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2018年高考数学考点通关练第六章立体几何41空间几何体的表面积和体积试题文


考点测试 41

空间几何体的表面积和体积

一、基础小题

1.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( A.2 3 C.8 答案 D ) B.4 3 D.4

3 ,一个内角为 60°的菱形, 2

解析 由三视图知,原几何体为两个四棱锥的组合体,其中四棱锥的底面边长为 1,斜 1 高为 1,所以这个几何体的表面积为 S= ×1×1×8=4. 2 2.一个正方体的体积是 8,则这个正方体的内切球的表面积是( A.8π B.6π
1

)

C.4π 答案 C
3

D.π

解析 设正方体的棱长为 a,则 a =8,∴a=2.而此正方体的内切球直径为 2,∴S 表= 4π r =4π . 3.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
2

6 3 A. π cm 5 2 3 C. π cm 3 答案 D

B.3π cm

3

7 3 D. π cm 3

解析 由三视图可知,此几何体为底面半径为 1 cm、高为 3 cm 的圆柱上部去掉一个半 2 2 7 2 3 3 径为 1 cm 的半球,所以其体积为 V=π r h- π r =3π - π = π (cm ). 3 3 3 4.将一个边长分别为 4π ,8π 的矩形卷成一个圆柱,则这个圆柱的表面积是( A.40π 答案 D 解析 当以长度为 4π 的边为底面圆时,底面圆的半径为 2,两个底面的面积是 8π ;当 以长度为 8π 的边为底面圆时, 底面圆的半径为 4, 两个底面圆的面积为 32π .无论哪种方式, 侧面积都是矩形的面积 32π .故所求的面积是 32π +8π 或 32π +32π . 5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )
2 2 2 2 2 2

)

B.64π

2 2 2

C.32π 或 64π

D.32π +8π 或 32π +32π

2

A.4 16 C. 3 答案 B

14 B. 3 D.6

解析 依题意,所求几何体是一个四棱台,其中上底面是边长为 1 的正方形、下底面是 1 14 2 2 边长为 2 的正方形,高是 2,因此其体积等于 ×(1 +2 + 1×4)×2= ,故选 B. 3 3

6.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则该几何体的体积不可能是( 1 A. 3 2 C. 3 答案 D π B. 6 D.1

)

解析 寻找两个极限状态,一是底面无面积,此时 V=0;二是底面面积最大时,底面为 1 2 2 正方形,此时 V= ×1×1×2= ,因此该几何体的体积 0<V≤ ,故选 D. 3 3 3 7.如图甲所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由底面半径为 1 cm 和半径 为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图乙水平放置时,液面高度为 20 cm,

3

当这个几何体如图丙水平放置时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为(

)

A.29 cm C.32 cm 答案 A

B.30 cm D.48 cm

解析 设这个简单几何体的总高度为 h,如图乙简单几何体上面没有充满水的高度为 x,
?π x=9π y, ? 如图丙简单几何体上面没有充满水的高度为 y,则? ?x+20=y+28 ?

??

?x=9, ? ?y=1, ?

所以 h=

29. 8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分 别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体, 则有( )

A.V1<V2<V4<V3 C.V2<V1<V3<V4 答案 C

B.V1<V3<V2<V4 D.V2<V3<V1<V4

1 解析 V1 表示一个圆台的体积, 底面直径分别为 2,4, 高为 1, 故 V1= (4π +2π +π )×1 3

4

7 = π .V2 表示圆柱的体积,底面直径为 2,高为 2,故 V2=2π .V3 表示正方体的体积,棱长为 3 2,故 V3=2 =8.V4 表示一个棱台的体积,上、下底面分别为边长是 2、4 的正方形,高为 1, 1 28 故 V4= (4+16+8)×1= .比较大小可得 V2<V1<V3<V4. 3 3
3

9.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是________. 答案 2 6

解析 易知该几何体是正四棱锥. 连接 BD, 设正四棱锥 P-ABCD, 由 PD=PB=1, BD= 2, 则 PD⊥PB.设底面中心 O,则四棱锥高 PO= 1 1 2 2 2 则其体积是 V= Sh= ×1 × = . 3 3 2 6 10.如图所示,BD 是边长为 3 的正方形 ABCD 的对角线,将△BCD 绕直线 AB 旋转一周后 形成的几何体的体积等于________. 2 , 2

答案 18π 解析 旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中圆柱、圆锥的底面
5

1 2 2 半径、高均为 3,所以 V=V 柱体-V 锥体=π ×3 ×3- ×π ×3 ×3=18π . 3 11.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧棱 PA⊥底面

ABCD,PA=2,E 为 AB 的中点,则四面体 PBCE 的体积为________.

答案 解析 ×2×

3 3 1 3 1 显然 PA⊥面 BCE,底面 BCE 的面积为 ×1×2×sin120°= ,所以 VP-BCE= 2 2 3

3 3 = . 2 3

12.一个几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 是________.

答案 8 3+

4 3 π 3

解析 观察三视图可知,该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体,圆锥底面半径 为 2,四棱锥底面边长分别为 3,4,它们的高均为 1 1 4 3 2 × π ×2 ×2 3+ ×4×3×2 3=8 3+ π. 3 3 3 二、高考小题 13.[2016·全国卷Ⅲ]如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体 的三视图,则该多面体的表面积为( )
6

1 ?4?2 2 4 -? ? =2 3,所以该几何体体积为 2 ?2?

A.18+36 5 C.90 答案 B

B.54+18 5 D.81

解析 由三视图可知,该几何体的底面是边长为 3 的正方形,高为 6,侧棱长为 3 5的 平行六面体,则该几何体的表面积 S=2×3 +2×3×3 5+2×3×6=54+18 5.故选 B. 14.[2015·山东高考]已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所 在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2 2π A. 3 C.2 2π 答案 B 解析 依题意知该几何体是以 2为底面半径, 2为高的两个同底圆锥组成的组合体, 4 2π B. 3 D.4 2π )
2

1 4 2 2 则其体积为 π ( 2) × 2×2= π ,故选 B. 3 3 15.[2016·山东高考]一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几 何体的体积为( )

7

1 2 A. + π 3 3 1 2 C. + π 3 6 答案 C

1 2 B. + π 3 3 D.1+ 2 π 6

解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为 1,四棱锥的高为 1,球的 直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径 2R= 2,则 R= 2 ,所以半球 2

2 3 2 1 1 1 2 2 的体积为 π R = π ,又正四棱锥的体积为 ×1 ×1= ,所以该几何体的体积为 + π . 3 6 3 3 3 6 故选 C. 16. [2016·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球. 若 AB⊥BC,

AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是(
A.4π C.6π 答案 B

) 9π B. 2 32π D. 3

1 1 解析 易知 AC=10.设底面△ABC 的内切圆的半径为 r, 则 ×6×8= ×(6+8+10)·r, 2 2 3 4 9π 3 所以 r=2,因为 2r=4>3,所以最大球的直径 2R=3,即 R= .此时球的体积 V= π R = . 2 3 2 故选 B.

8

17.[2015·全国卷Ⅰ]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋 内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约 为 3,估算出堆放的米约有( A.14 斛 C.36 斛 答案 B 1 16 1 1 解析 设圆锥底面的半径为 R 尺,由 ×2π R=8,得 R= ,从而米堆的体积 V= × 4 π 4 3 320 320 2 π R ×5= (立方尺),因此堆放的米约有 ≈22(斛).故选 B. 3π 3×1.62π 18. [2015·全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r= ( ) ) B.22 斛 D.66 斛

A.1

B.2

9

C.4 答案 B

D.8
2 2 2 2

解析 由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为 2π r +π r +4r +2π r =5π r +4r .由 5π r +4r =16+20π ,得 r=2.故选 B.
2 2 2 2

19.[2016·北京高考]某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为________.

答案

3 2

解析 由题中三视图可画出长为 2、宽为 1、高为 1 的长方体,将该几何体还原到长方体 中,如图所示,该几何体为四棱柱 ABCD-A′B′C′D′.

10

1 3 故该四棱柱的体积 V=Sh= ×(1+2)×1×1= . 2 2 20.[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 ________cm ,体积是________cm .
2 3

答案 72 32

解析 由几何体的三视图可得,该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同 的长方体组合而成,其中 AB=BC=2 cm,BD=4 cm,∴该几何体的体积 V=2×2×4×2= 32(cm ),表面积 S=(2×2×3+2×4×3)×2=36×2=72(cm ). 三、模拟小题
3 2

11

21.[2016·洛阳统考]如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A.64+32π B.64+64π C.256+64π D.256+128π 答案 C

)

解析 依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的底面边 长是 8、侧棱长是 4,圆柱的底面半径是 4、高是 4,因此所求几何体的体积等于 π ×4 ×4 +8 ×4=256+64π ,选 C. 22.[2016·广东茂名二模]若几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积 为( )
2 2

A.34π C.36π 答案 A

B.35π D.17π

解析 由几何体的三视图知,它是底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥,可把 它补成一个长、宽、高分别为 3、3、4 的长方体,该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球, 所以 4R =3 +3 +4 =18+16=34(其中 R 为外接球的半径),外接球表面积为 S=4π R = 34π ,故选 A. 23.[2017·合肥月考]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
2 2 2 2 2

12

A.2 C.3 答案 D

8 B. 3 10 D. 3

解析 该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后的图形.原直三棱柱的体积为

V1= ×2×2×2=4,切去的三棱锥的体积为 V2= × ×2×2×1= ,则该几何体的体积为 V
2 10 =V1-V2=4- = .故选 D. 3 3 24.[2017·山西临汾期末]已知球 O,过其球面上 A,B,C 三点作截面,若 O 点到该截 面的距离是球半径的一半,且 AB=BC=2,∠B=120°,则球 O 的表面积为( 64π A. 3 C.4π 答案 A 解析 AC= 2 +2 -2×2×2×cos120°=2 3,设△ABC 所在截面圆半径为 r,则 2r = 2 3 R 16 ?R?2 2 2 2 2 2 = =4,即 r=2,d= ,而 d +r =R ,即? ? +4=R ,也即 R = ,所 sin120° sin120° 2 3 ?2?
2 2

1 2

1 3

1 2

2 3

)

8π B. 3 16π D. 9

AC

16 64π 2 以 S 球=4π R =4π × = . 3 3 25.[2016·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲 线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )

13

A.4π +16+4 3 C.4π +16+2 3 答案 D

B.5π +16+4 3 D.5π +16+2 3

解析 由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个 1 侧面面积之和为 2×4×2=16,两个底面面积之和为 2× ×2× 3=2 3;半圆柱的侧面积 2 1 2 为 π ×4=4π ,两个底面面积之和为 2× ×π ×1 =π ,所以几何体的表面积为 5π +16+ 2 2 3,故选 D. 26.[2017·太原调研]已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所 示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m .
3

答案 2
14

解析 四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为 2×1=2 m ,四棱锥的高为 1 3 3 m,所以四棱锥的体积 V= ×2×3=2 m . 3

2

一、高考大题 1. [2015·全国卷Ⅱ]如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,

F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一
个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(2)作 EM⊥AB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= EH -EM =6,AH=10,HB=6. 9?7 ? 因为长方体被平面 α 分成两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比值为 ? 也正确?. 7?9 ? 二、模拟大题 2.[2017·武昌调研]如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm).
2 2

15

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2,可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 1 2

S=5×22+2×2× 2+2× ×( 2)2
=22+4 2(cm ), 1 3 2 3 所求几何体的体积 V=2 + ×( 2) ×2=10(cm ). 2 3.[2016·浙江杭州一模]已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,各侧面是全等的等腰梯形,且各侧面的面积之和等于两底面面积之和,求棱台 的体积.
2

16



如图所示,在三棱台 ABC-A′B′C′中,O′、O 分别为上、下底面的中心,D、D′

分别是 BC、B′C′的中点,则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高, 又 C′B′=20 cm,CB=30 cm, 1 所以 S 侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′. 2

S 上+S 下=

3 2 2 2 ×(20 +30 )=325 3(cm ). 4

由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 13 所以 DD′= 3(cm), 3 又因为 O′D′= 3 10 3 ×20= (cm), 6 3

OD=

3 ×30=5 3(cm), 6
2 2

所以棱台的高 h=O′O= D′D -?OD-O′D′? = 10 3?2 ?13 3?2 ? ? ? -?5 3- ? =4 3(cm), 3 ? ? 3 ? ?

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为

h V= (S 上+S 下+ S上S下)
3 = 4 3 ? 3 ? ×?325 3+ ×20×30? 3 4 ? ?
3 3

=1900(cm ). 故棱台的体积为 1900 cm .

17


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