31 10.7 17 49.33 …

已知:函数

f

(x)

?

x2

?

16 x2

(x

?

0)

在区间(0,2)上递减,问:

(1)函数

f

(x)

?

x2

?

16 x2

(x

?

0)

在区间

当x ?

时, y最小 ?

上递增. .

(2)证明:函数 f (x) ? x2 ? 16 (x ? 0) 在区间(0,2)递减; x2

(3)思考:函数

f

(x)

?

x2

?

16 x2

(x

?

0) 有最大值或最小值吗?如有,是多少?此

时 x 为何值?(直接回答结果,不需证明)

20.(本题满分 10 分)设 f (x) ? 4x2 ? 4ax ? 3a ? 4(a ? R) ,若 f (x) ? 0 有两个 均小于 2 的不同的实数根,则此时关于 x 的不等式 (a ? 1)x2 ? ax ? a ?1 ? 0 是否对 一切实数 x 都成立?并说明理由。

21.(本题满分12分)在中国轻纺城批发市场,季节性服装当季节即将来临时,价格 呈上升趋势. 设某服装开始时定价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后 开始保持 20 元的平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周降价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售.
(1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系;
(2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系式为 Q ? ?0.125(t ? 8)2 ?12 ,

t ?[0,16],t ? N ,问该服装第几周每件销售利润最大?

22.(本题满分

12

分)已知函数

f

(x)

?

log m

x x

?3 ?3

(1)判断 f (x) 的奇偶性并证明;

(2)若 f (x) 的定义域为[?, ? ]( ? ? ? ? 0 ),判断 f (x) 在定义域上的增减性,并
加以证明;
(3)若 0 ? m ?1,使 f (x) 的值域为[ log m m(? ?1), log m m(? ?1) ]的定义域区间 [?, ? ]( ? ? ? ? 0 )是否存在?若存在,求出[?, ? ],若不存在,请说明理由.

2009-2010 学年度第一学期

?????????????O

高一级数学科期中考试答卷
成绩:

注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题 目指定区域内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效。 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不 按以上要求作答的答案无效。
二.填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答卷的相应位置)

11.

12.

13.

14.

15.

16.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解:(1)

(2)①请在下图中把表示“集合 A ? B ”的部分用阴影涂黑。

A

B



18.解:(1)

(2)

y x

19.解:(1)函数

f

(x)

?

x2

?

16 x2

(x

?

0)

在区间

当x ?

时, y最小 ?

上递增. .

20.解:

O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O

21.解:

22.解:

2009-2010 学年度第一学期
高一级数学科期中试题答案
一、选择题:DCDBB ABACA
二、填空题:11、 8; 12、[?4,1) (1, ??) ; 13、 c ? a ? b ;

14、 f (x) ? 3x ;
三、解答题

15、 (?5, ?2) (写闭区间也正确); 16、①②③

17.(1)A ? {x ?1 ? x ? 2} B ? {x x ? 1}
A B ? ( 1 , 2 ) ; A B ? (? 1?, ? )

………………………2 分 ………………………6 分

(2) ①

A

B

…………………8 分

17 题图

② A-B= (?1,1] ; B ? A ? [2, ??)

…………………12 分

18.(1)当 x ? 0 时, ?x ? 0 , ∵ f (x) 是偶函数,

∴ f (?x) ? f (x) ∴ f (x) ? f (?x) ? log2 (?x ?1)

……………………5 分

(2)图略

………………………………… 9 分

单增区间(0,+ ? );单减区间(- ? ,0);值域[0, ??) …………………… 12



19.解:(1) (2,??) ; 当 x ? 2时y最小 ? 4.

………………4 分

(2) 证明:设 x1 , x2 是区间,(0,2)上的任意两个数,且 x1 ? x2 .

f (x1) ?

f (x2 ) ?

x12

?

16 x12

? (x22

?

16 x22

)

?

x12

? x22

?

16 x12

?

16 x22

? (x12

? x22 )(1?(x11x62)2 )

?

( x12

?

x22 )(x12 x22 (x1x2)2

? 16)

0 ? x1 ? x2 ? 2 又

? x12 ? x22 ? 0

x1, x2 ?(0, 2) ?0 ? (x1x2 )2 ? 16 ? 函数在(0,2)上为减函数.

?(x1x2 )2 ?16 ? 0 ? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ……………………9 分

(3)思考:

y

?

x2

?

16 x2

x ?(??,0)时, x ? ?2时, y最小 ? 8…………12 分

?? ? 16a2 ?16(3a ? 4) ? 0

20.解:由题意得

?? a

? ?

2

?

2

?? f (2) ? 16 ? 8a ? 3a ? 4 ? 0

……………………3 分

得 a ? ?1;

……………………5 分

若 (a ? 1)x2 ? ax ? a ?1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则有:

(1)若 a ?1=0,即 a ? ?1,则不等式化为 x ? 2 ? 0 不合题意……………………6


?a ?1 ? 0 (2)若 a ?1 ? 0,则有 ??a2 ? 4(a ?1)(a ?1) ? 0

……………………8 分

得a ? ?2 3, 3

…………………9 分

综上可知,只有在 a ? ? 2 3 时, (a ? 1)x2 ? ax ? a ?1 ? 0 才对任意实数 x 都成 3

立。

∴这时 (a ? 1)x2 ? ax ? a ?1 ? 0 不对任意实数 x 都成立

……………10 分

? 10 ? 2t

21.解:(1)

P

?

? ?

20

??20 ? 2(t ?10)



(0 ? t ? 5,t ? N) (5 ? t ? 10,t ? N) (11 ? t ? 16,t ? N)

……………3

(2) L ? P ? Q

……………4 分

? 0.125t2 ? 6 ? L ? ??0.125t2 ? 2t ?16
??0.125t2 ? 4t ? 36

( 0? t ? 5t, ? N ) ( 5? t ? 1 0t, ? N ) ( 1 1? t ? 1 6t ,? N )

……………7 分



0?t ?5

时,

t ?5



Lmax

?

73 8



L ? 73 ; ……………10 分 8

当11 ?

t

?16 时, t

? 11



Lmax

?

57 8

综上,当 t

?5时

Lmax

?

73 8

答:该服装第五周销售利润 L 最大。

当 5 ? t ?10 时 ,
……………11 分 ……………12 分

22.解:(1)由 x ? 3 ? 0 得 f (x) 的定义域为 (??, ?3) (3, ??) ,关于原点对称。 x?3

f

(?x)

?

logm

?x ?x

?3 ?3

?

logm

x x

?3 ?3

?

log

m

(

x x

? 3)?1 ?3

?

?

f

(x)

? f (x) 为奇函数

………………………………3 分

(2)? f (x) 的定义域为[ ?, ? ]( ? ? ? ? 0 ),则[ ?, ? ] ? (3,??) 。设 x1 ,

x2 ? [ ?, ? ] , 则 x1 ? x2 , 且 x1 , x2 ? 3 ,

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

log m

x1 x1

?3 ?3

? log m

x2 x2

?3 ?3

= log m

( x1 ( x1

? 3)( x2 ? 3)( x2

? 3) ? 3)

? (x1 ? 3)( x2 ? 3) ? (x1 ? 3)( x2 ? 3) ? 6(x1 ? x2 ) ? 0



? ( x1

? 3)( x2

?

3)

?

( x1

?

3)( x2

?

3) 即

( x1 ( x1

? ?

3)( x2 3)( x2

? ?

3) 3)

?1,

∴当 0 ? m ? 1时,

log m

(x1 ? 3)( x2 ? 3) ? 0 , 即 (x1 ? 3)( x2 ? 3)

f (x1) ? f (x2 ) ; 当 m ? 1 时 ,

l

om

(gx1 ( x1

? 3)( x2 ? 3)( x2

? 3) ? 3)

? 0 ,即

f (x1) ?

f (x2 ) ,故当 0 ? m ? 1时,f (x) 为减函数;

m ? 1时, f (x) 为增函数。

………………………………7



(3)由(1)得,当 0 ? m ? 1时, f (x) 在[?, ? ]为递减函数,∴若存在定义域

[ ?, ? ]( ? ? ? ? 0 ) , 使 值 域 为 [ log m m(? ?1), log m m(? ?1) ] , 则 有

???l

o

mg

? ?

? ?

3 3

?

l

o

mg

m(?

? 1)

? ?l ??

o

mg

? ?

? ?

3 3

?

l

o

mg

m(?

? 1)

……………………9 分



?? ???

? ?

3 3

?

m (?

?

1)

? ?

?

?

3

?

m(?

?

1)

?? ? ? 3

解……………………10 分

∴ ?, ? 是 方 程 x ? 3 ? m(x ?1) 的 两 个 x?3







0?m? 2? 3 4





[?,

?

]=

?1 ?

?

2m

?

16m2 ?16m ? 1 1 ? 2m ? ,

16 m 2

? 16 m

?

1

? ?



??

2m

2m

??

当 2 ? 3 ? m ?1 时 , 方 程 组 无 解 , 即 [ ?,? 4

在。

………………………12 分

]不存


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