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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第九章 第五节 直接证明与间接证明教案 文


第五节

直接证明与间接证明

【考纲下载】 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了 解分析法和综合法的思考过 程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点.

1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P? Q1 ― → Q1? Q2 ― → Q2? Q3 ― →?― → Qn? Q (P 表示已知条件、已有的 定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做 分析法. ②框图表示: Q?P1 ― → P1?P2 ― → P2?P3 ― →?― → 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最 后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的什么条件?(充分条件、必要 条件、充要条件) 提示:充分条件. 2.用反证法证明结论“a>b”时,应假设的内容是什么? 提示:应假设 a≤b. 3.证明不等式 2+ 7< 3+ 6最适合的方法是什么? 提示:分析法.

1.若 a<b<0,则下列不等式中成立的是( 1 1 1 1 A. < B.a+ >b+

)

a b

b

a

1 1 C.b+ >a+

a

b

D. <

b b+1 a a+1

1 1 解析:选 C ∵a<b<0,∴ > .

a b

1 1 由不等式的同向可加性知 b + >a+ .

a

b

2.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的(

)
1

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 B 由题意可知,应有②? ①,故①是②的必要条件. 3.(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时, 应假设( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 解析:选 B “至少有一个不大于 60°”的反面是“都大于 60°”. 4.下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0;b>0;④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立的 条件的个数是________. 解析:要使 + ≥2,只要 >0 且 >0,即 a,b 不为 0 且同号即可,故有 3 个 . 答案:3 2 5.已知点 An(n,an)为函 数 y= x +1图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y=x 图象上的点, * 其中 n∈N ,设 cn=an-bn,则 cn 与 cn+1 的大小关系为________. 1 2 2 解析:由题意知,an= n +1,bn=n,∴cn= n +1-n= 2 .显然,cn 随着 n n +1+n 的增大而减小,∴cn>cn+1. 答案:cn>cn+1

b a a b

b a a b

b a

a b

数学思想(十一) 转化与化归思想在解题中的应用 高考对直接证明与间接证明的考查多在知识的交汇处命题, 如数列、 立体几何、 不等式、 函数、解析几何等都可能考查,在具体求解时,应注意运用转化与化归思想寻求解题思路. ?0,0<x<1, ? + [典例] (2013·山东高考)定义“正对数”:ln x=? 现有四个命题: ?ln x,x≥1. ? + b + ①若 a>0,b>0,则 ln (a )=bln a; + + + ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ln b; ③若 a>0,b>0,则 ln ? ?≥ln a-ln b;
+ + +

?a? ?b?

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). [解题指导 ] 本题是新定义问题,解题时要严格按照所给定义,对每一个选项逐一论 证或排除. x [解析] 对于命题①,若 0<a<1,由 指数函数 y=a 可知,当 x>0 时,0<y<1,即对任意 b>0,0<ab<1,于是 ln+(ab)=0,且 bln+a=b×0=0,此时 ln+(ab)=bln+a=0,此时命题成 b + b + 立;当 a=1 时,a =1 对任意 b>0 成立,此时 ln (a )=bln a=0,此时命题成立;当 a>1 b + b b + 时,根据指数函数性质可得对任意 b>0,a >1,此时 ln (a )=ln a =bln a,且 bln a=bln a,此时命题成立,故命题①为真命题; 1 + + + 对于命题②,取 a= ,b=3 时,ln (ab)=0,ln a+ln b=ln 3>0,二者不相等,故 3 命题②不是真命题;
2







对于命题③,若 ≥1,a≥1,b≥1,此时 ln ? ?=ln =ln a-ln b, ln a-ln b=ln b b ?b?
+ + +

a

?a?

a

a a ?a? a-ln b,不等式成立;若 ≥1,0<a<1,0<b<1,此时 ln+? ?=ln ≥0,ln+a-ln+b=0,不 b b ?b? a a +?a? + + 等式也成立;若 ≥1,a≥1,0<b<1,此时 ln ? ?=ln >ln a,ln a-ln b=ln a,此时不 b b ?b? a 等式也成立.根据对称性,当 <1 时的各种情况就相当于交换了上 述 a,b 的位置,故不等 b
式成立.综上, 命题③为真命题; + 对于命题④, 若 0<a<1,0<b<1, 无论 a+b 取值如何均有 ln (a+b)≤ln 2, 不等式成立; + + + 若 0<a<1,b≥1,则 ln (a+b)=ln(a+b)<ln 2b= ln b+ln 2=ln a+ln b+ln 2,不等 + 式成立,同理 a≥1 ,0<b<1 时不等式也成立;当 a≥1,b≥1 时,ln (a+b)=ln(a+b),ln + + a+ln b+ln 2=ln a+ln b+ln 2,故④中不等式可化为 a+b≤2ab,构造函数 g(a)=a +b-2ab,根据定义可知函数 g(a)在[1,+∞)上单调递减,所以 g(a)≤g(1)=1+b-2b =1-b≤0,所以 a+b≤2ab,所以④中的不等式成立,即命题④为真命题. [答案] ①③④ [题后悟道] 1.注意这类判断命题真假的题目,其解法上既要规范,又要灵活.当判断 为真时,需严格地推理证明;而判断为假时,只需举一反例即可. 2.注意培养观察能力,即观察条件、结论,且能从数学的角度揭示其差异,如“高次 ?低次”“分式(根式)?整式”“多元?一元”等, 从而为我们的化归转化指明方向, 奠定 基础. 设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若 a -b =1, 则 a-b<1; ②若 - =1, 则 a-b<1; ③若| a- b|=1, 则|a-b|<1;

b a

④若|a -b |=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 2 2 解析:①中,a -b =(a+b)(a-b)=1,a,b 为正实数,若 a-b≥1,则必有 a+b>1, 1 1 a-b 2 不合题意,故①正确;②中, - = =1,只需 a-b=ab 即可.如果 a=2,b= 满足 b a ab 3 4 上式,但 a-b= >1,故②错;③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,且|a 3 -b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b |>1,故③错;④中,|a -b |=|(a-b)(a +ab 2 2 2 2 2 +b )|=|a-b|(a +ab+b )=1.若|a-b|≥1,不妨取 a>b>1,则必有 a +ab+b >1,不合 题意,故④正确. 答案:①④
3 3 2

3

3

3


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