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【三维设计】2013版高中数学 第1部分 第一章末小结 知识整合与阶段检测课件 新人教A版必修1


章末 小结 第 一 章 知识 整合 与阶 段检 测

核心要点归纳

阶段质量检测

一、集合

1.集合的基本概念
(1)集合的含义: 一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组 成的总体叫做集合. 常用数集:自然数集N,正整数集N*,整数集Z,有

理数集Q,实数集R.

(2)元素与集合的关系:
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A, 记作a?A. 集合中元素的特征:确定性、互异性和无序性.

(3)集合的表示方法:

集合的表示方法,常用的有列举法和描述法.列举
法一般适用于有限集,而描述法一般适用于无限集. 当用描述法表示集合时,要清楚其代表元素是什么, 并注意区分以下集合的含义.

集合 {x|f(x) =0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} 不等式 函数y=

{(x,y)|y= f(x)}

含义

方程f(x)= 0的解集

函数y= 函数y=f(x) 图象上的

f(x)>0的 f(x) 的定 f(x)的值

解集

义域



点集

(4)集合的分类: 根据元素个数,集合可分为:有限集与无限集.

2.子集与真子集
(1)对于两个集合A与B,如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素,我们就说集合A包含于集合B,或 集合B包含集合A,记作A?B(或B?A),即集合A是集合B 的子集.任何一个集合都是它本身的子集,即A?A.

(2)对于两个集合A与B,如果A?B并且A≠B,就说集
合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).

(3)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子 集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子 集;若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子

集个数为2n-1.

[说明]

空集:不含任何元素的集合,用?表

示.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合
的真子集.

3.集合的运算 (1)交集:

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称
为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. (2)并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合, 称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或

x∈B}.

(3)补集:
设U是一个集合,A是U的一个子集(即A?U),由

U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A
的补集,记作?UA,即?UA={x|x∈U,且x?A}.

(4)运算性质: 交 ①A∩A=A ②A∩?=?

集 ③A∩B?A
并 ①A∪A=A 集 ③A?A∪B

④A∩B?B
②A∪?=A ④B?A∪B

①A∩(?UA)=? 补 ②A∪(?UA)=U 集 ③?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB) ④?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)

(5)常用重要结论: ①若A?B,B?C,则A?C;

若A

B,B

C,则A

C.

②A∩B=A?A?B; A∪B=A?A?B.

二、函数的概念

(1)函数的定义:设A,B是非空的数集,如果按照
某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A, x叫做自变量,x的取值范围叫函数的定义域.所有函数

值组成的集合是函数的值域.

(2)定义域是集合A,值域C?B.
(3)定义域、值域、对应关系是函数的三要 素,只有当定义域与对应关系分别相同时,才 是同一函数.

三、函数的基本性质
1.函数的单调性 如果函数f(x)对区间D内的任意x1,x2,当x1<x2 时都有f(x1)<f(x2),则f(x)在D上是增函数;当x1<x2 时都有f(x1)>f(x2),则f(x)在D上是减函数.

其等价形式: f?x1?-f?x2? 设 x1,x2∈[a,b],那么 >0?f(x)在[a,b] x1-x2 上是增函数; f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2

[说明]
①函数的单调区间是函数定义域的一个子集. ②函数单调性定义中的x1,x2,满足三个条件:一 是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意取x1,x2”, “任意”二字决不能丢掉;三是有大小,通常规定x1<x2.

三者缺一不可.

1 ③单调区间一般不能取并集.如 y=x在(-∞,0)上 1 递减,在(0,+∞)上也递减,但不能说 y=x在(-∞,0) ∪(0,+∞)上递减.

2.函数的最值 (1)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在

实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在
x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的 最大值. (2)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在 实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在

x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的
最小值.

(3)求函数的最大(小)值的方法:

①利用已知函数的性质求函数的最大(小)值,如
二次函数; ②利用图象求函数的最大(小)值; ③利用函数单调性求函数的最值.

(ⅰ)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则

f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);
(ⅱ)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则 f(x)min=f(b),f(x)max=f(a); (ⅲ)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上递增(减),在 区间[b,c]上递减(增),则函数y=f(x)在区间[a,c]上的

最大(小)值为f(b).

3.函数奇偶性 (1)奇偶函数的定义:

①一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,
都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. ②一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

[说明]

若一个函数具有奇偶性,则它的定义域

一定关于原点对称.如果一个函数定义域不关于原点对

称,那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数.

(2)奇偶函数的性质: ①奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关 于y轴对称.

②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,
则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间 上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

(3)函数奇偶性的判断方法: ①定义法. ②图象法.


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