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高三数学第一轮复习(理科)


新课标·人教A版

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第一单元

集合与常用逻辑用语

第1讲 第2讲 第3讲

集合及其运算 命题及其关系、充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

单元网络

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核心导语
一、集合 1.关系——元素与集合之间是从属关系,集合与集 合之间是包含关系. 2.运算——认清集合的元素,通过Venn图理解集合 运算的含义.学会用分类讨论法解决集合运算问题.

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核心导语
二、常用逻辑用语 1.命题——四种命题及其关系,特别是原命题与逆 否命题的等价性、逆命题与否命题的等价性. 2.充分、必要条件——命题p与q之间能否正确推导, 是判断充分、必要条件的关键. 3.逻辑联结词——“且”是几个简单命题都成立, “或”是几个简单命题至少有一个成立,“非”是对原命 题结论的否定,解题中可类比集合中的交集、并集和补 集. 4.量词——全称量词表述陈述句中所述事物的全体, 存在量词表述陈述句中所述事物的部分.
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使用建议
1.编写意图 高考对集合和常用逻辑用语的要求不高,集合主要是 一种基本语言和数学表达的工具,常用逻辑用语主要是数 学学习和思维的工具. 编写中注意到以下几个问题:(1)考虑到该部分在高 考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方 法的讲解和练习题的力度,控制了选题的难度;(2)从近 几年高考看来,涉及该部分内容的信息迁移题是高考的一 个热点话题,因此适当加入了类似的题目;(3)考虑到该 部分内容是第一轮初始阶段复习的知识,因此在选题时尽 量避免选用综合性强,思维难度大的题目.
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使用建议
2.教学指导 高考对该部分内容的要求不高,教师在引导学生复习 该部分时,切忌对各层次知识点随意拔高,习题一味求深、 求广、求难. 教学时,应注意如下几个问题:(1)集合主要是强调 其工具性和应用性,解集合问题时,要引导充分利用Venn 图或数轴的直观性来帮助解题.(2)了解“若p,则q”形 式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命 题的相互关系;重点关注必要条件、充分条件、充要条 件.(3)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,只要 求通过数学实例加以了解,帮助学生正确地表述相关的数 学内容.
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使用建议
(4)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形 式化定义,在复习中,应通过对具体实例的探究,加强学 生对于含有一个量词的命题的否定的理解.(5)常用逻辑 用语理论性强,重在注意引导学生提高逻辑思维能力和判 断问题的能力,在使用常用逻辑用语的过程中,体会运用 常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性,避免对逻 辑用语的机械记忆和抽象解释. 3.课时安排 本单元共3讲及1个45分钟滚动基础训练卷.每讲建议 1课时完成,45分钟滚动基础训练卷建议课外完成,本单 元大约共需3课时.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第1讲 集合及其运算

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考试大纲
1.了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的 子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集 合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定 子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系和运算.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

1. 集合的含义与表示方法 元素 ,把一些元素 (1)集合的含义:把研究对象叫作________ 集合 确定性 组成的总体叫作 ________ .集合元素的性质: ________ 、 互异性 、________ 无序性 . ________ ∈ (2)元素与集合的关系:①属于,记为________ ;②不属 ? . 于,记为________ * N N 或N, + (3)常用数集的记号: 自然数集______, 正整数集______ Z Q 整数集 ______ ,有理数集 ______ ,实数集 ______ ,复数集 R C . ______

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2、集合间的基本关系
关系

表示
子集 基 本 关 系

文字语言
元素 集合A的________ 都是集合B的元素

符号语言

记法
B ?A ________

x∈A?x∈B

A?B或

真子集

集合A是集合B的子 A?B,?x0∈B, 集,但集合B中 至少 ________ 有一个元 x0?A 素不属于A

A___B或B

A

相等 空 集

集合A,B的元素完 A?B,B?A?A= 全相同 ________ B
不含 ________ 任何元素 的集合.空集是任 ?x,x??,??A 何集合A的子集

A=B ________

?
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3、集合的基本运算
表示 运算 文字语言


符号语言

图形语言

记法

交集

属于A____ 且 属于B的元 {x|x∈A___ 素组成的集 _ x ∈B } 合
或 属于A____ 或 属于B的元 {x|x∈A___ 素组成的集 _ x ∈B } 合

A∩B ______

并集

A∪B ______

补集

全集U中 不 ____ 属于A 的元素组成 的集合

{ x | x ∈U , x____ ? A}

U ______

? A

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

4、集合问题中的几个基本结论
A?A . (1)集合 A 本身是本身的子集,即________ (2)子集关系的传递性,即 A?B,B?C?________ . A?C A ,A∪?=______ (3)A∪A=A∩A=______ A , U . A∩?=______ ,?U?=______ ? ? ,?UU=______

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 链接教材 ——

1.[教材改编] 设全集 U={小于 9 的正整数},A={1, 2,3},B={3,4,5,6},则?U(A∪B)=________.
[答案] {7,8}

[解析] A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, 所以?U(A∪B) ={7,8}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2. [教材改编] 已知集合 A={x|x2=1}, B={x|ax=1}. 若 B?A,则实数 a 的取值集合是________.
[答案] {-1,0,1}

[解析] A={-1,1}.当 a=0 时,B=?, ?1? 此时 B?A;当 a≠0 时,B=?a?,此时若 B?A, ? ? 则 a=± 1.所以 a 的取值集合是{-1,0,1}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.[教材改编] 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8, 9} , ?U(A∪B) = {1 , 3} , A∩(?UB) = {2 , 4} ,则集合 B = ________.
[答案] {5,6,7,8,9}

[解析] 由?U(A∪B)={1,3}得 1,3?B,又 由 A∩(?UB)={2, 4}得 2, 4?B, 所以 B={5, 6, 7,8,9}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.集合问题中的易错易混点 已知集合 A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y =x2},则 A=B=C.( )
[答案]×

[解析] 集合 A 是函数 y=x2 的定义域,即 A=(-∞, +∞); 集合 B 是函数 y=x2 的值域, 即 B=[0,+∞);集合 C 是满足方程 y=x2 的 实数 x,y 的集合,也可以看作是函数 y=x2 图 像上的点组成的集合.因此这三个集合互不相 等.
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

2.集合问题中的两个难点 (1)[2013· 山东卷改编] 已知集合 A={0,1,2},则 集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 9.( ) (2)含有 n 个元素的集合的子集的个数是 2n,真子集 的个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2.( )
[答案] (1)× (2)√

[解析] (1)逐个列举可得.当 x=0,y=0,1,2 时,x -y=0,-1,-2;当 x=1,y=0,1,2 时,x-y=1, 0,-1;当 x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0.根据 集合元素的互异性可知集合 B 中的元素为-2,-1,0, 1, 2, 共 5 个. (2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 C0 n+ 2 n n n C1 + C +?+ C = 2 ,则真子集个数是 2 -1,非空真子 n n n 集的个数是 2n-2.
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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

3.解决集合问题的方法技巧 (1)[2013· 福建卷改编] 若集合 A={1, 2, 3}, B={1, 3,4},则 A∩B 的子集个数为 3.( ) (2)[2013· 辽宁卷改编] 已知集合 A={x|0<log4x<1}, B={x|x≤2},则 A∩B={x|1<x≤2}.( )

[答案] (1)×

(2)√

[解析] (1)利用列举法:A∩B={1,3},其子集 分别为?,{1},{3},{1,3},共 4 个.(2)集 合 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},可得 A∩B= {x|1<x≤2}.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

4.集合问题中的部分常见结论 (1)A∩B=A?A?B; A∪B=A?B?A; A∩B=A∪B ?A=B.( ) (2)?U(A∪B) = (?UA)∩(?UB) ; ?U(A∩B) = (?UA)∪(?UB).( )

[答案] (1) √

(2)√

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

[解析] (1)根据韦恩图分析可知: 当 A?B 时, 显然 A∩B =A;当 A∩B=A 时,对任意 x∈A,有 x∈A∩B,则 x∈B, 即 x∈A?x∈B, 故 A?B.当 B?A 时, 显然 A∪B=A; 当 A∪B =A 时,对任意 x∈B,有 x∈A∪B,则 x∈A,即 x∈B?x ∈A,即 B?A.(2)设 x∈?U(A∪B),则 x?A∪B,得 x?A 且 x? B,即 x∈?UA 且 x∈?UB,则 x∈(?UA)∩(?UB),即?U(A∪B) ? (?UA)∩(?UB) ;反之,当 x∈(?UA)∩(?UB) 时,得 x∈?UA 且 x∈?UB,则 x?A 且 x?B,得 x?A∪B,得 x∈?U(A∪B),即 ?U(A∪B) ? (?UA)∩(?UB) .根据集合相等的定义得 ? U(A∪B) =(?UA)∩(?UB).第二个结论的证明与第一个类似.(对学生 只要结合韦恩图直观理解即可,不要求进行证明)

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第1讲

集合及其运算

?

探究点一

集合的基本概念的理解

点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2013· 全国卷] 设集合 A={1,2,3},B ={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素 的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1+a (2) 已知集合 M 满足条件:若 a∈M ,则 ∈ 1-a M(a≠0,a≠±1).已知 3∈M,则集合 M=________.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:求 M 中元素个数只要求出集 合 M.推理:x=a+b,a∈A,b∈B,逐个计算.结论:得 出互异数值的个数. (2)分析:即求 M 中的元素.推理:确定 a 值,根据若 1+a a∈M,则 ∈M,逐步求解.结论:写出集合 M. 1-a
[答案] (1)B (2)
? 1 1? ?3,-2,- , ? 3 2? ?

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)a+b=5,6,6,7,7,8,根据集合中元素 的互异性可得集合 M 中有 4 个元素. 1+a 1+3 (2)设 a=3,因为 3∈M,所以 = =-2∈M, 1-a 1-3 1 1+(-3) 1+(-2) 1 1 所以 =- ∈M ,所以 = ∈M. 又因为 3 1 2 1-(-2) 1- ( - ) 3 1 1+ ? 2 1 1? ?3,-2,- , ?. 3 2? 1=3∈M,重复上述过程,所以 M=? 1- 2

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结 ](1)注意集合元素互异性的应用,在 解题中注意验证在所求的集合中是否出现重复元素. (2) 判断一个元素是否属于一个集合, 只要判断其是否满足集 合的代表元素的特征即可.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 成都一诊] 已知集合 P={1,2},Q ={z|z=x+y,x,y∈P},则集合 Q=( ) A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{2,4,5} D.{2,3} (2)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}.若 1∈A,则 实数 a 构成的集合 B 的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

[答案]

(1)B

(2)B

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)1+1=2,2+1=1+2=3,2+2=4,故集 合 Q={2,3,4}.(2)若 a+2=1,则 a=-1,代入集合 A, 得 A={1,0,1},与集合元素的互异性矛盾,舍去;若(a +1)2=1,得 a=0 或-2,代入集合 A,得 A={2,1,3}, 或者 A={0,1,1},后者与集合的互异性矛盾,故 a=0 符合要求,a=-2 不符合要求,舍去;若 a2+3a+3=1, 则 a=-1,-2,代入集合 A,得 A={1,0,1}或 A={0, 1,1},都与集合的互异性矛盾,故都舍去. 综上可知,只有 a=0 符合要求,故集合 B 中只有一 个元素.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点二

对集合基本关系的理解与应用

点 面 讲 考 向

例 2 (1)已知集合 M={x|x=1+a2,a∈N*},P= {x|x=a2-4a+5,a∈N*},则( ) A.M?P B.M P C.P?M D.P M (2) 已 知 集 合 P = {x|x2 - 3x - 4>0} , Q = {x|a + 1≤x≤2a - 1} . 若 Q P , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _________________________.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 判断两个集合间的关系. 推理: a2-4a+5=(a-2)2+1, 据 a∈N*判断其取值与 1+a2 的取 值的关系.结论:根据真子集的概念作出结论. (2)分析:需得出实数 a 满足的不等式.推理:求出 P, 根据 Q?P,得出关于实数 a 的不等式.结论:解不等式 即得.
[答案] (1)B (2) (-∞,2)∪(3,+∞)

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)一方面,对于任意 x∈M,有 x=1+a2=(a+ 2)2-4(a+2)+5.因为 a∈N*,所以 a+2∈N*,所以 x∈P,由子 集定义知 M?P. 另一方面, 因为 1∈P, 此时 a2-4a+5=1, 所以 a=2∈N*. 又 1+a2=1 在 a∈N*时无解.所以知 M P.

(2)集合 P={x|x<-1 或 x>4}. 当 Q=?时, 显然有 Q P, ? ?a+1≤2a-1, 此时有 a+1>2a-1,解得 a<2;若 Q≠?,则? 或 ? ?2a-1<-1 ? ?a+1≤2a-1, ? 解得 a>3. ? a + 1>4 , ? 综上可知,若 Q P,则 a 的取值范围是 a<2 或 a>3.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 空集是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集, 在关于集合之间关系的问题中不要忘记 了空集.集合 A 是本身的子集,在求集合的子集时也不 要忘记了它本身.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知 M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}, 若 M∩N=N,则实数 a 的值为( ) A. 1 B.-1 C. 1 或-1 D.0 或 1 或-1 (2)设集合 A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若 A =B,则实数对(x,y)构成的集合是________.

[答案] (1)D

(2){(1,-1),(-1,1)}

[解析] (1)M∩N=N?N?M.当 a=0 时,N=?,符合

1 要求,当 a≠0 时,只要 a= ,即 a=±1 即可. a

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

(2)由 A=B, 且 0∈B, 知集合 B 中的元素 x2≠0, xy≠0, 故 x≠0,y≠0,那么只能是集合 A 中的 x+y=0,此时就 是已知 x+y=0,{x,y}={x2,xy}, ?x+y=0, ?x+y=0, ? ? 2 ? 2 ?x=1, 那 么 ?x =x, 或 ?x =y, 解 得 ? 或 ? ?y=-1 ?xy=y ?xy=x, ? ?
? ?x=-1, ? ? ?y=1.

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第1讲

集合及其运算

?

探究点三

集合的交、并、补运算的求解

点 面 讲 考 向

例3 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M={x|(x -1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N= ( ) A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} (2)[2013· 湖北卷] 已知全集为R,集合A= B={x|x2-6x+8≤0},则A∩?RB=( A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0<x≤2或x≥4} )

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第1讲

集合及其运算

[思考流程] (1)分析:欲求 M∩N,需求出集合 M.推 理:解不等式(x-1)2<4 得集合 M.结论:根据交集运算法 则得之.
点 面 讲 考 向

(2)分析:欲求 A∩ 等式得集合 A,B 并求出 之.

,需求出 A,B.推理:解不 .结论:根据交集运算法则得

[答案] (1)A

(2)C

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)不等式(x-1)2<4,即-2<x-1<2,解得- 1<x<3,故集合M={x|-1<x<3},所以M∩N={0,1, 2}.(2)由题意得A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以?RB ={x|x<2或x>4},所以A∩(?RB)={x|0≤x<2或x>4}.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)求一个集合在指定集合中的补集, 一般方法是把这个集合求出来,再根据补集的定义求解; 另一种方法是直接根据补集思想对已给的集合进行转化, 但要注意转化时的等价性.(2)集合的运算中要根据集合的 定义把参与运算的各个集合求出,再根据交、并、补的定 义进行运算.

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题(1)[2013· 上海卷] 设常数 a∈R,集合 A={x|(x-1)(x -a)≥0},B={x|x≥a-1}.若 A∪B=R,则 a 的取值范围为 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) (2)[2013· 保定模拟] 已知集合 A={x|x>2 或 x<-1},B= b {x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则a=( ) A.-4 B.-3 C.4 D.3
[答案] (1)B (2)A

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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)若 a>1,则 A=(-∞,1]∪[a,+∞),B =[a-1,+∞).若 A∪B=R,只需 a-1≤1,解得 a≤2, 此时 1<a≤2. 若 a=1,则 A=R,显然符合要求; 若 a<1,则 A=(-∞,a]∪[1,+∞),B=[a-1,+ ∞).若 A∪B=R,只需 a-1≤a,显然成立,此时 a<1. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,2]. b (2)根据已知可得 a=-1,b=4,所以a=-4.

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第1讲

集合及其运算

思想方法1

利用小题大作的方法解决集合中的创新问题

多 元 提 能 力

例 母题 [2013· 广东卷] 设整数 n≥4, 集合 X={1, 2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z, y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中, 则下列选项正确的是( ) A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 子题 (1)列出(x,y,z)∈S,(z,w,x)∈S 时,x,y,z,w 所满足的不等式; (2)根据(1)中的不等式,确定 x,y,z,w 的不等式有哪些是 成立的,并把能够成立的不等式写出; (3)根据(2)得出的不等式和新定义,确定三元数对是否属于 集合 S.
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第1讲

集合及其运算

多 元 提 能 力

解:(1)根据定义,x<y<z①,y<z<x②,z<x<y③,三个 式子中恰有一个成立; z<w<x④,w<x<z⑤,x<z<w⑥,三个式子中恰有一个 成立. (2)(1)中的不等式共有九种不同组合,但①④、②⑤、 ②⑥、③⑤、③⑥不可能同时成立,故只能是①⑤、①⑥、 ②④、③④同时成立,此时可得 x,y,z,w 满足的不等 式分别为:w<x<y<z,x<y<z<w,y<z<w<x,z<w<x<y. (3)若 w<x<y<z, 则在 y, z, w 的三个不等关系 y<z<w, z<w<y,w<y<z 中,只有 w<y<z 成立,故(y,z,w)∈S; 在 x,y,w 的三个不等关系 x<y<w,y<w<x,w<x<y 中, 只有 w<x<y 成立,故(x,y,w)∈S. 同理可得其余三种情况下, ( y, z, w)∈S, ( x, y, w)∈S.
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第1讲

集合及其运算

点 面 讲 考 向

[ 规律解读 ] 把一个较为困难的问题化为若干个较为 简单的问题进行解决,是化归与转化思想的体现.在本题 中把原题化为三个主要的子题(1)(2)(3)就理清了解决问题 的思路, 找到了解决问题的方法.实际上只要三个数 x, y, z 互不相等,在 x,y,z 组成的六种大小顺序关系中,就恰 好只有一个成立.本题给出的新定义只是给出了 x,y,z 之间的三个“轮换大小顺序关系”,这也足够说明 x,y, z 三者之间互不相等.因此只要能够确定 x,y,z,w 四个 元素的大小关系, 其中不能出现矛盾的结果和相等的元素, 即可得出其中任意三个元素组成的三元数对均属于集合 S(从本题子题(3)的解析过程可以看出), 这是本题的实质所 在.
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第1讲

集合及其运算

[备选理由] 集合的核心内容是集合的含义、关系与运算, 下面两个例题中,例 1 从平面区域的观点说明元素与集合 的关系,例 2 为集合运算与三角函数值域、复数模、不等 式的解集的综合,可与相应例题一起使用.

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

例 1 【配例 1 使用】 已知集合 A={(x,y)|x2+y2 ≤1},B={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则集合 N={(x, y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}表示的 区域的面积是________. [答案] 12+π
2 2 [解析] x1=x-x2,y1=y-y2,代入x 2 1 +y 1 ≤1,得(x-x2) +(y-y2)2≤1,其中圆心在区域{(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1} 内变动,变动过程中形成如图所示的平面区域,这个区域含 有原有的正方形区域,以及四个四分之一圆形区域和四个边 长为2,1的矩形区域,故其面积是4+4×2×1+π =12+π .

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

[ 配例 3 使用 ] 设集合 M = {y|y = |cos2x - ?? 1? 2 sin x|,x∈R},N=x??x- i ?< 2,i 为虚数单位,x∈R, ? ?? 则 M∩N 为( ) A.(0,1) B.(0,1] ) ? ? C.[0,1) D.??0,1?? 例 2

教 师 备 用 题
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第1讲

集合及其运算

函数 y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|,其值域是 ? 1? [0, 1], 故集合 M=[0, 1]. 不等式?x- i ?< 2, 即|x+i|< 2, ? ? 即 x2+12<2, 解得-1<x<1, 故集合 N=(-1, 1), 所以 M∩N =[0,1). [解析] C

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第2讲 命题及其关系、充分 条件与必要条件

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考试大纲

1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题 使用语言、 符号或者式子表达的, 真假 的陈述句 可以判断________ 特点 (1)能判断真假;(2)陈述句 假 命题 分类 ______ 真 命题、______ 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 概念
若 q,则 p

若綈p,则綈q

若綈q,则綈p
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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

(2)四种命题的等价关系:原命题与__________ 逆否命题 同真同假, 否命题与________ 逆命题 同真同假.在四种形式的命题中,真命题的 0或2或4 . 个数只能是_____________

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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
双 向 固 基 础

充分

必要
充分不必要

真子集 真子集
A=B
包含

必要不充分

充要
既不充分 也不必要

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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 链接教材 ——

1.[教材改编] 命题“若整数 a 不能被 2 整除,则 a 是 奇数”的逆否命题是__________________________________________ ____________________.
[答案] “若整数 a 不是奇数,则 a 能被 2 整除”

[解析] 否定的结论作条件、否定的条件作 结论得出逆否命题.

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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.[教材改编] 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 过坐标原点的 充要条件是________.
[答案] a2+b2=r2

[解析] 若圆(x-a)2+(y-b)2=r2 过坐标原点,则点 (0, 0)满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2, 即 a2+b2=r2; 反之, 若 a2+b2=r2,则点(0,0)在圆上.

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双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

3.[教材改编] 已知 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q}.若 A?B,则 p 是 q 的________条件;若 B?A,则 p 是 q 的________条件;若 A=B,则 p 是 q 的 ________条件.
[答案] 充分 必要 充要

[解析] 根据充分条件、必要条件、充要条件的概念 和集合之间的关系可得.

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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

—— 疑 难 辨 析 ——
1.判断命题四种形式的易错易混点 (1)四种形式的命题中,真命题的个数为 0,2 或 4.( ) (2)命题“四边形的内角和是 360°”的否命题是“四边 形的内角和不是 360°” .( ) (3)命题“若 x,y 是偶数,则 x+y 是偶数”的逆命题是 “若 x+y 是偶数,则 x,y 不一定是偶数”.( ) (4)命题“若 x>3,则 x>2”的逆否命题是“若 x<2,则 x<3”.( ) (5)若命题“矩形的对角线相等”的逆命题是 q,则 q 的 否命题是“对角线不相等的四边形不是矩形”.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] (1)由于四种命题中有两组等价命题,因此在四种 形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.(2)一个命题的否 命题既否定条件又否定结论,而该命题的否定只否定命题的 结论. (3)“若 x, y 是偶数, 则 x+y 是偶数”的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x,y 是偶数”.(4)“若 x>3,则 x>2”的逆 否命题是“若 x≤2, 则 x≤3”. (5)由题意可知, 命题 q 为“对 角线相等的四边形是矩形”,所以 q 的否命题是“对角线不 相等的四边形不是矩形”.

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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

2.充分必要条件的判断方法 (1)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不 充分条件.( )

(2)若綈p是綈q的必要不充分条件,则q是p的必要不 充分条件.( ) (3)[2013· 湖南卷改编] “1<x<2”是“x<2”成立的必要不 充分条件.( ) (4)若α∈(0,2π ),则sin α =-1的充要条件是α 3π [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ = 2 .( )
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第2讲
双 向 固 基 础

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析]

(1)若p?q,根据命题的等价关系,则綈q?

綈p,但綈p ?綈q,故綈p是綈q的必要不充分条件.(2) 若綈q?綈p,根据命题的等价关系,则p?q,但q ?

p,故q是p的必要不充分条件.(3)若1<x<2,则有x<2, 反之不成立,故应为充分不必要条件.(4)根据充要条件 的概念和正弦函数的定义即可判断.

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命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点一

四种命题及其关系的分析

点 面 讲 考 向

例 1 (1)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函 数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 (2)[2013· 蚌埠一检 ] 对于原命题“单调函数不是周 期函数”,下列结论正确的是( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题“单调函数是周期函数” C.逆否命题“周期函数是单调函数” D.以上三个结论都不正确
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需要明确否定、否命题的构成 规律.推理:“是”的否定为“不是”,否命题是以否 定的条件为条件,否定的结论为结论的命题.结论:结 合选项得答案. (2)分析:根据原命题得出其逆命题、否命题、逆否 命题.推理:“不是周期函数”的否定为“是周期函 数”.结论:结合选项作出判断.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)B
点 面 讲 考 向

(2)D

[解析] (1)条件的否定是“f(x)不是奇函数”, 结论的否 定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若 f(x) 不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”.(2)原命题的逆命题 为“不是周期函数的函数是单调函数”,选项 A 不正确; 原命题的否命题是“不是单调函数的函数是周期函数”, 选项 B 不正确;原命题的逆否命题是“周期函数不是单调 函数”,选项 C 不正确.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[归纳总结 ] 在根据原命题构造其否命题和逆否命 题时,首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键 词搞清楚.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

变式题 已知:命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞) 上是增函数,则 m≤1”,则下列结论中正确的是( ) A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减 函数,则 m>1”,为真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则 f(x)=ex-mx 在(0,+∞) 上是增函数”,为假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞)上是减函数”,为真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0, +∞)上不是增函数”,为真命题

[答案]

D

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[ 解析 ] f′(x) = ex - m≥0 在 (0 ,+∞) 上恒成立,即 m≤ex 在(0,+∞)上恒成立,则 m≤1,故原命题为真; 反之若 m≤1,则 f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,故逆命 题为真.增函数的否定是“不是增函数”.结合选项知 选项 D 正确.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点二

充分条件与必要条件的判定

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 北京卷] “φ=π ” 是“曲线 y=sin(2x +φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2013· 山西 大 学 附中 月 考 ] 设 甲 : 函数 f(x) = log2(x2+bx+c)的值域为 R,乙:函数 g(x)=|x2+bx+c| 有四个单调区间,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:需从正反两方面互推.推理: 根据已知曲线过坐标原点得出所有的 φ 值,根据充要条 件概念进行判断.结论:结合选项得到答案. (2)分析:需要得出甲、乙满足的条件.推理:根据 对数函数、二次函数的性质得出甲、乙满足的条件.结 论:根据充分条件、必要条件的概念作出判断.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A

(2)B

[解析] (1)由 sin φ =0 可得 φ=kπ (k∈Z),此为“曲 线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充要条件,故“φ=π ” 是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分不必要条件. (2)“函数 f(x)=log2(x2+bx+c)的值域为 R”的充要条 件是“b2-4c≥0” , “函数 g(x)=|x2+bx+c|有四个单调区 间”的充要条件是“b2-4c>0”,所以甲是乙的必要不充 分条件.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 判断充要条件的三种方法: (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断. (2)集合方法:根据使 p,q 成立的集合之间的包含 关系进行判断. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价 性,转化为判断其逆否命题.这个方法特别适合以否定 形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何 种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy=1” 的何种条件.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 广东江门一模] 若 x>0,y>0,则 x +y>1 是 x2+y2>1 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案]
点 面 讲 考 向

B

3 [解析] 取 x=y=5,则 x+y>1,但 x2+y2<1,条件不 是充分的;反之,若 x2+y2>1?x2+2xy+y2>1+2xy>1,即 (x+y)2>1,即 x+y>1,则可得必要性.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

?

探究点三

充分条件和必要条件的应用

点 面 讲 考 向

例 3 (1)若 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分不 必要条件, 则实数 m 的取值范围是__________________. (2)若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充 分条件,则实数 m 的取值范围是________. [思考流程] (1)分析:需要确定两个不等式的解集之 间的包含关系.推理:等价于集合(m-1,m+1)是不等 式 x2-2x-3>0 的解集的真子集.结论:根据集合之间 的关系得出关于 m 的不等式解之即得. (2)分析: 需要确定两个集合之间的包含关系. 推理: 等价于不等式 x2-2x-3>0 的解集是{x|x<m-1 或 x>m+ 1}的真子集.结论:根据集合之间的关系得出关于 m 的 不等式解之即得.
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案]

(1)(-∞,-2]∪[4,+∞)

(2)[0,2]

点 面 讲 考 向

[解析] 由不等式 x2-2x-3>0,得 x>3 或 x<-1. (1)欲使 m-1<x<m+1 是 x2-2x-3>0 的充分不必要条 件,则满足{x|m-1<x<m+1} {x|x>3 或 x<-1},只要满 足 m+1≤-1 或 m-1≥3 即可,解得 m≤-2 或 m≥4, 故存在 m≤-2 或 m≥4,使|x-m|<1 是 x2-2x-3>0 的充 分不必要条件. (2)欲使 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充 分条件,则满足{x|x>3 或 x<-1} {x|x<m-1 或 x>m+1}, ? ?m-1≥-1, 只要满足? 两个等号不能同时成立,解得 ? ?m+1≤3, 0≤m≤2,故存在实数 0≤m≤2 时,使|x-m|>1 是 x2-2x -3>0 的必要不充分条件.
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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[ 归纳总结 ] 根据充分条件、必要条件求参数范围 时,把其转化为集合之间的包含关系,通过集合之间的 包含关系确定参数范围,但要注意转化的准确性.

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第 2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

变式题

设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a<0),

q:实数x满足x2-x-6<0或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的 必要不充分条件,则a的取值范围是________.

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

点 面 讲 考 向

[答案]

? 2 ? (-∞,-4]∪?-3,0? ? ?

[解析] ∵x2-4ax+3a2<0(a<0),∴3a<x<a,∴p: {x|3a<x<a}.∵x2-x-6<0,∴-2<x<3.∵x2+2x- 8>0,∴x<-4或x>2,∴q:{x|x<-4,或x>-2}.∵綈 p是綈q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条 2 件.∴a≤-4或3a≥-2,解得a≤-4或a≥- ,∴a的 3 ? 2 ? 取值范围是(-∞,-4]∪?-3,0?. ? ?
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

易错究源

1.如何避免充要条件判断中的失误

例 (1)“a>3”是“函数 f(x)=ax+3 在[-1, 2]上存在零点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2013· 广东潮州一检] 不等式 x-1>0 成立的充分不必要 条件是( ) 多 A.-1<x<0 或 x>1 B.0<x<1 元 C.x>1 D.x>2 提
能 力

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

多 元 提 能 力

错解 (1)函数 f(x)=ax+3 在开区间(-1,2)上存在零点的充 3 要条件是 f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,即 a>3 或者 a<-2.① 根据集合判断充要条件的方法可知, “a>3”是“函数 f(x)=ax +3 在[-1,2]上存在零点”的必要不充分条件.② (2)不等式 x-1>0 的解是 x>1, 当 x>1 成立时, 一定有-1<x<0 或 x>1 成立.③ [错因] ①处对函数在闭区间上存在零点和开区间上存在零 点的差异认识不清,导致漏解.函数的零点定理是在开区间上存 在零点的一个充分条件,但如果在闭区间上讨论函数的零点,一 定要注意区间端点的情况. ②处颠倒了充分条件和必要条件的概念.在判断充分条件、 必要条件时一定要理清概念,利用集合之间的包含关系辅助判 断. ③弄混了条件与结论,选项中的是条件,x-1>0 是结论.
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[答案] (1)A (2)D
[正解] (1)函数 f(x)=ax+3 在开区间(-1, 2)上存在零点的充 3 要条件是 f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0, 即 a>3 或 a<-2.在区间 3 端点处,若 f(-1)=0,则 a=3;若 f(2)=0,则 a=-2.因此函数 f(x)=ax+3 在闭区间[-1, 2]存在零点的充要条件是 a≥3 或 a≤ 3 -2.根据集合判断充要条件的方法可知,“a>3”是“函数 f(x)= ax+3 在[-1,2]上存在零点”的充分不必要条件. (2)不等式 x-1>0 的解为 x>1,充分不必要条件是含在 x>1 内的 x 值,故选项 D 中的结论正确.

多 元 提 能 力

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[ 备选理由 ] 本节的重点是命题及其关系、充要条件的判 断,下面的备用例题可以与相应例题一起使用.

教 师 备 用 题
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

教 师 备 用 题

例 1 【配例 1 使用】 命题 p: 若函数 f(x)=logax(a>0, a≠1) 在其定义域内是减函数,则 loga2<0 的逆否命题是 ( ) A.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 B.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内不是减函数 C.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数
[答案] A

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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] 小于 0 的否定是不小于 0,即大于或者等于 0,故 原命题结论的否定是 loga2≥0,这是逆否命题的条件.减函数 的否定为不是减函数,即函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内不是减函数,这是逆否命题的结论.

教 师 备 用 题
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

例2

【配例2使用】

[2013· 山东卷]

给定两个命题 )

p,q,若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A

教 师 备 用 题
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

[解析] ∵綈p是q的必要不充分条件,∴q是綈p的充分而 不必要条件.又“若p,则綈q”与“若q,则綈p”互为逆否 命题,∴p是綈q的充分而不必要条件.
教 师 备 用 题
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

例 3 【配例 2 使用】 [2013· 安徽卷] “a≤0”是“函 数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[答案] C

教 师 备 用 题
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第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

教 师 备 用 题

[解析] f(x)=|(ax-1)x|=|ax2-x|.若 a=0,则 f(x)=|x|,此 时函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;若 a<0,则二次函数 y 1 2 =ax -x 图像的对称轴 x= <0,且 x=0 时 y=0,此时 y=ax2 2a -x 在区间(0,+∞)上单调递减且 y<0 恒成立,故 f(x)=|ax2- x|在区间(0,+∞)上单调递增.故 a≤0 时,f(x)在区间(0,+ ∞)上单调递增,条件是充分的.反之若 a>0,则二次函数 y= 1 1 2 ax -x 图像的对称轴 x=2a>0,且在区间(0,2a)上 y<0,此时 1 1 1 f(x)=|ax2-x|在区间(0, )上单调递增,在区间[ ,a]上单 2a 2a 调递减,故函数 f(x)不可能在区间(0,+∞)上单调递增,条件 是必要的.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第3讲 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词

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考试大纲
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词和存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假关系

p 真 真 假 假

q p∧q p∨q 真 假 真 假 真 假 ____ 假 ____ 假

綈p

真 ____ 真 真 ____ 假 ____

假 ____ 假 ____ 真 真 ____

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2.量词与含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词和存在量词 量词名 常见量词 称 所有、一切、任 全称量 意、全部、每一 词 个、任给等 存在一个、至少 存在量 一个、有些、某 词 些等

表示符号

? ______
?

______

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(2)全称命题和特称命题 命题名称 全称命题

特称命题

命题结构 命题简记 对 M 中任意一 ?x∈M,p(x) ________ 个 x,有 p(x)成 立 存在 M 中的一 0∈M,p(x0) ________ 个 x0,使 p(x0) ?x 成立 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ____________ ? x∈M,綈p(x)
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(3)全称命题和特称命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0)

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

—— 链接教材 ——

1. [教材改编] 函数 y=sin x 是奇函数且是周期函数的否 定是____________________________________.

[答案] 函数 y=sin x 不是奇函数或者不是周期函数

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第3讲
双 向 固 基 础

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2.[教材改编] 末位是 0 的整数,可以被 5 整除的否定 是____________________________________.

[答案] 存在一个末位是 0 的整数,不能被 5 整除

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

3 . [ 教材改编 ] 有些三角形不是等腰三角形的否定是 ____________________________________.

[答案] 所有的三角形都是等腰三角形

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.含逻辑联结词的命题中的规律 (1)命题p∧q为假命题?命题p,q至少有一个是假命 题.( ) (2)命题p∨q为假命题?命题p,q至少有一个是假命 题.( ) (3)命题p,綈p至少有一个是真命题. ( )

(4)命题p∧q的否定是綈p∨綈q,命题p∨q的否定是 綈p∧綈q.( )

[答案] (1)√

(2)×

(3)×

(4)√

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

[解析] (1)命题 p∧q,只有当 p,q 同时为真时才 是真命题,故命题 p∧q 为假命题的充要条件是命题 p,q 至少有一个假命题.(2)命题 p∨q,只有当 p,q 同时为假命题时才是假命题.(3)一个命题与其否定 中一个为真命题、一个为假命题.(4)根据且命题、 或命题、命题的否定的含义易得.

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

2.含有量词的命题的易错点 (1)如果一个全称命题是真命题, 则这个命题就是一个一 般性结论.( ) (2)命题“?x0∈R,x3 0-2x0+1=0”的否定是“不存在 x∈R, x3-2x+1≠0”.( ) (3)全称命题与其否定一定是一真一假, 特称命题与其否 定一定是一真一假.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
双 向 固 基 础

[解析] (1)由于全称命题是对任意对象都成立的 一个命题,当全称命题为真时就是一个一般性结论. (2)“?x0∈R,x3 0- 2x0+ 1 = 0”的否定是“ ? x ∈R,x3-2x+1≠0”. (3)由于一个命题与其否定一真一假,故全称命 题与其否定一定是一真一假, 特称命题与其否定一定 是一真一假.

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

?

探究点一
例1

含有逻辑联结词的命题真假的判断

点 面 讲 考 向

(1)[2013· 淄博一模] 设命题p:函数y=sin 2x的最 π π 小正周期为 ,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x= 2 2 对称,则下列判断中正确的是( ) A.p为真 B.綈q为假 C.p∧q为假 D.p∨q为真

(2)命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)上单调递 减,命题q:函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为π ,则下列命 题中为真命题的是( ) A.p∧q B.綈p∨q C.p∧(p∨q) D.綈p∧(p∨q)

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[思考流程] (1)分析: 需判断命题 p, q 的真假. 推理: 根据含有 逻辑联结 词的命题 真假的判 断方法逐 项 判 断.结论:对照选项得出答案. (2)分析:需要判断命题 p,q 的真假.推理:首先 判断命题 p,q 的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真 假的判断方法逐项进行判断.结论:根据判断结果得出 答案.

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案]

(1)C

(2)C

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[解析] (1)命题p和命题q均为假命题,故p∧q为假.(2) 由f′(x)=3x2-3<0,得-1<x<1,故函数f(x)=x3-3x在区 间(-1,1)上单调递减,即命题p为真命题.函数y=sin 2 x的最小正周期为π ,则函数f(x)=|sin 2x|的最小正周期为 π ,即命题q为假命题.由于p真、q假,故p∧q为假命 2 题;由于綈p假、q假,故綈p∨q为假命题;由于p真、 p∨q真,故p∧(p∨q)为真命题;由于綈p假,故綈 p∧(p∨q)为假命题.
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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[归纳总结] 注意下列等价关系的应用:
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(1)p∨q真?p,q至少一个真?綈p∧綈q假; (2)p∨q假?p,q均假?綈p∧綈q真; (3)p∧q真?p,q均真?綈p∨綈q假; (4)p∧q假?p,q至少一个假?綈p∨綈q真; (5) 綈p真?p假;綈p假?p真.
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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

变式题 (1)若命题p∧q为假,且綈p为假,则( A.p∨q为假
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)

B.q假

C.q真

D.p假

(2)如果命题綈p∨綈q是假命题,给出下列四个结 论: ①命题p∧q是真命题;②命题p∧q是假命题;③命 题p∨q是真命题;④命题p∨q是假命题. 其中正确的结论是( ) A.①③ B.②④ C.②③ D.①④

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)B
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(2)A
为假,则 p 为真.又 p∧q 为假,得 q 均为假

[解析] (1)

为假.(2) ∨ 是假命题,可得 与 命题,即 p,q 均为真命题,故结论①③正确.

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

?

探究点二

全(特)称命题的否定及真假判断

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例2 (1)[2013· 安徽安庆三模] 下列命题中,为真命题 的是( ) ?π ? ? A.?x0∈? ,π ? ?,sin x0-cos x0≥2 2 ? ? B.?x∈R,x2<x3 ? π? ? C.?x∈?0, ? ,tan x>sin x ? 2? ? D. ?x0∈R,x2 0+x0=-1 (2)[2013· 四川卷] 设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶 数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( ) A.綈p:?x∈A,2x?B C.綈p:?x0?A,2x0∈B B.綈p:?x?A,2x?B D.綈p:?x0∈A,2x0?B
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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[思考流程] (1)分析:根据三角函数、不等式、方程 知识分析命题.推理:根据特称命题、全称命题的含义 对命题真假作出判断.结论:根据推理得出答案. (2) 分析:需分析已知命题是特称命题还是全称命 题.推理:全称命题的否定是特称命题.结论:对照选 项作出答案.

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)C
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(2)D

[解析] (1)因为 sin x-cos x≤ 2, 所以 sin x-cos x≥2 不可能成立.x2<x3 的解为 x>1,不可能对任意 x 恒成立方 ? π? ? 2 程 x +x=-1 无实数解.因为?x∈?0, ? ,0<cos x<1, 2? ? ? sin x 所以 tan x=cos x>sin x 成立.(2)注意到全称命题的否定为 特称命题,对照选项得出答案即可

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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[归纳总结] (1)全称命题与特称命题真假的判断方法
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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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变式题 [2013·珠海二模] 已知命题p:?x0∈R,x2 0
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+x0-1<0,则命题綈p:____________________.

[答案] ?x∈R,x2+x-1≥0

[解析] 特称命题的否定是全称命题.

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?

探究点三

逻辑联结词与命题真假的应用

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例3 (1)[2013· 湖北卷] 在一次跳伞中,甲、乙两位学 员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙 降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在 指定范围”可表示为( ) A.綈p∨綈q C.綈p∧綈q B.p∨綈q D.p∨q

(2)已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2 -2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真,綈p也为 真,则实数m的取值范围是__________.
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[思考流程] (1)分析:需要使用p,q之间的逻辑联结词进 行表达.推理:根据已知“没有落在指定范围”即为p,q的 否定.结论:使用逻辑联结词“或”进行表达. (2)分析:需要判断命题p,q的真假.推理:根据命题 q∨(p∧q)为真、綈q 为真可得命题p,q的真假.结论:根据

方程和不等式的知识得出m的取值范围.

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第 3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)A

(2)(1,2)

[解析] (1)甲没有落在指定范围是命题p的否定,即綈
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p,乙没有落在指定范围是命题q的否定,即綈q.至少有一 位学员没有落在指定范围是命题綈p,綈q至少有一个为 真,故为綈p∨綈q;(2)由于綈p真,所以p假,则p∧q 假.又由q∨(p∧q)真,故q真,即命题p假、q真.当命题 p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0, 解得-2<m<2;当命题q真时,4-4m<0,解得m>1.所以 所求的m的取值范围是1<m<2.
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[归纳总结] 根据含有逻辑联结词的命题真假求参数范围的 关键是判断其中单个命题的真假.逆用含有逻辑联结词命题真 假判断方法去判断其中单个命题的真假,体现了逆向思维方法 的应用.

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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变式题已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实 根, 命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上 是增函数.若p∨q是真命题, p∧q是假命题,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞)

[答案] C

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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[解析] 问题等价于命题 p 和命题 q 一真一假,分类 求解 a 的取值范围后求其并集即可.命题 p 真等价于 Δ =a2-16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4;命题 q 真等价于- a 4≤3,解得 a≥-12. p∨q 是真命题, p∧q 是假命题, 则命题 p 和 q 一真 一假. 当 p 真 q 假时, a<-12; 当 q 真 p 假时, -4<a<4. 故实数 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).

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思想方法

2.正难则反解题方法的应用

多 元 提 能 力

例 (1)已知“命题 p: ?x0∈R, ax2 0+2x0+1<0 成立”为真命 题,则实数 a 的取值范围是( ) A.[0,1) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 1 (2)不等式 <1 的解集记为 p, 关于 x 的不等式 x2+(a-1)x x-1 -a>0 的解集记为 q.若綈 q 是綈 p 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.? D.[-2,+∞)

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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] (1)B

(2)A

多 元 提 能 力

1 [解析] (1)方法一:当a=0时,2x+1<0,可得x<- ,此 2 时存在一个x,使ax2+2x+1<0成立;当a>0时,要存在x使 ax2+2x+1<0成立,只要4-4a>0,即0<a<1;当a<0时,恒 成立.综上知,a<1. 方法二:命题p的否定是“?x,ax2+2x+1≥0”.当a =0时,显然命题不真;当a≠0时,命题綈p为真的充要条件 是a>0且Δ=4-4a≤0,即a≥1.故綈p为真时a的取值范围为A =[1,+∞),故p为真时a的取值范围为?RA=(-∞,1).
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(2)问题等价于p是q的充分不必要条件,等价于不等式 1 x-1 <1的解集是不等式x2+(a-1)x-a>0的解集的真子

多 元 提 能 力

x -2 1 1 集.不等式 <1等价于 -1<0,即 >0,解得x>2或 x-1 x-1 x -1 x<1.不等式x2+(a-1)x-a>0可以化为(x-1)(x+a)>0.当- a≤1时,不等式的解集是x>1或者x<-a,此时只能是a=- 1;当-a>1时,不等式(x-1)(x+a)>0的解集是x<1或x>-a, 此时只能是-a<2,即-2<a<-1.综上可知-2<a≤-1.

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[备选理由] 本节的重点是含有逻辑联结词的命题真假 的判断、含有一个量词的命题的否定、特称命题和全称命 题的真假的判断. 下面三个例题就是围绕上述三点选取的, 可在相应探究点中使用.

教 师 备 用 题
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

例1 【配例1或例2使用】 [2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知命题p:?x∈R,2x<3x,命题q:?x∈R,x3=1- x2,则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q C.p∧綈q B.綈p∧q D.綈p∧綈q

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[答案] B

[解析] 命题 p 假、q 真,所以 为真命题.

∧q

教 师 备 用 题
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简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

例2 【配例 2 使用】 [2013· 重庆卷] 命题“对任意 x∈R, 都有 x2≥0”的否定为( ) A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] D

[解析] 根据定义可知命题的否定为“存 在 x0∈R,使得 x2 0<0”.

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第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

下列 4 个命题: ?1?x ?1?x p1:?x0∈(0,+∞),?2? 0<?3? 0;p2:?x0∈(0,1), ? ? ? ? ?1?x ? 1? 1 1 1 ? ? >log x; log x0>log x0; p3 : ?x∈(0, +∞), p4 : ?x∈?0,3?, 2 ? ? ? ? 2 3 2 ?1? ? ?x<log1x.其中为真命题的是( ) ?2? 3 A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
教 师 备 用 题
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例 3 【配例 2 使用】

第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[答案] D

[解析]

?1?x ?1?x 根据幂函数的性质,对?x∈(0,+∞),?2? >?3? , ? ? ? ?
1 1

lg x lg x 故 命 题 p1 是假命题 .由于 log x - log x = - = - lg 2 - lg 3 2 3 lg x(lg 2-lg 3) >0,故对任意?x∈(0,1),log1x>log1x,当然 lg 2lg 3 2 3 ?x0∈(0,1),log1x0>log1x0,故命题 p2 是真命题.
? ?1?x ?1?x 1? 1 当 x∈?0,2?时,?2? <1,log x>1,则?2? >log1x 不成立,故 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ?1?x 1? ?1?x 1 命题 p3 是假命题.?x∈?0,3?,?2? <1,log x>1,故?2? <log1x ? ? ? ? ? ? 3 3
2 3

教 师 备 用 题

恒成立,故命题 p4 是真命题.

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