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2018年福建省中考数学复习练习:题型6 类型六 探究特殊四边形的存在问题


针对演练 1. (2017 营口)如图, 抛物线 y=ax2+bx-2 的对称轴是直线 x=1, 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(-2,0),点 P 为抛物线上的一个动点,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,交直线 BC 于 点 E. (1)求抛物线解析式; (2)若点 P 在第一象限内,当 OD=4PE 时,求四边形 POBE 的面 积; (3)在(2)的条件下,若点 M 为直线 BC 上一点,点 N 为平面直角 坐标系内一点,是否存在这样的点 M 和点 N,使得以点 B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点 N 的坐标;若不存在, 请说明理由. 1 2. (2017 枣庄改编)如图,抛物线 y=-2x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,点 B 坐标为(6,0),点 C 坐标为(0,6), 点 D 是抛物线的顶点,过点 D 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 BD. (1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标; (2)点 F 是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE 时,求点 F 的坐 标; (3)若点 M 是抛物线上的动点,过点 M 作 MN∥x 轴与抛物线交 于点 N,点 P 在 x 轴上,在平面内是否存在一点 Q,使四边形 MPNQ 是以线段 MN 为对角线的正方形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不 存在,请说明理由. 第 2 题图 备用图 3. (2017 兰州节选)如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 AB 交于 1 A(-4,-4),B(0,4)两点,直线 AC:y=-2x-6 交 y 轴于点 C.点 E 是直线 AB 上的动点,过点 E 作 EF⊥x 轴交 AC 于点 F,交抛物线于 点 G. (1)求抛物线 y=-x2+bx+c 的表达式; (2)连接 GB,EO,当四边形 GEOB 是平行四边形时,求点 G 的 坐标; (3)在 y 轴上存在一点 H,连接 EH,HF,当点 E 运动到什么位置 时,以 A,E,F,H 为顶点的四边形是矩形,求出此时点 E,H 的坐 标. 第 3 题图 答案 针对演练 1.解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx-2 的对称轴是直线 x=1,A(-2, 0)在抛物线上, ?- b =1 ∴? 2a , 2 ?(-2) a-2b-2=0 1 ? a = ? 4 解得? , 1 ? ?b=-2 1 1 ∴抛物线解析式为 y=4x2-2x-2; 1 1 (2)令 y=4x2-2x-2=0, 解得 x1=-2,x2=4, 当 x=0 时,y=-2, ∴B(4,0),C(0,-2), 设 BC 的解析式为 y=kx+b, ? ?4k+b=0 则? , ? ?b=-2 ?k=1 解得? 2 , ?b=-2 1 ∴直线 BC 的解析式为 y=2x-2, 设 D(m,0), ∵DP∥y 轴, 1 1 1 ∴E(m,2m-2),P(m,4m2-2m-2), ∵OD=4PE, 1 1 1 ∴m=4(4m2-2m-2-2m+2), 解得 m=5 或 m=0(舍去), 7 1 ∴D(5,0),P(5,4),E(5,2), ∴S 四边形 POBE=S△OPD-S△EBD 1 7 1 1 =2×5×4-2×1×2 33 =8; 9 1 23 4 2 5 5 (3)存在.点 N 的坐标为(2,-4)或( 5 ,5)或(5+ 5 , 5 )或(5 2 5 5 - 5 ,- 5 )时,以点 B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形. 1 【解法提示】设 M(n,2n-2),①以 BD 为对角线,如解图①, 4+5 9 9 ∵四边形 BNDM 是菱形, ∴MN 垂直平分 BD, ∴n= 2 =2, ∴M(2, 1 9 1 ) ,∵ M , N 关于 x 轴对称,∴ N ( ,- 4 2 4 ); 第 1 题解图① 第 1 题解图② ②以 BD 为边,如解图②,(i)当四边形 BDM1N1 为菱形时,M1N1 ∥BD, M1N1=BD=M1D=1, 过点 M1 作 M1H⊥x 轴于 H, M1H2+DH2 1 28 28 2 =DM1 , 即(2n-2)2+(n-5)2=12, 解得 n1=4(舍去), n2= 5 , ∴M1( 5 , 4 23 4 ) , N 1( 5 5 ,5);(ii)当四边形 BDN2M2 为菱形时,M2N2∥BD,M2N2= 1 BD=BM2=1,过点 M2 作 M2Q⊥x 轴于 Q,M2Q2+BQ2=BM2 2,即( n 2 2 5 2 5 2 5 -2)2+(n-4)2=12,解得 n1=4+ 5 ,n2=4- 5 ,∴M2(4+ 5 , 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 ) , N , ) ,∴ M ,- ) , N ,- 2(5+ 3(4- 3(5- 5 5 5 5 5 5 5 ).综 9 1 23 4 2 5 5 2 5 上所述,当点 N 坐标为(2,-4)或( 5 ,5)或(5+ 5 , 5 )或(5- 5 , 5 - 5 )时,以点 B,D,M,N 为顶点的四边形是菱形. 1 2.解:(1)把点 B(6,0)、C(0,6)代入 y=-2x2+bx+c 中得, ?-18+6b+c=0 ? ? , ? ?c=6 ? ?b=2 解得? , ?c=6 ? 1 ∴抛物线的解析式为 y=-2x2+2x+6. 1 将解析式化为顶点式为 y=-2(x-2)2+8, ∴顶点 D 的坐标为(2,8); 1 (2)设 F(x,-2x2+2x+6),如解图①, 第 2 题解图① ①当点 F 在 x 轴上方时,过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G, ∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠DEB=90° , ∴△BFG∽△DBE, FG BG ∴ BE =DE, ∵BE=6-2=4,DE=8, FG BE 4 1 ∴BG=DE=8=2, ∴BG=2FG, 1 即

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