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2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1资料


2016-2017 学年高中数学 第 2 章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简 单性质课后演练提升 北师大版选修 1-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 顶点在原点, 对称轴是 y 轴, 并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程( A.x =±3y C.x =±12y
2 2

)

B.y =±6x D.x =±6y
2

2

解析: 由顶点与焦点的距离等于 3,所以 =3,p=6.又因为对称轴是 y 轴,所以选 2 C. 答案: C 2.设抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 y 轴上,抛物线上的点(k,-2)与 F 的距离为 4, 则 k 的值为( A.4 C.4 或-4
2

p

) B.-2 D.2 或-2

解析: 由题意知抛物线方程可设为 x =-2py(p>0), 则 +2=4,∴p=4,∴x =-8y,将(k,-2)代入得 k=±4. 2 答案: C 3.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6, 那么|AB|等于( A.10 C.6 ) B.8 D.4
2

p

2

解析: 因 AB 线段过焦点 F,则|AB|=|AF|+|BF|. 又由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1, 故|AB|=x1+x2+2=8. 答案: B 4.以抛物线 y =2px(p>0)的焦半径为直径的圆与 y 轴的位置关系是( A.相交 C.相切 B.相离 D.不确定
2

)

1 解析: 如图,取 AF 中点 C,作 CN⊥y 轴,AM⊥y 轴,可得|CN|= |AF|. 2 故选 C.

1

答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.抛物线 y =16x 上一点 P 到 x 轴的距离为 12,则点 P 与焦点 F 间的距离|PF|= ________. 解析: 由于点 P 到 x 轴的距离为 12, 可知点 P 的纵坐标为 12, 12×12 ∴点 P 的横坐标 x= = =9. 16 16 由抛物线的定义知|PF|=x+ =9+4=13. 2 答案: 13 6.过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若 线段 AB 的长为 8,则 p=________. 解析: 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 则 x1+x2+p=8. 设直线 AB 的方程为 y=x- , 2 联立 y =2px,得 x -3px+ =0, 4 ∴x1+x2=3p.∴3p+p=8,即 p=2. 答案: 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.正三角形 AOB 的两个顶点在抛物线 y =2px(p>0)上.若 S△OAB=36 3,试确定抛物 线的方程. 解析: 由于正△AOB 的 A、B 两点在抛物线 y =2px 上,依对称性知∠AOX=30°,其 中 X 为线段 AB 与 x 轴的交点.设 OA 所在直线方程为 y= 3 x. 3
2 2 2 2 2 2

y2

p

p

p2

? ?y= 3x, 3 方法一:联立? ? ?y2=2px
则|AB|=4 3p.

得 A(6p,2 3p),B(6p,-2 3p).

2

由 S△AOB=
2

3 2 2 ×(4 3p) =12 3p =36 3, 4

得 p =3,p= 3. 故抛物线的方程为 y =2 3x. 方法二:设|OA|=a,由 S△AOB= 3 2 a =36 3知 a=12. 4
2

即|OA|=

x2+?

? 3 ?2 ? 2 x? x? =? ?=12, ?3 ? ? 3 ?
3 ×(±6 3)=±6. 3
2

得 x=±6 3,y=

由于 A(x,y)在抛物线 y =2px(p>0)上,所以 A(6 3,6). 由点 A(6 3,6)在 y =2px 上得 p= 3. 故抛物线的方程为 y =2 3x. 8.已知直线 l 经过拋物线 y =4x 的焦点 F,且与拋物线相交于 A、B 两点.
2 2 2

(1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 解析: 拋物线 y =4x 的焦点 F(1,0),准线为 x=-1. (1)设 A(x0,y0),则|AF|=|x0+1|=4, ∴x0=3, ∴y0=±2 3, ∴A(3,±2 3). (2)当直线 l 的斜率不存在时,|AB|=4,当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y =k(x-1), 由?
?y=k?x-1? ? ?y =4x ?
2 2

,得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

易知 k≠0,令 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k +4 ∴x1+x2= 2 ,
2

k

4 ∴|AB|=x1+x2+2=4+ 2>4,

k

3

综上所述,|AB|≥4, 即线段 AB 长的最小值为 4. ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)给定抛物线 C:y =4x,F 是抛物线 C 的焦点,过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,
2

B 两点.
(1)设直线 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (2)若|FA|=2|BF|,求直线 l 的方程. 解析: (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),

AB 中点 M(x0,y0),l:y=x-1,
联立?
?y=x-1 ? ?y =4x ?
2

,消去 y 得 x -6x+1=0,

2

∴x0=

x1+x2
2

=3,y0=x0-1=2,

故圆心 M(3,2), |AB| x1+x2+p 半径 = =4, 2 2 从而以 AB 为直径的圆的方程为(x-3) +(y-2) =16. (2)显然直线 l 的斜率存在,故可设直线 l:y=k(x-1), 联立?
?y=k?x-1? ? ? ?y =4x
2 2 2

,消去 y 得 k x -(2k +4)x+k =0,

2 2

2

2

1 则 x1x2=1,故 x1= .①

x2

又|FA|=2|BF|, → → ∴FA=2BF,则

x1-1=2(1-x2).②
1 由①②得 x2= (x2=1 舍去), 2

?1 ? 所以 B? ,± 2?,得直线 l 的斜率为 k=kBF=±2 2, ?2 ?
∴直线 l 的方程为 y=±2 2(x-1).

4


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