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湖北省武汉市汉铁高级中学2014-2015学年高一4月月考数学试题 Word版含答案


2015 汉铁高中高一数学下学期 4 月月考

一、 选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 → 等于( 1、如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD → +1BA → A.-BC 2 K] → -1BA → B.-BC 2 → -1BA → C.BC 2

) → +1BA → D.BC 2 [ZXX

4 2、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 3 1 A. -6 ?1-3-10 ? B. ?1-3-10 ? C. 3 ?1-3-10 ? D. 3 ?1+3-10 ? 9





3、在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别 a,b,c, a sin B cos C ? c sin B cos A ? 1 b, 且a ? b, 则?B ?
2





? ? 2? 5? B. C. D. 6 3 3 6 4、设△ABC 的内角 ABC 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ ABC 的形状为 ( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 π π 5、△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= ,C= ,则△ABC 的面积 6 4 为 (
A. A.2+2 3 B. 3 +1 C.2 3 -2 D. 3 -1 ( D.0





6、已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于 A. ? 2 B. 2 C. ? 2 或 2



7、已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( A.
3 2 2



B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

8、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则 角C = ? A. 3 (
2? B. 3 3? C. 4 5? D. 6



9、在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为





-1-

A. 5

B. 2 5

C.5

D.10 ( )

10、设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 = A. ?6 B. ?4 C. ?2 的 内 角
A, B, C

D.2 的 对 边 分 别 为 ( D. 5 )

11 、 已 知 锐 角

?ABC

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?

A. 10

B. 9

C. 8

12、下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 {an } 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?

p2 : 数列?nan ?是递增数列;
p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
( )

其中的真命题为 A. p1 , p2 B. p3 , p4 C. p2 , p3 D. p1 , p4

二、 填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13、若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? ____________. 14、 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数

t 的值为____________.
15 、 已 知 点 A( 1?,
A P? ? A? B ?

, ) B(3, 0) , C (2,1) . 若 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足 1

的点 P 组成,则 D 的面积为____________. ( 1? 0 ? ? ? 1) A C ? ? 2,

16、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为
a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , sin A sin C ?

3 ?1 ,则 C =____________. 4

三、 解答题(共 6 个小题,共 70 分) 。 17、 (10 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b .求: (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

-2-

18、 (12 分)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 , 求:(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

19、 (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且
3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? . 5

求:(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

20、 (12 分)已知在△ABC 中,三条边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C, 向量 m=(sinA,cosA) ,n=(cosB,sinB) ,且满足 m·n=sin2C. 求: (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA, sinC, sinB 成等比数列,且 =18,求边 c 的值.

-3-

21、 (12 分)已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实 数. 求:(1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ; π (2)若 θ=6,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 xa-b 是否垂直.

22、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . 求:(1)若 a1 ? 0 ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a 2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3) 是否存在 a1 , 使得 a1 , a 2 , a3 ,..., an 成等差数列 ?若存在, 求出所有这 样的 a1 ;若不存在,说明理由.

-4-

-5-

参考答案
→ 等于( 1、如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD → + 1 BA → A .- BC 2 → - 1 BA → B .- BC 2 → - 1 BA → C. BC 2 ) → + 1 BA → D. BC 2
[ZXX

K]

答案

A
4 3
( )

2、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于
A. -6 1-3-10
【答案】C

?

?

B.

1 ?1-3-10 ? 9
内 角

C. 3 1-3-10

?

?
对 的

D. 3 1+3-10

?

?
分 别 为 ( )

3





?ABC

,

A, B, C







s ? a, b c ,a s . i Bn ? cC o c
A.

? 6

B.

? 3

1 B且 s a i? A, n 则 b 2 2? C. 3

cb o ? B ?s
D.

,

5? 6

【答案】A

4、设△ABC 的内角 A,
的形状为 A.直角三角形 【答案】A

B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC
( B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 )

5、△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为
A.2+2
【答案】B





B.+1

C.2-2

D.-1

6、已知向量
A. ? 2
【答案】C

a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于

( D.0



B. 2

C. ? 2 或 2

7、已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为
A.





3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

【答案】A

8、设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,若 b ? c ? 2a,3sin A ? 5sin B ,则角
C= ? A. 3
( B. )

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

-6-

【答案】B

9、在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为
A. 5
【答案】C





B. 2 5

C .5

D.10

10、设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =
A. ?6
【答案】A

( D.2



B. ?4

C. ?2

11 、









?ABC







A, B, C











为 ( )

a, b, c , 23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ?
A. 10
【答案】D

B. 9

C. 8

D. 5

12、下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:
p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2
【答案】D

p2 : 数列?nan ?是递增数列;
p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
( )

B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

四、 填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13、若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? ____________.
【答案】

7 2

14、在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的
值为______ 【答案】5

15 、

已 知 点 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) . 若 平 面 区 域

D

由 所 有 满 足

( 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) 的点 P 组成,则 D 的面积为__________. AP ? ? AB ? ? AC
【答案】3

16





?ABC







A, B, C













-7-

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac sin A sin C ?
C ? 450

3 ?1 , 则 C =______. C ? 150 或 4

五、 解答题(共 6 个小题,共 70 分) 。 17、 (10 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【 答 案 】 解 :( Ⅰ ) 由 已 知 得 到 :

2sin Asin B ? 3sin B

, 且

? 3 ? ? ,且 A ? (0, ) ? A ? ; B ? (0, ) ?sin B ? 0?sin A ? 2 3 2 2
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

1 ,由已知得到: 2

1 28 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3
所以 S ABC

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

18、 (12 分)等差数列 ?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,
(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an

? a1 ? (n ?1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9
1 . 2 n ?1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
-8-

2 2 2 2 2 2n ?( ? )? . 2 2 3 n n ?1 n ?1 19、 (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且
所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ?

2 1

3 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B) sin( A ? c) ? ? . 5
(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
【答案】解:(Ⅰ)由 cos( A ? B) cos B ? sin( A ? B ) sin( A ? c) ? ?

3 得 5

3 cos( A ? B) cos B ? sin(A ? B) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B) ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 4 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 5 b sin A 2 a b ? (Ⅱ)由正弦定理,有 ,所以 sin B ? , ? a 2 sin A sin B
由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

根据余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 (负值舍去), 向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

3 5

2 2

20、 (12 分)已知在△ABC 中,三条边 a,b、c 所对的角分别为 A、B,C,
向量 m=(sinA,cosA) ,n=(cosB,sinB) ,且满足 m·n=sin2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA, ainC, sinB 成等比数列,且
? ?

=18,求 C 的值.
? ?

解: (1)∵ m ? (sin A, cos A) , n ? (cos B, sin B ) , m? n ? sin 2C ∴ sin A cos B ? cos A sin B ? sin 2C ,∴ sin( A ? B) ? sin 2C ∴ sin C ? 2 sin C cos C ,∴ cos C ? 又 C 为 ?ABC 的内角,∴ C ?

?
3

1 2
……6 分

(2)∵ sin A, sin C , sin B 成等比数列,∴ sin 2 C ? sin A sin B , 由正弦定理知: c 2 ? ab ;又且 CA? ( AB ? AC ) ? 18 ,即 CA? CB ? 18 , ∴ ab cos C ? 18 ,∴ ab ? 36 ,∴ c 2 ? ab ? 36 ,∴ c ? 6
-9? ? ?
? ?

……12 分

21、 (12 分)已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数.
(1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ; π (2)若 θ= ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 xa-b 是否垂直. 6 解:(1)由题意,得(a+2b)· (a-4b)=0, 即 a2-2a· b-8b2=0, 得 32-2×3×1×cos θ-8×12=0, 1 得 cos θ= .又 θ∈(0,π), 6 所以 sin θ= 1-cos2θ= sin θ tan θ= = 35. cos θ (2)|xa-b|= ?xa-b?2 = x2a2-2xa· b+b2 = = π 9x2-2x×3×1×cos +1 6 9?x- 1?2 35 1-? ?6? = 6 ,

?

3?2 1 + , 6? 4

故当 x=

3 1 时,|xa-b|取得最小值为 , 6 2 3 π ×9-3×1×cos =0,故向量 a 与 xa-b 垂直. 6 6

此时 a· (xa-b)=xa2-a· b=

22、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * .
(1)若 a1 ? 0 ,求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a 2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a 2 , a3 ,, an 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不存在, 说明理由.
【答案】

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