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福建省华安县第一中学2017_2018学年高二数学上学期第二次月考(12月)试题理


拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

华安一中 2017-2018 学年上学期高二数学(理科)第二次月考试题
(考试时间:120分钟 总分:150分) 一、选择题(每题 5 分共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y =ax 2 的准线方程是 y =-2 ,则 a 的值为 A.4 B.8 C. ( ) D.

1 8

1 4

2.某单位有若干名员工,现采用分层抽样的方式抽取 n 人去体检,若老、中、青人数之比为 4:1:5,已知抽到 10 位中年人,则样本的容量为 ( ) A. 40 B. 100 C. 80 D. 50 3.下列程序框图中,输出的 A 的值是( )

A.

1 19

B.

1 18

C.

1 21

D.

1 20

4.若双曲线 C1 以椭圆 C2 : 线 C1 的方程为( )

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆 C2 长轴的端点为焦点,则双曲 16 25

A.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y 2 ? ?1 16 25

C.

y 2 x2 ? ?1 9 16

D.

y 2 x2 ? ?1 16 25

5.某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名学生参加演讲比赛,那么下列对立的两个事 件是( ) A. “至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生” B. 恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生” C. “至少 1 名男生”与“全是男生” D. “至少 1 名男生”与“全是女生” 6.已知双曲线

2 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的焦距为 ( 3 9 m
C. D.



A.

B.

7. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案, 它形象化地表 达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了 一种相互转化, 相对统一的形式美.按照太极图的构图方法, 在 平面直角坐标系中,圆 O 被

y ? 3sin

?

x 6 的图象分割为两个对

称的鱼形图案,其中小圆的半径均为 2,现在大圆内随机取一
-1-

点,则此点取自阴影部分的概率为(



1 A. 36

1 B. 18

1 C. 12

1 D. 9

2 8.将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为 a 和 b ,则方 ax ? bx ? 1 ? 0 有实数

解的概率是(



19 A. 36

1 B. 2

7 C. 36

5 D. 18

9.下表是某单位 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4 2 5 3 4

a

7

? ? x ? 3.05 , 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其回归方程是 y
则 a 等于( ) 10.下列四个命题:
2

A. 6

B. 6.05

C. 6.2

D. 5.95

2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” 的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”

②“ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件
2

③若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 ④对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

其中,错误的命题个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 11.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,第 1 小组的 频数为 6,则报考飞行员的学生人数是( )

A.56

B. 48

C. 40

D. 32

12. 设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 过 F2 1 , F2 , F 1F 2 ? 2c , a 2 b2
-2-

作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A ,已知 Q ? c, 曲线 C 右支上的动点,且 PF1 ? PQ ? ( )

? 3a ? ? , F2Q ? F2 A ,点 P 是双 ? 2 ?

3 F1 F2 恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是 2

A. ?1,

? 7? ? ? 6?

B.

? 10 ? , ?? ? ? ? 2 ? ? ?

C. ? ?

?7 ?6

,

10 ? ? 2 ? ?

D. ? 1, ?

? ?

10 ? ? 2 ? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,.将答案填入答卷指定位置). 13.已知向量 OA ? (k ,12,1), OB ? (4,5,1), OC ? (?k ,10,1) ,且 A、B、C 三点共线, 则k = ________

14.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点的弦为 AB ,且 AB ? 9 , xA ? xB ? 6 , 则p? 15.某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如下图所 示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91.复核员在复核时,发现有一 个数字(茎叶图中的 x)无法看清.若记分员计算无误,则数字 x 应该是 .

2 16. 设圆 ? x ? 1? ? y ? 25 的圆心为 C , 2

A ?1,0?



圆 分

内一定点, Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平 线与 CQ 的连线交于点 M ,则 M 的轨迹方程为 ________

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,推理过程或演算步骤) 17.已知集合 Z ? {(x, y) | x ?[0, 2], y ?[?1,1]}. (1)若 x, y ? Z ,求 x ? y ? 0 的概率; (2)若 x, y ? R ,求 x ? y ? 0 的概率.

-3-

18.命题 p : f ( x) ?

x 2 ? mx ? 1的定义域为R ;命题 q :方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴 m 2

上的椭圆.若“ p 且 q ”是假命题, “ p 或 q ”是真命题,求实数 m 的取值范围.

19. 某校高三 (1 ) 班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下,据此解答如下问题.
频率 组距 0.04

茎 叶 5 6 7 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100

8
分数

9

5 8

(1)求全班人数及分数在 ?80 , 90? 之间的频数,并估计该班的平均分数; (2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求 至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率.

-4-

20.已知 O 为坐标原点, M 是椭圆 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

x2 ? y 2 ? 1 上的点,设动点 P 满足 OP ? 2OM . 2

(2)若直线 l : y ? x ? m ? m ? 0? 与曲线 C 相交于 A , B 两个不同点,求 ?OAB 面积的最大 值.

21.如图, 成角为 .

是边长为 的正方形,

平面







与平面



(Ⅰ)求证: (Ⅱ)求二面角

平面



的余弦值. 上一个动点,试确定点 的位置,使得 平面 ,并证明你的结论.

(Ⅲ)设点 是线段

22.已知椭圆

? 3 ? y2 a2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? , 3 ,离心率为 . ? 2 ? ? 2 a b ? 2 ?

(1)求椭圆的标准方程;
2 (2)过椭圆的上顶点作直线 交抛物线 x ? 2 y 于 A, B 两点, O 为原点.

①求证: OA ? OB ; ②设 OA 、OB 分别与椭圆相交于 C 、 D 两点,过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH ,垂足为 H ,
-5-

证明: OH 为定值.

华安一中 2017-2018 学年上学期 高二数学(理科)第二次月考试题参考答案 一、选择题:CBACD 二、填空题:13. 三.解答题: 17. (1)设 "x+y ? 0, x, y ? Z" 为事件 A, x, y ? Z , DDACB BA 15. 1 ; 16.

2 ; 14. 3 3

4 x2 4 y 2 ? ?1 25 21

x ? [0, 2] ,即 x ? 0,1, 2; y ?[?1,1] ,即 y ? ?1, 0,1.…………2 分
则基本事件有:(0, ?1),(0,0),(0,1),(1, ?1),(1,0),(1,1),(2, ?1),(2,0),(2,1) 共 9 个,其中满足的 基本事件有 8 个,所以 p (A) ?

8 8 .故 x, y ? Z , x ? y ? 0 的概率为 .…………5 分 9 9

(2) 设 "x ? y ? 0, x, y ? R " 为事件 B ,因为 x ?[0, 2], y? [ ,则基本事件为如图四边形 ? 1,1]

ABCD 区域,事件 B 包括的区域为其中的阴影部分. …………7 分
所以 p(B) ?

S阴影 S四边形ABCD

1 1 S四边形ABCD - ?1?1 2 ? 2- ?1?1 7 2 2 = = = ,…………9 分 S四边形ABCD 2? 2 8
7 …………10 分 8.

故 " x, y ? R, x ? y ? 0" 的概率为

2 18.命题 p : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 为真,

? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? ?2 ? m ? 2
命题 q 为真,即方程 又

…………2 分

x2 y 2 ? ? 1 是焦点在 y 轴上的椭圆, ? 0 ? m ? 2 m 2

…………4 分

“ p 且 q ”是假命题,“ p 或 q ”是真命题
-6-

? p 是真命题且 q 是假命题,或 p 是假命题且 q 是真命题…………6 分

? {

m ? 0或m ? 2 -2 ? m ? 2

或{

m<-2或m ? 2 0?m?2

…………10 分

? m 的取值范围是 ? ?2,0? ??2? …………12 分
19.(1)由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 全班人数为
2 ? 25 .…………3 分 0.08

所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 …………4 分 分数在 ?50 , 60? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 分数在 ?60 , 70? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ; 分数在 ?70 , 80? 之间的总分数为 70 ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ; 分数在 ?80 , 90? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ; 分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 ; 所以,该班的平均分数为
114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74 .…………7 分 25

(2)将 ?80 , 90? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为 5 , 6 , 在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5 ? , ?1 , 6 ? , ? 2 , 3? , ? 2 , 4? , ? 2 , 5? , ? 2 , 6? , ?3 , 4? , ? 3 , 5? , ?3 , 6? , ? 4 , 5? , ? 4 , 6? , ?5 , 6? 共 15 个,
其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个, ∴至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是 20.(1)设点 , ,则由
9 ? 0.6 .…………12 分 15

,得

,即



,因为点

在椭圆

,所以

,故

x2 y 2 ? ? 1 ,即动点 的轨 8 4



的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . …………4 分 8 4

-7-

(2)由曲线

与直线 联立得 交于 , 两点, ,又

,消





因为直线 与曲线 所以

,所以





,则



…………8 分

因为点

到直线



的距离

,…………9 分

,…………10 分

当 且仅当 21. (Ⅰ)证明:∵ 又∵ ∵ (Ⅱ)∵ ∵ 与平面 ,即 平面 时取等号,所以 , 平面 ,∴ 面积的最大值为 . …12 分

…………1 分

是正方形, ∴ ,∴ , , 平面

,…………2 分 .…………3 分 ,

两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系 ,即 …………4 分

所成角为

∴ 则 ∴

由 , ,

,可知: , ,

, ,

. ,

,…………6 分

设平面

的法向量为

,则

,即

-8-

,令 因为 平面

,则 为平面

. 的法向量,∴ ,

,所以

所以



因为二面角为锐角,故二面角 (Ⅲ)依题意得,设 ∵ 平面 ,∴ ,则 ,即

的余弦值为

.…………9 分 ,

,解得:



∴点 的坐标为

,此时

,∴点 是线段

靠近 点的三等分点. ……12 分

22. (1)

e2 ?

c2 b2 ? 1 ? ,所以 a2 a2
…………3 分 、 , 的方程为

,又

,解得





所以椭圆的方程为 (2)①证明:设

依题意,直线 一定有斜率 ,



联立方程

消去

得 ,



,又 ……7 分



②证明:设 ,

、 ,

,直线

的方程为





联立方程

消去







,…………9 分

-9-







,即 所以 为定值…………12 分

.

- 10 -


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