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2015-2016高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修1-2


2.2.2 反 证 法 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法,了解反证法的思考过程、特点. 2.掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明. 基 础 梳 理 反证法的定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过 正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法 称为反证法. 基 础 自 测 1.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)有唯一解”的结论的否定是(D) A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解 解析:易知此命题结论的否定是:无解或至少两解.故选 D. 2.已知 α ∩β =l,a? α ,b? β ,若 a,b 为异面直线,则(B) A.a,b 都与 l 相交 B.a,b 至少有一条与 l 相交 C.a,b 至多有一条与 l 相交 D.a,b 都与 l 不相交 解析: 若 a, b 都与 l 不相交, 则 a∥l, b∥l, ∴a∥b, 这与 a, b 为异面直线矛盾. ∴a, b 至少有一条与 l 相交.故选 B. 3.用反证法证明“已知 a +b =2,求证 a+b≤2”时的反设为______,得出的矛盾为 ______. 3 3 2 3 3 3 解析:假设 a+b>2,则 a>2-b,∴a >(2-b) =8-12b+6b -b ,又 a +b =2,∴ 2 2 6b -12b+6<0,即 6(b-1) <0,由此得出矛盾. 2 答案:a+b>2 6(b-1) <0 4 .“ 自 然 数 a , b , c 中 恰 有 一 个 偶 数 ” 的 否 定 应 是 ________________________________________________________________________. 解析:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定应是 a,b,c 中都是奇数或至少有两 个偶数. 答案:a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 3 3 (一)用反证法证明数学命题的一般步骤 (1)反设——即先弄清命题的条件和结论,然后假设命题的结论不成立; 1 (2)归谬——从反设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3)断言——由矛盾得出反设不成立,从而断定原命题的结论成立. (二)反证法得出的矛盾 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这些矛盾常常表现为以下几个方面: (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾; (4)与简单的、显然的事实矛盾. (三)注意事项 (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,同时注意反设的准确性,尤其当出现两种以 上情况时应特别细心,必须罗列出各种情况,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2)必须从否定结论进行推理,即把结论的反面作为条件,并且必须依据这一条件进行 推证,否则,只否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法. (3)反证法常用于直接证明比较困难的命题,例如某些初始命题(包括部分基本定理)、 必然性命题、 存在性问题、 唯一性问题、 否定性问题、 带有“至多有一个”或“至少有一个” 等字眼的问题. 使用反证法证明问题时, 准确地做出反设是正确运用反证法的前提, 常见“反设词”如 下: p 原 ?x ?x 至少 至多 至少 至多 p或 = > < 且 词 成立 不成立 一个 一个 n个 n个 q q 反 设 词 至多 n-1 个 至少 n+1 个 ≠ ≤ ≥ ? x0 不成立 ? x0 成立 一个都 没有 至少

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