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【配套K12】广东省惠阳市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 轨迹方程及圆锥曲线的第二定义导学案(无答


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§2.4.1 轨迹方程及圆锥曲线的第二定义
【自主学习】 一.学习目标 1.掌握求曲线轨迹方程的常用方法 2.了解圆锥曲线的统一定义
二.自主学习 1. 求轨迹的常用方法(一般步骤:①建系;②设点;③列式;④化简;⑤证明)
(1)直接法:直接通过建立 x, y 之间的关系,构成 F(x, y) ? 0 ,是求轨迹的最基本的方法;
(2)坐标转移法:若动点 P(x, y) 依赖于另一动点 Q(x0, y0 ) 的变化而变化,并且 Q(x0, y0 ) 又
在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0, y0 ,再将 x0, y0 代入已知曲线得到要求的轨
迹方程; (3)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线的定义直接写出 方程; (4)参数法:当动点 P(x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考
虑将 x, y 均用一个中间变量(如斜率 k 等)表示,得参数方程,再消去参数得关于 x, y 的方
程. 2. 圆锥曲线的统一定义
平面内到一定点 F 与到一条定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点 F 不在直线 l
上) (1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时,点的轨迹是抛物线.
其中常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点 F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线 l 就是该圆锥曲线的
准线.
三.自主检测
1.曲线上点 M(x,y)到定点 F(2,0)的距离和它到定线 l:x=8 的距离的比是常数 1 ,求 2
曲线的方程。 教育配套资料 K12

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2.已知点 M 在椭圆 x2 ? y2 ? 1 上,MP' 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为 P ' ,并且 M 36 9
为线段 PP ' 的中点,求 P 点的轨迹方程,并指出轨迹方程表示的图形。

答案:1. x2 ? y2 ? 1; 16 12

2. x2 ? y2 ? 36 ,圆

§2.4.1 轨迹方程及圆锥曲线的第二定义 【课堂检测】 1.曲线上点 M(x,y)到定点 F(-4,0)的距离和它到定线 l:x=-1 的距离的比是常数 2,求 曲线的方程。

2. 已知点 M 在双曲线 x2 ? y2 ? 1 上, MN 垂直于焦点所在的直线,垂足为 N ,并且 P 为 25 9
线段 MN 的中点,求 P 点的轨迹方程。

【拓展探究】 探究一:已知点 P(x,y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 l:x = ac2的距离之比是常数ca(a>c>0),求
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P 的轨迹方程.
探究二:已知 B,C 是两个定点,| BC |? 8 ,且 ?ABC 的周长等于 18,求这个三角形的顶点 A 的轨迹方程。
【当堂训练】
1.已知圆 C1 : (x ? 3)2 ? y2 ? 1, C2 : (x ? 3)2 ? y2 ? 9 ,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程。
2.从抛物线 y2 ? 4x 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程。
3.点 M 与点 F(0,? 2)的距离比它到直线 l : y ? 3 ? 0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程
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小结与反馈: 1.在求轨迹方程时,注意检验。 2. 椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数 e 的点 的集合。当 0<e<1 时,圆锥曲线是椭圆;当 e >1 时,圆锥曲线是双曲线;当 e=1 时,圆 锥曲线是抛物线。
其中常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点 F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线 l 就是该圆锥曲线 的准线.(强调比值的顺序性)

【课后拓展】

1.点 P 到直线 x ? 4 ? 0 的距离减去它到点 m(2, 0)的距离等于 2,则点 P 的轨迹方程





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2.已知抛物线 y2 ? 2x ,过点 Q(2,1)作一条直线交抛物线 A,B 两点,求弦 AB 的中点轨迹
方程。

3. 已 知 点 M 的 坐 标 (x, y) 满 足 方 程 5 x2 ? y2 ?| 3x ? 4y ?12 | , 则 点 M 的 轨 迹





4. ?ABC 的三边 a,b, c 成等差数列且满足 a ? b ? c , A,C 两点坐标分别为 (?1, 0), (1, 0) 。 求顶点 B 的轨迹。
5.已知圆 x2 ? y2 ? 9 ,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP ' ,点 M 在 PP ' 上,并且
PM ? 2MP ' ,求点 M 的轨迹。

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