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【新课标I版】地区2015届高三数学(理)一轮复习参考试题:几何证明选讲


几何证明选讲
2015 2014 1 2013 1 2012 1

1【2014 新课标 I 版(理)22】 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是

O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ,且

CB ? CE .
(Ⅰ)证明: ?D ? ?E ; (Ⅱ)设 AD 不是

O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,

证明: ?ADE 为等边三角形.

【答案】 (I)由题设知

A, B, C, D四点共圆,所以?D=?CBE,由已知得?CBE=?E,故?D ? ?E。
……5 分

(II)设BC的中点为N,链接MN,则由MB ? MC知MN ? BC,故O在直线MN 上 又AD不是 O的直径,M 为AD的中点,故OM ? AD,即MN ? AD. 所以AD BC,故?A ? ?CBE. 又?CBE ? ?E,故?A ? ?E ,由(I)知,?D ? ?E , 所以?ADE为等边三角形.
2【2013 新课标 I 版(理)22】(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,

DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 【答案】 (1)连接 DE,交 BC 为 G,由弦切角定理得, ?ABE ? ?BCE , BE ? CE ,又因为

DB ? BE ,所以 DE 为直径,由勾股顶底得 DB=DC.

(2)由(1)知, ?CDE ? ?BDE , DB ? DC , DG = BC ,故 BG ?

3 ,圆心为 O, 2

0 0 连接 BO,则 ?BOG ? 60 , ?ABE ? ?BCE ? ?CBE ? 30 ,所以 CF ? BF ,故外接

圆半径为

3 . 2

3【2012 新课标 I 版(理)22】选修 4—1:几何证明选讲 如图, D, E 分别为△ABC 边 AB, AC 的中点, 直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F, G 两点. 若 CF∥AB, 证明:

(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 【答案】 (1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD (2) BC / /GF ? BG ? FC ? BD BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD

?GBD

错误!未指定书签。 . (河北省唐山市 2014 届高三摸底考试数学(理)试题)选修 4-1:几何

证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (I)证明:A、E、F、M 四点共圆; 2 2 (II)证明:AC +BF·BM=AB .

【答案】

错误!未指定书签。 . (河北省邯郸市武安三中 2014 届高三第一次摸底考试数学理试题) 【选修

4—1:几何证明选讲】 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= AE=

1 AC 3

2 AB,BD,CE 相交于点 F. 3

(1)求证:A,E,F,D 四点共圆; (2)若正△ABC 的边长为 2,求 A,E,F,D 所在圆的半径.

【答案】(Ⅰ)证明:∵AE= AB,

∴BE= AB, ∵在正△ABC 中,AD= AC,

∴AD=BE, 又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC, 即∠ADF+∠AEF=π ,所以 A,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:如图,

取 AE 的中点 G,连接 GD,则 AG=GE= AE, ∵AE= AB, ∴AG=GE= AB= , ∵AD= AC= ,∠DAE=60°, ∴△AGD 为正三角形, ∴GD=AG=AD= ,即 GA=GE=GD= , 所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 . 由于 A,E,F,D 四点共圆,即 A,E,F,D 四点共圆 G,其半径为 .

错误!未指定书签。 . (河北省衡水中学 2013 届高三第八次模拟考试数学(理)试题 )选修

4-1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分 别交于点 C、D.求证: (Ⅰ) CE ? DE ;

(Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

【答案】(Ⅰ)证明:

PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,

??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明: ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE CA ? PB DE DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

PC CA ? PD DE

错误!未指定书签。 . (河南省郑州市 2013 届高三第三次测验预测数学(理)试题)选修 4-1 :

几何证明选讲 如图,AB 是 0 的一条切线,切点为 B,直线 ADE,CFD,CGE 都是 O 的割线,已知 AC=AB. (1)求证:FG//AC; (II)若 CG=1,CD=4,求

DE 的值. GF

2 【答案】解:(Ⅰ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,

2 又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC .

AD AC ? 所以 AC AE ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE ,
所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC (Ⅱ)由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .

? ?CGF ∽ ?CDE . DE CD ? ? . GF CG
又? CG ? 1, CD ? 4 ,?

DE =4 GF

错误!未指定书签。 . (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第四次 四校联考数学(理)试题)(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲

如图,已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC, AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙O 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长.

F A

B
E

? O
D

C

【答案】(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲

解 :(1) 证 明 : 连 结 BE , 由 题 意 知 ?ABE 为 直 角 三 角 形 . 因 为

?ABE ? ?ADC ? 90? , ?AEB ? ?ACB, 所以 ?ABE ∽ ?ADC


AB AE ? ,则 AB ? AC ? AD ? AE .又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE AD AC
2

(II)因为 FC 是⊙O 的切线,所以 FC ? AF ? BF , 又 AF ? 2, CF ? 4 ,所以 BF ? 8, AB ? BF ? AF ? 6 因为 ?ACF ? ?FBC, 又?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB 则

AF AC AF ? BC ? ?3 ,即 AC ? FC BC CF

错误! 未指定书签。 . (山西省太原市第五中学 2013 届高三 4 月月考数学 (理) 试题) 选修 4-1:

几何证明选讲 如 图 , ?ABC 内 接 于 ⊙ O , AB 是 ⊙ O 的 直 径 , PA 是 过 点 A 的 直 线 , 且

?PAC ? ?ABC.
(1)求证: PA是⊙ O 的切线; (2)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 , CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求直径

AB 的长.

【答案】(1)∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,

又∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠BAC=90°,即∠PAB=90°, ∴BA⊥PA,∴PA 是圆 O 的切线 (2)设 AE=2m,DE=5n,则 BE=3m,CE=6n, 由相交弦定理得 6m?=30n?,∴m= 5 n 由 AC/BD=AE/DE 得 BD= 4 5 设 BC=X,由 BC/AD=CE/AE 得 AD= 5 /3X 由 AC?+BC?=AD?+BD?解得 X=6, ∴AB=10

错误!未指定书签。 . (河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题(word 版) )选修 4-1:几何证明选讲

在 RtΔABC中 ,? B =90.,AB=4,BC=3, 以 (I)求线段 CD 的长度;

AB 为 直 径 做

圆 0 交 AC 于点 D

(II)点 E 为线段 BC 上一点,当点 E 在什么位置时,直 线 ED 与圆 0 相切,并说明理由.

s
【答案】选修 4-1 几何证明选讲

0 解:(Ⅰ)连结 BD ,在直角三角形 ABC 中,易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 ,

所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以

BC 2 9 CD BC ? ? ,所以 CD ? BC AC AC 5

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切 连 接 OD , 因 为 ED 是 直 角 三 角 形 ?BDC 斜 边 的 中 线 , 所 以 ED ? EB , 所 以 ?E B D? ?E D B,因为 OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB , 所以 ?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 900 ,所以直线 ED 与 圆 O 相切
错误!未指定书签。 . (河南省三市(平顶山、许昌、新乡)2013 届高三第三次调研(三模)考 试数学(理)试题)如图,已知: C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ? AB 于点 H ,

直线 AC 与过点 B 的圆 O 的切线相交于点 D, E 为 CH 中点.连接 AE 并延长交 BD 于 点 F ,直线 CF 交直线 AB 于点 G (Ⅰ)求证: F 是 BD 的中点 (Ⅱ)求证: CG 是⊙ O 的切线

【答案】

错误!未指定书签。 . (河南省开封市 2013 届高三第四次模拟数学(理)试题)(本小题满分 10

分)选修 4--1.:平面几何 已知.AB 为半圆 O 的直径, AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交圆于点 E,DE=1. (I)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

【答案】

错误!未指定书签。 . (山西省康杰中学 2013 届高三第二次模拟数学(理)试题)选修 4-1:几

何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E . (Ⅰ)证明: ?ABE ∽ ?ADC ; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小. 2

【答案】解:(Ⅰ)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD

因为 ?AEB 与 ?ACB 是同弧上的圆周角,所以 ?AEB ? ?ACD ,故 ?ABE ∽ ?ADC , (Ⅱ) 因 为 ?ABE ∽ ?ADC , 所 以

A B ? A E

A D , 即 AB ? AC ? AD ? AE , 又 A C

1 1 AB ? AC sin ?BAC ,且 S ? AD ? AE ,故 AB ? AC sin ?BAC ? AD ? AE , 2 2 则 sin ?BAC ? 1 ,又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC ? 90? S?
错误!未指定书签。 . (河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高三阶段性测试(四) 数学(理)试 题(word 版))选修 4—1:几何证明选证

如图,四边形 ABDE 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (1)求证:BE=2AD; (2)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

【答案】

错误!未指定书签。 . (河南省六市 2013 届高三第二次联考数学(理)试题)如图,已知四边形

ABCD 是梯形, AD / / BC ,且 BC 是圆 O 的直径,直线 MN 与圆 O 相切于点 A. (1)若 ?MAB ? 30? ,且圆 O 的面积为 ? ,求 AB 的长; (2)在(1)的条件下,求梯形 ABCD 的周长.

【答案】

错误!未指定书签。 . (河南省商丘市 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)选修 4—1:

几何证明选讲 如图,已知 PE 切 ?O 于点 E,割线 PBA 交 ?O 于 A、B 两点, ?APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D. (1)CE=DE; (2)

CA PE ? . CE PB

【答案】

解:(Ⅰ)? PE切 ⊙ O 于点 E ,? ?A ? ?BEP .

? PC平分?APE ? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE ,
??ECD ? ?EDC , ? EC ? ED .
(Ⅱ)? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE ,

? ?BPD ? ?EPC ,? ?PBD ∽ ?PEC ,?
同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PE PC ? PB PD

PC CA ? , PD DE

?

PE CA ? . PB DE

? DE ? CE , ?

CA PE ? CE PB

错误! 未指定书签。 . (河南省中原名校 2013 届高三下学期第二次联考数学 (理) 试题) 选修 4-1:

几何证明选讲 如图,△ABC 内接于⊙O,AB =AC,直线 MN 切⊙O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相交于点 E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB =6,BC =4,求 AE.

【答案】选修 4-1:几何证明选讲

解:(Ⅰ)在 Δ ABE 和 Δ ACD 中, ∵ AB ? AC ∠ABE=∠ACD 又,∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD ∴Δ ABE ? Δ ACD (角、边、角) (Ⅱ)∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4 又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴ BC=BE=4 设 AE= x ,易证 Δ ABE∽Δ DEC ∴

???????????????? 5 分

???????????????? 8 分

DE DC 4 ? ? x AB 6 2 x ? x(6 ? x ) 3

? DE ? 10 3

2 x又 3

AE ? EC ? BE ? ED

EC ? 6 ? x

∴4?

x?

???????????????? 10 分


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