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山东省济宁市梁山一中2012-2013学年高二上学期期中质量检测数学(理)试题


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一. 选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是正确的)
1.若命题 p 为真命题,则下列说法中,一定正确的是 ( )
A. p 的逆命题为真命题 B. ? p 为真命题 C. p 的否命题为假命题 D. ? p 为假命题
2.双曲线 x2 ? y2 ? 1 的焦点坐标是 ( ) 42

A. (-6,0),(6,0)

B. ( ? 6 ,0),( 6 ,0)

C. (-2,0),(2,0)

D. ( ? 2 ,0),( 2 ,0)

3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1B ? (

)

A. a + b - c

B. a - b + c

C.- a + b + c D.- a + b - c

4.设抛物线 y2 ? 8x 焦点为 F,点 P 在此抛物线上且横坐标为 4,则|PF|等于 ( )

A. 2

B. 4

C.6

D. 8

5.若焦点在 x 轴上的椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的离心率为 1 ,则 m =

2m

2

()

A. 3

B. 8 3

C. 3 2

D. 2 3

6.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么直线 AM 与

CN 所成角的余弦值是

()

A. ? 2 5

B. 2 5

C. 3 5

D. 10 10

7.如图,在三棱锥 A—BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DB=DC=2,点 E 为 BC 的中点,若 直线 AE 与底面 BCD 所成的角为 45O,则三棱锥 A—BCD 的体积等于 ( )

A. 2

B. 4

C.2

D. 2 2

3

3

3

8.抛物线 y ? 2x 2 上两点 A(x1, y1 ) 、B(x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对

称,且 x1

? x2

?

?1 2

,则 m

等于(

D. 3

) A.3 2

B.2

C.5

2

9.已知 a、b为直线, ?,?,? 为平面,有下列四个命 题:

① a //?,b //?,则a // b

②? ? ?,? ? ?,则? // ?

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③ a //?,a // ?,则? // ?

④ a // b,b ? ?,则a //?

其中正确命题的个数是( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

10.

在平面直角坐标系

xOy

中,

F1

,

F2

分别为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,

B,C 分别为椭圆的上、下顶点,直线 BF2 与椭圆的另一个交点为 D,

若 cos ?F1BF2

?

7, 25

则直线 CD 的斜率为





A. 13

B. 12

C9

D. 21

25

25

25

25

11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两

个实根,且 0≤c≤18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(

).

A. 1 , 3 33

B. 3 , 1 33

C. 2 , 1 22

D. 1 , 2 22

12. 如 图 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD , ABCD 为 正 方 形 , ?PAD ? 900 , 且

PA ? AD ? 2, E, F 分别是线段 PA,CD 的中点. 则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为( )

A. 3 3

B. 3 2

C. 3 4

D. 3 6

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分)

?

?

13.已知向量 a ? (2, ?1, 2), b ? (?4, 2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则

x ? ______。

14. 曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为

15. 已知焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则双曲线的离心率为 4
16.有下列命题: ①设集合 M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不

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必要条件;

②命题“若 a ?M ,则 b? M ”的逆否命题是:若 b ? M,则a ? M ; ③若 p ? q 是假命题,则 p, q 都是假命题;

④命题 P:“ ?x0 ? R, x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定 ?P :“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”

则上述命题中为真命题的有

(填序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. (本小题满分 10 分)

如图,四边形 BCC1B1 是圆柱的轴截面. AA1 是圆柱的一条母线,已知 AB ? 2 ,

AC ? 2 2 , AA1 ? 3 .
(1)求证: AC ⊥ BA1 ;
(2)求圆柱的侧面积.

18.(本题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,PA=AB=4, G

为 PD 中点,E 点在 AB 上,平面 PEC⊥平面 PDC.

(1)求证:AG⊥平面 PCD;

(2)求证:AG∥平面 PEC;

P

(3)求直线 AC 与平面 PCD 所成角.
G

A D

E

B

C

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19.(本题满分 12 分)
已知动点 P(x, y) 与两定点 M (?1,0), N(1,0) 连线的斜率之积等于常数 ?(? ? 0) .
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(2) 试根据 ? 的取值情况讨论轨迹 C 的形状.
20. (本小题满分 12 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直 线 4x ? 3y ? 29 ? 0 相切.
(1)求圆的方程;
(2)试讨论直线 ax ? y ? 5 ? 0 ( a ? R )与该圆的位置关系; (3) 对于(2)中的直线,是否存在实数 a ,使得直线与圆交于 A ,B 两点,且弦 AB
的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明
理由.
21.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD是正方形,PD ? 平面 ABCD ,PD ? AB ? 2 , E, F,G 分别是 PC, PD, BC 的中点.
(1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ; (2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 ADQ ,并给出证明; (3)证明平面 EFG ? 平面 PAD ,并求点 D 到平面 EFG 的距离.
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22. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线交 y 轴正半轴于点 P,交抛物线于 A, B 两点,其中点 A 在第一象限. (1)求证:以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切;
(2)若=λ 1,=λ 2,λλ 12∈???14,12???,求λ 2 的取值范围
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参考答案:

(3)连接 CG

AG ? CG,则?ACG为所求的角。

AG ? 1 AC,?ACG ? 30 ? 2

19. (1)由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零

所以

K PM

? KPN

?

y? x ?1

y x ?1

?

?

x2 ? y2 ?1 整理得 ? (λ ≠0,x≠±1)

③当 ? ? ?1时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 的半径的圆除去点(-1,0),(1,0) ④当 ? ? ?1时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个 端点)
20. 解:(1) 设圆心 C(a ,0), a ? Z ,
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依题意: | 4a ? 29 | ? 5 , 得: a ? 1或a ? 27 (舍去),

42 ? 32

2

∴ 圆 C 的标准方程为: (x ?1)2 ? y 2 ? 25 .

∴ 当 0 ? a ? 5 时,直线与圆相离;当 a ? 0或a ? 5 时,直线与圆相切;

12

12

当 a ? 0或a ? 5 时,直线与圆相交. 12

(3) 易知直线 l 过点 C (1,0),



k CP

?

4?0 ? 2?1

?

?4 3



∵ 直线 AB ? l ,



k AB

?

3 4



∴ a?3? 5 ; 4 12

∴ 存在实数 a ? 3 . 4

∵ PD ? 平面ABCD, ∴ PD ? AD,

又 AD ? DC , DC ? PD ? D ,

∴ AD ? 平面PCD,

∴ AD ? PC .

∵ PD ? CD , ∴ DE ? PC, ∵ AD? DE ? D , 且 AD, DE ?? 平面 ADQ ,

∴ PC ? 平面 ADQ .

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(3) 证明: ∵ PD ? 平面ABCD, ∴ PD ? DC , 又 DC ? AD, PD? AD ? D , ∴ DC ? 平面PAD, ∵ EF ∥ CD , ∴ EF ? 平面PAD EF ?? 平面 EFG, ∴ 平面EFG ? 平面PAD.
故点 D 到平面 EFG的距离是 2 . 2
22.(1)证明:由已知 F???p2,0???,设 A(x1,y1),则 y21=2px1, 圆心坐标为???2x14+p,y21???,圆心到 y 轴的距离为2x14+p,
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圆的半径为|F2A|=12×???x1-???-p2??????=2x14+p, 所以,以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切.

将 y2=-λ

y2 1

代入(*)式,得

y21=λp22,所以

p2

p

2px1=λ 2,x1=2λ

.
2

代入 x1-p2=-λ 1x1,

得 1 =1-λ 1,

λ2

λ2

为λ λ

12∈???14,12???,

所以 λ 2 的取值范围是???43,2???.

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