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高中数学人教A版选修2-3课时训练:2.3.1离散型随机变量的均值


课时训练 11 一、选择题 离散型随机变量的均值 ). 1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数 ξ 的数学期望是( A.0.6 答案:C 解析:由已知可得 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5,6), 故 E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× +6× =21× =3.5. 2.已知离散型随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P 0 0.3 1 3k 2 4k B.1 C.3.5 D.2 随机变量 η=2ξ+1,则 η 的数学期望为( A.1.1 答案:B 解析:由 0.3+3k+4k=1,得 k=0.1, 故 E(ξ)=0× 0.3+1× 0.3+2× 0.4=1.1, E(η)=2E(ξ)+1=2× 1.1+1=3.2. B.3.2 C.11k ). D.22k 3.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 答案:B 解析:1 000 粒种子的发芽数记为随机变量 η,则 η 服从二项分布,记 η~B(1 000,0.9). 则 E(η)=1 000× 0.9=900. ∵发芽种子数的数学期望为 900. ∴补种数的数学期望为 2× (1 000-900)=200. 4.设随机变量 X 的分布列如下表: X P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 ). D.400 B.200 C.300 且 E(ξ)=1.6,则 a-b=( ). A.-0.2 答案:A 解析:根据题意,有 B.-0.4 C.0.1 D.0.2 解得所以 a-b=-0.2. 5.设 10 件产品中含有 3 件次品,从中抽取 2 件进行检查,则查得次品数的数学期望为( A. 答案:B 解析:用 ξ 表示抽取 2 件产品的次品件数,则 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 ). B. C. D. 故 E(ξ)=0× +1×+2×. 6.已知随机变量 X 的分布列如下表所示: X P -1 0 1 2 则 E(X2)的值是( A. 答案:C ). B. C. D. 解析:随机变量 X2 的分布列如下: X2 P 0 1 4 E(X2)=0× +1× +4× . 7.(2014 上海交大附中高三月考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( A. C. 答案:B ). B. D. 解析:由题意知 X 可能的取值为 0,1,2,3, 故有 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0× P(X=0)+1× P(X=1)+2× P(X=2)+3× P(X=3)=0× +1× +2× +3× . 二、填空题 8.同时抛掷两颗骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 9 次试验中,成功次 数 ξ 的数学期望是 答案:5 解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次,至少有一个 3 点或 6 点出现时的概率为 P=, 故 9 次试验相当于独立重复试验 9 次,则成功次数 ξ 服从二项分布,且 ξ~B. 因此 E(ξ)=9× =5. 9.(2014 上海静安、杨浦、青浦、宝山四区高考模拟)从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加 冬奥会火炬接力活动,若随机变量 ξ 表示所选 3 人中女志愿者的人数,则 ξ 的数学期望是 答案: 解析:由 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火炬接力活动共有=56 种情况.所以 P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. 所以 ξ 的数学期望是 E(ξ)=× 2+× 3=. 10.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 ξ(束)的统计(如下表),若进这种鲜花 500 束在今 年节日期间销售,则利润的均值是 ξ P 200 0.20 . . 元. 300 0.35 400 0.30 500 0.15 答案:706 解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(ξ)=200× 0.20+300× 0.35+400× 0.30+500× 0.15=340(束). 设利润为 η,则 η=5ξ+1.6× (500-ξ)-500× 2.5 =3.4ξ-450, 所以 E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4× 340-450=706(元). 三、解答题 11.(2014 安徽高考)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未 出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结 果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”, 则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)· P(B2)P(A3)P(A4) =. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)

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