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2018届高考数学(理)二轮复习 名师讲义:专题一 函数与导数、不等式 第2讲


第2讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性 质;2.以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理; 3.能利用函数解决简单的实际问题. 真 题 感 悟 1.(2017· 全国Ⅰ卷)设 x,y,z 为正数,且 2x=3y=5z,则( A.2x<3y<5z C.3y<5z<2x 解析 令 t=2x=3y=5z, ∵x,y,z 为正数,∴t>1. lg t lg t lg t 则 x=log2t=lg 2,同理,y=lg 3,z=lg 5. 2lg t 3lg t lg t(2lg 3-3lg 2) ∴2x-3y= lg 2 - lg 3 = lg 2×lg 3 lg t(lg 9-lg 8) = >0, lg 2×lg 3 ∴2x>3y. 2lg t 5lg t lg t(2lg 5-5lg 2) 又∵2x-5z= lg 2 - lg 5 = lg 2×lg 5 lg t(lg 25-lg 32) = <0, lg 2×lg 5 ∴2x<5z,∴3y<2x<5z. 答案 D 2.(2017· 全国Ⅲ卷)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点, 则 a=( 1 A.-2 1 B.3 1 C.2 D.1 ) B.5z<2x<3y D.3y<2x<5z ) 解析 f(x)=(x-1)2+a(ex-1+e1-x)-1,令 t=x-1, 则 g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1. ∵g(-t)=(-t)2+a(e t+et)-1=g(t), - ∴函数 g(t)为偶函数. ∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点. 又 g(t)为偶函数,由偶函数的性质知 g(0)=0, 1 ∴2a-1=0,解得 a=2. 答案 C 3.(2017· 江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元 /次,一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 的值是________. 解析 4x≥2 600 3 600 一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为 y = 6× x + 4x = x + 3 600 3 600 × 4 x = 240 ,当且仅当 x x =4x,即 x=30 时,y 有最小值 240. 答案 30 ? π? 4.(2015· 湖北卷)函数 f(x)=2sin xsin?x+ ?-x2 的零点个数为________. 2? ? 解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数 f(x)的零点个数可转化为函数 y1= sin 2x 与 y2=x2 图象的交点个数,在同一坐标系中画出 y1=sin 2x 与 y2=x2 的图 象如图所示: 由图可知两函数图象有 2 个交点,则 f(x)的零点个数为 2. 答案 2 考 点 整 合 1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am·an=am+n; (2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN; M (4)loga N =logaM-logaN; (5)logaMn=nlogaM; (6)alogaN=N; logbN (7)logaN= log a (注:a,b>0 且 a,b≠1,M>0,N>0). b 2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)的图

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