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【与名师对话】2015高考数学一轮复习 5.3 等比数列及前n项和课时作业 理(含解析)新人教A版必修5


【与名师对话】 2015 高考数学一轮复习 5.3 等比数列及前 n 项和课 时作业 理(含解析)新人教 A 版必修 5
一、选择题 1.(2013·湖北武汉调研测试)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16, 则 a5=( A.1 C.4 ) B.2 D.8
2 2

解析: ∵公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, a3a11=16, ∴a7=16, a7=4, ∴2 ·a5 =4,则 a5=1,选 A. 答案:A 2.(2013·郑州第二次质量预测)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数),前 n 项和为

Sn=3n+k,则实数 k 为(
A.-1 C.1

) B.0 D.2

解析:由 an+1=can 知数列{an}为等比数列,公比为 c,等比数列的前 n 项和为 Sn= 1-c - ·c =3 +k,∴k=-1,选 A. 1-c 答案:A 3. (2013·海淀第二学期期末练习)已知数列{an}是公比为 q 的等比数列, 且 a1·a3=4,

a1

a1

n

n

a4=8,则 a1+q 的值为(
A.3 C.3 或-2

) B.2 D.3 或-3
2 2 3 4

解析:由{an}为等比数列,a1·a3=a1q =4,a1q =8 得 q =16,q=±2,当 q=2 时,

a1=1,此时 a1+q=3;当 q=-2 时,a1=-1,此时 a1+q=-3,故选 D.
答案:D 4.(2013·福州质检)已知等比数列{an}的公比 q=2,且 2a4,a6,48 成等差数列,则{an} 的前 8 项和为( A.127 C.511 ) B.255 D.1 023

a1?1-q8? 解析:由已知 q=2,2a6=2a4+48 可得 a1=1,S8= =255,故选 B. 1-q
答案:B 5.(2013·宁波市高三“十校”联考)若方程 x -5x+m=0 与 x -10x+n=0 的四个根
2 2

1

适当排列后,恰好组成一个首项为 1 的等比数列,则 m∶n 值为( A. 1 4 B. 1 2

)

C.2
2

D.4
2

解析:不妨设方程 x -5x+m=0 的两根分别为 x1、x2,则 x1+x2=5,x1x2=m,方程 x

-10x+n=0 的两根为 x3,x4,则 x3+x4=10,x3·x4=n,且此数列公比为 q,|q|>1,此数 1 列为 x1,x3,x2,x4,则 x1=1,x2=4,x3=2,x4=8,此时 m=4,n=16,∴m∶n= . 4 答案:A 6.(2013·黄冈模拟)已知数列{an},{bn}满足 an,an+1 是函数 f(x)=x +bnx+2 的两个 零点,且 a1=1,则 b10=( A.-64 C.-48
2 2

n

) B.-32 D.64
n

解析: 由已知 an, an+1 为 f(x)=x +bn x+2 的两个零点, 易得 an+an+1=-bn ①, an·an
+1

=2

n

②,由②得 an+1·an+2=2

n+1

③ an+2 ③,则 = =2,故{an}为隔项成等比数列,a1=1, ② an

a11=a1·25=32,a10=a2·24=25=32,故 b10=-(a10+a11)=-64.
答案:A 二、填空题 7.(2013·茂名市第一次模拟)已知等比数列{an}的公比 q 为正数,且 a3·a9=2a5,则 q =________. 解析:由等比数列性质知 a3·a9=a6=2a5,∴q = 2=2,∵q>0,∴q= 2. 答案: 2 8.(2013·北京东城综合练习(二))各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
2 2 2 2

a2 6 a5

a3=2,S4=5S2,则 a1 的值为________,S4 的值为________.
解析:由 a3=2,S4=5S2 可得 q≠1, 1 4 ?1-2 ? 2 15 = = . 1-2 2 1 15 答案: 2 2 9.(2013·河北邯郸高三月考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),关于数列{an}有下 列四个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 an=an+1(n∈N );
* *

a1?1-q4? a1?1-q2? 1 =5· ? q=2,故 a1= ;S4 1-q 1-q 2

2

②若 Sn=an +bn(a,b∈R),则{an}是等差数列; ③若 Sn=1-(-1) ,则{an}是等比数列; ④若{an}是等比数列,则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(m∈N )也成等比数列. 其中正确的命题是________.(填上正确命题的序号) 解析:①若{an}既是等差数列又是等比数列,{an}为非零常数列,故 an=an+1(n∈N ); ②若{an}是等差数列,Sn = n +?a1- ?n 为 an +bn(a,b∈R)的形式;③若 Sn=1-(-1) ,则 n≥2 时,an=Sn 2? 2 ?
2 2 * *

2

n

d

?

d?
n

n

-Sn-1=1-(-1) -1+(-1) =(-1)
n-1 n

n-1

=(-1)

n-1

-(-1) ,而 a1=2,适合上述通项公式,所以 an

n

-(-1) 是等比数列;④若{an}是等比数列,当公比 q=-1 且 m 为偶数时,Sm,

S2m-Sm,S3m-S2m 不成等比数列.
答案:①②③ 三、解答题 10.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+ 2d 解得 d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2 ,由等比数列前 n 项和公式得 2?1-2 ? n+1 Sn=2+2 +2 +?+2 = =2 -2. 1-2
2 3

n

n

n

11.(2013·乌鲁木齐第一次诊断)已知数列{an}、{bn}分别是首项均为 2,各项均为正 数的等比数列和等差数列,且 b2=4a2,a2b3=6. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求使 abn<0.001 成立的最小的 n 值.
? ?2+d=4×2q 解:(1)设{an}的公比为 q,{bn}的公差为 d,依题意得? ??2+2d?·2q=6 ?



d=2 ? ? 解得? 1 q= ? ? 2

d=-5 ? ? ,或? 3 q=- ? 8 ?

?1?n-2 (舍),∴an=? ? ,bn=2n. ?2?

?1?2n-2 (2)由(1)得 abn=a2n=? ? , ?2?
3

?1?2n-2 2n-2 ∵abn<0.001,即? ? <0.001,∴2 >1 000, ?2?
∴2n-2≥10,即 n≥6,∴最小的 n 值为 6. 12.(2012·山东卷)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N ,将数列{an}中落入区间(9 9 )内的项的个数记为 bm,求数列{bm}的前
*

m, 2m

m 项和 Sm.
解:(1)因为{an}是一个等差数列,所以 a3+a4+a5=3a4=84,a4=28. 设数列{an}的公差为 d, 则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N ). (2)对 m∈N ,若 9 <an<9 , 则 9 +8<9n<9 +8. 因此 9
m-1 m
2m * *

m

2m

+1≤n≤9

2m-1

,故得 bm=9

2m-1

-9

m-1

.

于是 Sm=b1+b2+b3+?+bm =(9+9 +?+9
m
3 2m-1

)-(1+9+?+9
m
2m+1

m-1

)



9×?1-81 ? 1-9 9 - = 1-81 1-9

-10×9 +1 . 80

m

[热点预测] 13.

(1)(2013·湖北七市联考)如图,一单位正方体形积木,平放于桌面上,并且在其上方

4

位置若干个小正方体形积木摆成塔形, 其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方 体中上底面各边的中点,如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过 8.8,则正方体的 个数至少是( A.6 C.8 ) B.7 D.10

(2)(2013·河南十所名校第三次联考)设数列{an}是等差数列, 数列{bn}是等比数列, 记 数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 a5=b5,a6=b6,且 S7-S5=4(T6-T4),则 ________. 解析: (1) 由题意第一个正方体露在外面的面积为 4.5 ,第二个为 2.25 ,第三个为

a7+a5 = b7+b5

? 1? 4.5?1- n? 1 ? 2? 1.125,??,可知此构成首项为 4.5,公比 q= 的等比数列,所以 Sn= >8.8, 2 1 1- 2
1 1 化简得 n< ,易得 n 的最小值为 6,故选 A. 2 45 25 b6 a6 (2)由 S7-S5=4(T6-T4)可得 a6+a7=4(a5+a6)? 6a1+25d=0? a1=- d;q= = = 6 b5 a5

d a7+a5 5 5,由 a5=b5 得 b1=- 化简得- . 4,代入 6·5 b7+b5 13
5 答案:(1)A (2)- 13

5


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