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2015-2016高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修1-2


2.2.2 反 证 法 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点. 2.掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明. 基 础 梳 理 反证法的定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过 正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法 称为反证法. 基 础 自 测 1.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D) A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解 解析:易知此命题结论的否定是:无解或至少两解.故选 D. 2.已知 α ∩β =l,a? α ,b? β ,若 a,b 为异面直线,则(B) A.a,b 都与 l 相交 B.a,b 至少有一条与 l 相交 C.a,b 至多有一条与 l 相交 D.a,b 都与 l 不相交 解析: 若 a, b 都与 l 不相交, 则 a∥l, b∥l, ∴a∥b, 这与 a, b 为异面直线矛盾. ∴a, b 至少有一条与 l 相交.故选 B. 3.用反证法证明“已知 a +b =2,求证 a+b≤2”时的反设为______,得出的矛盾为 ______. 3 3 2 3 3 3 解析:假设 a+b>2,则 a>2-b,∴a >(2-b) =8-12b+6b -b ,又 a +b =2,∴ 2 2 6b -12b+6<0,即 6(b-1) <0,由此得出矛盾. 2 答案:a+b>2 6(b-1) <0 4 .“ 自 然 数 a , b , c 中 恰 有 一 个 偶 数 ” 的 否 定 应 是 ________________________________________________________________________. 解析:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定应是 a,b,c 中都是奇数或至少有两 个偶数. 答案:a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 3 3 (一)用反证法证明数学命题的一般步骤 (1)反设——即先弄清命题的条件和结论,然后假设命题的结论不成立; 1 (2)归谬——从反设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)断言——由矛盾得出反设不成立,从而断定原命题的结论成立. (二)反证法得出的矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这些矛盾常常表现为以下几个方面: (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾; (4)与简单的、显然的事实矛盾. (三)注意事项 (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,同时注意反设的准确性,尤其当出现两种以 上情况时应特别细心,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2)必须从否定结论进行推理,即把结论的反面作为条件,并且必须依据这一条件进行 推证,否则,只否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法. (3)反证法常用于直接证明比较困难的命题,例如某些初始命题(包括部分基本定理)、 必然性命题、 存在性问题、 唯一性问题、 否定性问题、 带有“至多有一个”或“至少有一个” 等字眼的问题. 使用反证法证明问题时, 准确地做出反设是正确运用反证法的前提, 常见“反设词”如 下: p 原 ?x ?x 至少 至多 至少 至多 p或 = > < 且 词 成立 不成立 一个 一个 n个 n个 q q 反 设 词 至多 n-1 个 至少 n+1 个 ≠ ≤ ≥ ? x0 不成立 ? x0 成立 一个都 没有 至少 两个 綈p且 綈q 綈p或 綈 q) 1.反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”, 其中:第一个否定是指“否定结论 ( 假设)”,第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假 设” .反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”. 2.适合用反证法证明的命题:(1)否定性命题;(2)唯一性命题;(3)至多、至少型命题; (4)明显成立的问题;(5)直接证明有困难的命题. 3.使用反证法证明问题时,准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提, 常见的“结论词”与“反设词”列表如下: 2 4.常见的矛盾主要有:(1)与假设矛盾;(2)与公认的事实矛盾;(3)与数学公理、 定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾. 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C) ①结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论 A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 2.用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°矛盾,所以 ∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C 中有 两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.其中顺序正确的是(C) A.①②③ B.①③② C.③①② D.③②① 解析:根据反证法的步骤,容易知道选 C. 3.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定项不止一个时,必须将结论的否定 情况逐一驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在△ABC 中,若 AB=AC,P 是△ABC 内一点, ∠APB>∠APC, 求证: ∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分: 假设________和________ 两类. 解析:因为小于的否定是不小于,所以应填∠BAP=∠CAP 和 BAP>∠CAP. 答案:∠BAP=∠CAP BAP>∠CAP 4.求证:如果 a>b>0,那么 a> b(n∈N,且 n>1). n n 3 证明:假设 a不大于 b,则 a= b,或 a< b 当 a= b时,则有 a=b. 这与 a>b>0 相矛盾. 当 a< b时,则有 a<b,这也与 a>b 相矛盾. 所以 a> b. n

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