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湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学上学期第四次月考试题文201902210266_图文


衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题 文科数学
请注意: 时量 120 分钟 满分 150 分 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在题目给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求. 1.已 知 全 集 U = ( A. 4 ) B. 6 C. 7 D. 8 )

{x ?

Z - 2 < x ? 3} , 集 合 A = {- 1,3} , 则 集 合 CU A 的 子 集 个 数 是

2.设 i 为虚数单位,若复数

z 在复平面内对应的点为 (1, - 2) ,则 z = ( 1+ i

A. 3 + i B. 3 - i C. 1 + 3i D. 1- 3i 3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi) ^ (i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=-5x+150,则下列结论正确的是 (  ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 5 C.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 D.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右 4.《九章算术》是我国古代一部数学名著,某数学 爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框 图,其中 MOD (m, n) 表示 m 除以 n 的余数, 例如 MOD (7,3) = 1 .若输入 m 的值为 8 时, 则输出 i 的值为( ) B.若 r 表示 y 与 x 之间的线性相关系数, 则 r=-
开始

n ? 2, i ? 0
输入m

n ? n ?1


i ? i ?1


n ? m?
否 输出i 结束



MOD ? m, n ? ? 0?

A.2 B.3 C.4 D.5 5.《算法统宗》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田” ,把直角梯形的田 称为“邪田” ,称底是“广” ,称高是“正从” ,“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广 分别为十步和二十步,正从为十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田。若在邪田 内随机种植一株茶树,则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( ) A.

2 15

B.

2 5

C.

4 15

D.

1 5

6.以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的中线 AD 为折痕,将 △ABD 与 △ACD 折成互相垂 直的两个平面得到一个三棱锥 A—BCD,则在三棱锥 A—BCD 中,下列结论错误的是( ) A. AB ^ CD B. 平面 ABD ^ 平面 BDC
1

C.

BC 与平面 ADC 所成角为 45°

D. 在平面 ABD 中至少存在一条直线平行 BC

7.在数列 {an } 中, a1 = 1, a2 = 2 且 an+ 2 = an+ 1 - an ( n ? N * ) ,若数列 {an } 的前 n 项和为

S n ,则 S 2019 = (
A. 0

) B. 1 C.4 D.3

??? ? ???? ??? ? ???? 8.在 D ABC 中, AB + AC = AB - AC , AB = 2, AC = 1, E , F 为 BC 的三等分点,
则 AE ? AF = ( A.

??? ? ????
8 9

) B.

25 26 D. 9 9 p p p p 9.将函数 f ( x) = cos( - 2 x) - 2sin( + x) sin( - x) 的图象向左平移 个单位长度, 得 2 4 4 12
C. 到函数 g ( x) 的图象,则下列关于 g ( x) 的结论错误的是( A. g ( x) 的最小正周期为 p C. g ( x) 关于直线 x = 10. D ABC 的 )

10 9

B. g ( x) 的关于点 (

p , 0) 对称 24

5p 对称 12
A, B, C 的


D. g ( x) 在区间上 ê 0, ú单调递增

é pù ê ? 4ú ?













a , b, c ,





b = a(cos C +
A.

3 2 6 ,则角 C = ( sin C ), a = 2, c = 3 3
B.

)

3p 4

p 3

C.

p 6

D.

p 4

x2 y 2 2 2 11.已知双曲线 2 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 的一条渐近线被圆 ( x + 4) + y = 8 所截得的弦 a b
长为 4,则此双曲线的离心率是( A. ) C. 2 D.

2 3 3

B.

3 2 2

3

2 12.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,若 ?x ? ? ?2,1? ,使得 f x ? x ? f ? x ? k ? ? 0 成立,则实数 k

?

?

的取值范围是( A. ? ?1,3?

) B. ? 0,3? C. ? ??,3? D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

2

13.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,若抛物线上一点 P (- 2, a ) 到焦点的距离为 3,

a= 则

.

ì y? 0 ? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a = (2,3), b = ( x, y ) ,且变量 x, y 满足 í y ? x ,则 z = a ?b 的最大 ? ? ? ? ? x+ y- 3? 0
值 . .
2

15.若球 O 是棱长为 3 的正四面体 A ? BCD 的内切球,则球 O 的表面积为

16.已知函数 f ( x) = (1 + 2 x)( x + ax + b)(a, b ? R ) 的图象关于点 (1, 0) 对称, 则 f ( x) 在闭 区间 [- 1,1] 上的最大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列, 且满足 a1 = 3,

b1 = 1, b2 + S 2 = 10, a5 - 2b2 = a3

.

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

ì 2 ? ? , n是奇数 (2)令 cn = ? ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 T2 n . í Sn ? ? ? ? ? bn , n是偶数
18.(本小题 12 分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为 了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量 产品中各抽取 50 件产品作为样本, 测出它们的这一项质量指标值. 若该项质量指标值落在

?195, 210? 内,则为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本的频数分布表,图 1
是乙流水线样本的频率分布直方图. 质量指标值 (190,195] (195,200] (200,205] (205,210] (210,215] 频数 9 10 17 8 6
图 1: 乙流水线样本频率分布直

表 1:甲流水线样本的频数分

布表 方图 (1)根据图 1,估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数 (同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表); (2)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了 5000 件产品,则甲,乙两
3

条流水线分别生产出不合格品约多少件? (3)根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”? 甲生产线 合格品 不合格品 合计 乙生产线 合计

n ? ad ? bc ? 附: K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

19.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD 丄底面 ABCD,AB //CD,AB=2,CD=3, M 为 PC 上一点,且 PM =2MC. (1)求证:BM //平面 PAD; (2)若 PD = 3, ?BAD = 求 AD 的长.

p ,三棱锥 P—ADM 的体积为 3 , 3

x2 y 2 2 20.(本小题 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 过点 (1, 0) 且垂直 a b 2
于 x 轴的直线被 C 所截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左顶点为 A ,右焦点为 F , O 为原点, D, E 在 椭圆 C 上,且 E , O , D 三点共线,直线 AE 和 AD 分别 与 y 轴交于 M , N 两点,求证: MF ? NF . 21.(本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ? a ? 0? . x

(1) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a 的取值范围; (2) 证明: 当 a ?

2 时, f ? x ? ? e ? x . e

22.(本小题 10 分) (不等式选讲) 设函数 f ( x) = | x + 2 | + | x - 2 | ( x ? R ) ,不等式 f ( x) ? 6 的解集为 M. (1)求 M;

4

(2)当 a, b ? M 时,证明: 3 | a + b | ? | ab + 3 | .

衡阳市八中 2019 届高三第四次月考试题 文科数学参考答案 命题人:彭源 审题人:吕建设 请注意: 时量 120 分钟 满分 150 分 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在题目给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求. 1.已 知 全 集 U = ( D ) A. 4

{x ?

Z - 2 < x ? 3} , 集 合 A = {- 1,3} , 则 集 合 CU A 的 子 集 个 数 是
C. 7 D. 8

B. 6

2.设 i 为虚数单位,若复数

z 在复平面内对应的点为 (1, - 2) ,则 z = ( B ) 1+ i

A. 3 + i B. 3 - i C. 1 + 3i D. 1- 3i 3.某商品的销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)存在线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi) ^ (i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=-5x+150,则下列结论正确的是 ( D ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.若 r 表示 y 与 x 之间的线性相关系数, 则 r=-5
开始

C.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件 D.当销售价格为 10 元时,销售量为 100 件左右 4.《九章算术》是我国古代一部数学名著,某数学 爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框 图,其中 MOD (m, n) 表示 m 除以 n 的余数, 例如 MOD (7,3) = 1 .若输入 m 的值为 8 时, 则输出 i 的值为( B )

n ? 2, i ? 0
输入m

n ? n ?1


i ? i ?1


n ? m?
否 输出i 结束



MOD ? m, n ? ? 0?

A.2 B.3 C.4 D.5 5.《算法统宗》是我国古代的数学名著,书中把三角形的田称为“圭田” ,把直角梯形的田 称为“邪田” ,称底是“广” ,称高是“正从” ,“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广 分别为十步和二十步,正从为十步,其内有一块广为八步,正从为五步的圭田。若在邪田 内随机种植一株茶树,则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( A ) A.

2 15

B.

2 5

C.

4 15

D.

1 5

6.以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的中线 AD 为折痕,将 △ABD 与 △ACD 折成互相垂
5

直的两个平面得到一个三棱锥 A—BCD,则在三棱锥 A—BCD 中,下列结论错误的是( D A. AB ^ CD C. BC 与平面 ADC 所成角为 45° B. 平面 ABD ^ 平面 BDC D. 在平面 ABD 中至少存在一条直线平行 BC

)

7.在数列 {an } 中, a1 = 1, a2 = 2 且 an+ 2 = an+ 1 - an ( n ? N * ) ,若数列 {an } 的前 n 项和为

S n ,则 S 2019 = ( C )

??? ? ???? ??? ? ???? 8.在 D ABC 中, AB + AC = AB - AC , AB = 2, AC = 1, E , F 为 BC 的三等分点,
则 AE ? AF = ( B A.

A. 0

B. 1

C.4

D.3

??? ? ????
8 9

) B.

25 26 D. 9 9 p p p p 9.将函数 f ( x) = cos( - 2 x) - 2sin( + x) sin( - x) 的图象向左平移 个单位长度, 得 2 4 4 12
C. 到函数 g ( x) 的图象,则下列关于 g ( x) 的结论错误的是( C A. g ( x) 的最小正周期为 p C. g ( x) 关于直线 x = 10. D ABC 的 )

10 9

B. g ( x) 的关于点 (

p , 0) 对称 24

5p 对称 12
A, B, C 的


D. g ( x) 在区间上 ê 0, ú单调递增

é pù ê ? 4ú ?













a , b, c ,





b = a(cos C +
A.

3 2 6 ,则角 C = ( D ) sin C ), a = 2, c = 3 3
B.

3p 4

p 3

C.

p 6

D.

p 4

11.已知双曲线

x2 y 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线被圆 ( x + 4) 2 + y 2 = 8 所截得的弦 2 a b
A ) C. 2 D.

长为 4,则此双曲线的离心率是( A.

2 3 3

B.

3 2 2

3

2 12.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,若 ?x ? ? ?2,1? ,使得 f x ? x ? f ? x ? k ? ? 0 成立,则实数 k

?

?

的取值范围是( A A. ? ?1,3?

) B. ? 0,3? C. ? ??,3? D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,若抛物线上一点 P (- 2, a ) 到焦点的距离为 3,

a= 则

±2 2

.

ì y? 0 ? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a = (2,3), b = ( x, y ) ,且变量 x, y 满足 í y ? x ,则 z = a ?b 的最大 ? ? ? ? ? x+ y- 3? 0


15 2

.

15.若球 O 是棱长为 3 的正四面体 A ? BCD 的内切球,则球 O 的表面积为
2

3p 2

.

16.已知函数 f ( x) = (1 + 2 x)( x + ax + b)(a, b ? R ) 的图象关于点 (1, 0) 对称, 则 f ( x) 在闭

区间 [- 1,1] 上的最大值为

3 3 2

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 数列 {bn } 为等比数列, 且满足 a1 = 3,

b1 = 1, b2 + S 2 = 10, a5 - 2b2 = a3

.

(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

ì 2 ? ? , n是奇数 ? (2)令 cn = í S n ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 T2 n . ? ? ? ? ? bn , n是偶数
解:(1)设 {an } 的公差为 d, {bn } 的公比为 q,则

ì d+ q= 4 ? ? í ? ? d= q ?

ìd= 2 ? \ ? í ? ? q= 2 ?

\ an = 2n + 1, bn = 2n- 1 (n ? N * )

(2) ? an = 2n + 1,

\ S n = n(n + 2)

ì 2 ? ? , n是奇数 n ( n + 2) \ cn = ? í ? n- 1 ? ? ? ? 2 , n是偶数

\ T2 n = c1 + c2 + c3 + c4 + × × × + c2 n- 1 + c2 n 2 2 2 + 21 + + 23 + × × × + + 22 n- 1 1? 3 3? 5 (2n - 1)(2n + 1) 2n 2 = + (4n - 1) 2n + 1 3 =
7

18.(本小题 12 分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为 了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量 产品中各抽取 50 件产品作为样本, 测出它们的这一项质量指标值. 若该项质量指标值落在

?195, 210? 内,则为合格品,否则为不合格品.表 1 是甲流水线样本的频数分布表,图 1
是乙流水线样本的频率分布直方图. 质量指标值 (190,195] (195,200] (200,205] (205,210] (210,215] 频数 9 10 17 8 6
图 1: 乙流水线样本频率分布直

表 1:甲流水线样本的频数分

布表 方图 (1)根据图 1,估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数 (同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表); (2)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了 5000 件产品,则甲,乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件? (3)根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并回答是否有 85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”?

甲生产线 合格品 不合格品 合计

乙生产线

合计

n ? ad ? bc ? 附: K ? (其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P?K2 ? k?

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

解:(1)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的平均数为: 192.5? 0.06+197.5? 0.16+202.5? 0.26+207.5? 0.38+212.5? 0.14=204.4 (2)由甲,乙两条流水线各抽取的 50 件产品可得,甲流水线生产的不合格品有 15 件, 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P 甲 ?

15 3 ? , 50 10 1 , 5

乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 P 乙 ? ? 0.012 ? 0.028 ? ? 5 ?

于是,若某个月内甲,乙两条流水线均生产了 5000 件产品,则甲,乙两条流水线生产的

8

不合格品件数分别为: 5000 ? (3) 2 ? 2 列联表:

3 1 =1500,5000 ? =1000 10 5
乙生产线 40 10 50 合计 75 25 100

甲生产线 合格品 不合格品 合计
2 2

35 15 50

100 ? ? 350 ? 600 ? 4 ? ? 1.3 , 因为 1.3 ? 2.072, 则K ? 50 ? 50 ? 75 ? 25 3
所以没有 85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲,乙两条流水 线 的选择有关” . 19.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD 丄底面 ABCD,AB //CD,AB=2,CD=3, M 为 PC 上一点,且 PM =2MC. (1)求证:BM //平面 PAD; (2)若 PD = 3, ?BAD = 求 AD 的长.

p ,三棱锥 P—ADM 的体积为 3 , 3

证明:(1)在 PD 上取点 N,使 PN=2ND,连结 AN,MN,易证四边形 ABMN 为平行四边形, (或 在 CD 上取点 N,使 2CN=ND,连结 BN,MN,易证平面 PAD//平面 BMN) 从而得证 (2)过 A 作 AH 丄 CD,垂足为 H,因为 PD 丄底面 ABCD, 所以平面 PCD 丄平面 ABCD,所以 AH 丄平面 PCD. 所以 VPADM

= VA- PDM =

1 SD PDM ×AH 3

\ AH =

3

易求 AD=2

x2 y 2 2 20.(本小题 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 过点 (1, 0) 且垂直 a b 2
于 x 轴的直线被 C 所截得的弦长为 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左顶点为 A ,右焦点为 F , O 为原点, D, E 在 椭圆 C 上,且 E , O , D 三点共线,直线 AE 和 AD 分别 与 y 轴交于 M , N 两点,求证: MF ? NF .

? b2 1 1 ? ? ? ? a2 2 解:(1)由题意可知: ? ?b 2 (1 ? 1 ) ? 1 ? a2 2 ?

?a 2 ? 2 ?? 2 ?b ?1

所以椭圆 C:

x2 ? y2 ? 1 2

9

(2)设 E ( x0 , y0 ) ,则 D ( ? x0 , ? y0 ) ,且

x0 2 x2 ? y0 2 ? 1 即 y0 2 ? 1 ? 0 2 2

又直线 AE: y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2 ? y0 ( x ? 2) ? x0 ? 2

? M (0,

2 y0 ) x0 ? 2 ? 2 y0 ) ? x0 ? 2

又直线 AD: y ?

? N (0,

???? ???? 2 y0 2 ? MF ? NF ? 1 ? ?0 2 ? x0 2

? MF ? NF
a ? a ? 0? . x

21.(本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

(1) 若函数 f ? x ? 有零点, 求实数 a 的取值范围;

2 时, f ? x ? ? e ? x . e a 解:(1)法 1: 函数 f ? x ? ? ln x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . x a 1 a x?a 由 f ? x ? ? ln x ? , 得 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2 . x x x x
(2) 证明: 当 a ? 因为 a ? 0 ,则 x ? ? 0, a ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? a, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减, 在 ? a, ?? ? 上单调递增. 当 x ? a 时, ? ? f ? x ?? ? min ? ln a ? 1 . 当 ln a ? 1 ? 0 , 即 0 ? a ?

1 时, 又 f ?1? ? ln1 ? a ? a ? 0 , 则函数 f ? x ? 有零点. e
? ? 1? . e? ?

所以实数 a 的取值范围为 ? 0, 法 2:函数 f ? x ? ? ln x ? 由 f ? x ? ? ln x ?

a 的定义域为 ? 0, ?? ? . x

a ? 0 , 得 a ? ? x ln x .令 g ? x ? ? ? x ln x ,则 g ? ? x ? ? ? ? ln x ? 1? . x

当 x ? ? 0, ? 时, g ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? ? , ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 . 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增, 在 ? , ?? ? 上单调递减.

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

10

故x?

1 1 1 1 ?1? 时, 函数 g ? x ? 取得最大值 g ? ? ? ? ln ? . e e e e ?e? 1 a ? 1? 有零点, 则 0 ? a ? .所以实数 a 的取值范围为 ? 0, . ? e x ? e?

因而函数 f ? x ? ? ln x ? (2) 要证明当 a ?

2 时, f ? x ? ? e ? x , e 2 a 即证明当 x ? 0, a ? 时, ln x ? ? e ? x , 即 x ln x ? a ? xe ? x . e x
令 h ? x ? ? x ln x ? a , 则 h? ? x ? ? ln x ? 1 . 当0 ? x ?

1 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ? ? x ? ? 0 . e e

所以函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减, 在 ? , ?? ? 上单调递增.

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 1 时, ? h ? x ?? ? min ? ? ? a . ? e e 2 1 1 于是,当 a ? 时, h ? x ? ? ? ? a ? . e e e
当x?



令 ? ? x ? ? xe ? x , 则 ? ? ? x ? ? e ? x ? xe ? x ? e ? x ?1 ? x ? . 当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以函数 ? ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减. 当 x ? 1 时, ? ?? ? x ? ? ? max ? . e 于是, 当 x ? 0 时, ? ? x ? ? . 故当 a ?

1

1 e



显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.

2 时, f ? x ? ? e ? x . e

22.(本小题 10 分) (不等式选讲) 设函数 f ( x) = | x + 2 | + | x - 2 | ( x ? R ) ,不等式 f ( x) ? 6 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a, b ? M 时,证明: 3 | a + b | ? | ab + 3 | . 解析:(1)f(x)=|x+2|+|x-2|≤6 等价于
Error!或Error!或Error!解得-3≤x≤3, ∴M=[-3,3].

(2)证明:当 a,b∈M,即-3≤a≤3,-3≤b≤3 时, 要证 3|a+b|≤|ab+3|,即证 3(a+b)2≤(ab+3)2.

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∵3(a+b)2-(ab+3)2=3(a2+2ab+b2)-(a2b2+6ab+9) =3a2+3b2-a2b2-9=(a2-3)(3-b2)≤0, ∴ 3|a+b|≤|ab+3|.

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