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2019-2020年高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例达标练习北师大版必修


2019-2020 年高中数学第二章解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例达标 练习北师大版必修
1.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A、B 两点间的距离为( )

A.50 2 m

B.50 3 m

C.25 2 m

D.252 2 m

解析:选

A.由正弦定理得sin

AB ∠ACB=sin

A∠C CBA.又∠CBA=180°-45°-105°=30°,



AB=ACs·ins∠in∠ CBAACB=50×1

2 2
=50

2 (m).

2

2.如图,测量河对岸的塔的高度 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内 的两个观测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 米,并 在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔 AB 的高度为( )

A.15 2米

B.15 3米

C.15( 3+1)米

D.15 6米

解析:选 D.在△BCD 中,由正弦定理得 BC=CsDisnin13350°°=15 2(米).在 Rt△ABC 中,AB=

BCtan 60°=15 6(米).故选 D.

3.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°方向且距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该

渔船沿北偏东 105°方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速为 21 海里,则

舰艇与渔船相遇的最短时间为( )

A.20 分钟

B.40 分钟

C.60 分钟

D.80 分钟

解析:选 B.如图,设它们在 D 处相遇,用时为 t 小时,则 AD=21t,CD=9t,∠ACD=120°,

由余弦定理,得

cos

102+(9t)2-(21t)2

120°=

2×10×9t

,解得

t=23(负值舍去),23小时=40

分种,即舰艇与渔船相遇的最短时间为 40 分钟.

4.渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120°角的方向行驶,水流速度为 4 km/h,则渡

轮实际航行的速度约为(精确到 0.1 km/h)( )

A.14.5 km/h

B.15.6 km/h

C.13.5 km/h

D.11.3 km/h

解析:选 C.由物理学知识, 画出示意图,AB=15, AD=4,∠BAD=120°. 在?ABCD 中,D=60°, 在△ADC 中,由余弦定理得

AC= AD2+CD2-2AD·CDcos D

= 16+225-4×15= 181

≈13.5. 5.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯 塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 40°

B.北偏西 10°

C.南偏东 10°

D.南偏西 10°

解析:选 B.如图所示,∠ECA=40°,∠FCB=60°,∠ACB=180°-40°-60°=80°,

因为 AC=BC,所以∠A=∠ABC=180°2-80°=50°,所以∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=

180°-120°-50°=10°.故选 B.

6.如图所示为一角槽,已知 AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得 AC=3 mm,BC=2 2 mm,AB= 29 mm,则∠ACB=________.
解析:在△ABC 中,由余弦定理得

cos∠ACB=32+(2 2)2-( 2×3×2 2

29)2

2

=- 2 .

因为∠ACB∈(0,π ),所以∠ACB=34π .

答案:3π4

7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在

喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达

点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是__________ m.

解析:设水柱的高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=100,BC

= 3 h,根据余弦定理,得( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即 h2+50h-5 000

=0,即(h-50)(h+100)=0,解得 h=50,故水柱的高度是 50 m.

答案:50

8.一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫,然后向右转 105°,爬行 10 cm 捕捉到另

一只小虫,这时它向右转 135°爬行回它的出发点,那么 x=________.

解析:如图所示,设蜘蛛原来在 O 点,先爬行到 A 点,再爬行到 B 点,易知在△AOB 中,AB

=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,

则∠AOB=60°,由正弦定理知: x=ABs·ins∠in∠ AOBABO=10s×insi6n0°45°=103 6. 答案:103 6 9.如图,某军舰艇位于岛屿 A 的正西方 C 处,且与岛屿 A 相距 120 海里.经过侦察发现, 国际海盗船以 100 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿北偏东 30°方向逃窜,同时,该军舰艇 从 C 处出发沿北偏东 90°-α 的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用 2 小时追上.
(1)求该军舰艇的速度. (2)求 sin α 的值.

解:(1)依题意知,∠CAB=120°,AB=100×2=200, AC=120,∠ACB=α , 在△ABC 中, 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB =xx+1202-2×200×120cos 120° =78 400,解得 BC=280. 所以该军舰艇的速度为B2C=140 海里/小时. (2)在△ABC 中,由正弦定理, 得siAnBα =sin B1C20°,即

sin

α

=ABsinBC120°=2002×80

3 2 =5143.

10.如图,一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西

45°方向,此人向北偏西 75°方向前进 30 km 到达 D 处,看到 A 在他的 北偏东 45°方向,B 在北偏东 75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.

解:依题意得,CD= 30 km,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°, ∠ADC=60°, ∠DAC=45°.在△BDC 中, 由正弦定理得

BC=DsCisnin∠∠DBBCDC=

30sin 30° sin 120° =

10(km).

在△ADC 中,由正弦定理得

AC=DsCisnin∠∠DAACDC=

30sin 60° sin 45°

=3 5(km). 在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =(3 5)2+( 10)2-2×3 5× 10cos 45°=25. 所以 AB=5(km), 即这两座建筑物之间的距离为 5 km.
[B 能力提升] 11.如图,某山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC,小李在山脚 B 处 看索道 AC,发现张角∠ABC=120°,从 B 处攀登 400 米后到达 D 处,再看索道 AC,发现张

角∠ADC=150°,从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处,则索道 AC 的长为______米.

解析:在△ABD 中,BD=400,∠ABD=120°, 因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以 AB=BD=400,AD=
AB2+BD2-2AB·BDcos 120°=400 3.在△ADC 中,DC=800,∠ADC=150°,AC2=AD2+ DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400 3)2+8002-2×400 3×800×cos 150°=4002×13,所以 AC=400 13,故索道 AC 的长为 400 13米. 答案:400 13 12.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为 30°的斜坡走 1 000 m 至 S 点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高 BC 为______m. 解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,

又∠SBD=15°,

所以∠ABS=30°.

AS=1

BS

1

000,由正弦定理知sin 15°=sin

000 30°,所以

BS=2

000sin

15°.

所以 BD=BS·sin 75°

=2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500,

且 DC=ST=1 000sin 30°=500,

从而 BC=DC+DB=1 000 m.

答案:1 000

13.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直

弹射高度,如图,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A,B 两地相距 100

m,∠BAC=60°,在

A

地听到弹射声音的时间比

B

2 地晚17

s.A 地测得该仪

器在 C 处时的俯角为 15°,A 地测得该仪器在最高点 H 时的仰角为 30°,求该仪器的垂直

弹射高度 CH.(声音在空气中的传播速度为 340 m/s)

解:由题意,设 AC=x m,

则 BC=x-127×340=x-40 (m).

在△ABC 中,由余弦定理得

BC2=BA2+CA2-2BA·CA·cos∠BAC,

即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420 m,∠CAH=30°+15°=45°,∠CHA=90°-30°=60°. 由正弦定理得sinC∠HCAH=sinA∠CAHC, 所以 CH=AC·ssiinn∠ ∠CAAHHC=140 6(m).

故该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6 m.

14.(选做题)如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面

内沿南偏西 60°的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点

D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α ,α 的

最大值为 60°.

(1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.(结果保留根号,不求近似值).

解:(1)依题意知,在△DBC

中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6

1 000×60

=100 (m),

∠BDC=45°-30°=15°,由正弦定理得

sinC∠DDBC=sinB∠CBDC,

6- 2

所以 BC=CDs·ins∠in∠ DBCBDC=10s0i×ns1i3n5°15°=100×

4 2

2

=50( 6- 2)=50( 3-1)(m), 2

在 Rt△ABE 中,tan α =ABBE,因为 AB 为定长,

所以当 BE 的长最小时,α 取最大值 60°,这时 BE⊥CD,当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中,EC

=BC·cos∠BCE=50(

3 3-1)· 2 =25(3-

3)(m),

设该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟,则 t=6 E0C00×60=

25(3- 6 000

3)×60=3-4

3(分钟).

(2)由(1)知当 α 取得最大值 60°时,BE⊥CD,

在 Rt△BEC 中,BE=BC·sin∠BCD,

所以 AB=BE·tan 60°=BC·sin ∠BCD·tan 60°

=50( 3-1)·12· 3=25(3- 3)(m), 即所求塔高为 25(3- 3) m.


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