2.2.1 等差数列（）
【学习目标】
、理解等差数列的概念； 、会用定义判断等差数列，证明等差数列。
【重点难点】
判断、证明等差数列。
【自主学习】
一、问题情境 ）; ), ); ); 阅读以上的数列，思考：它们有什么共同特点？
二、数学构建 、等差数列定义：；叫公差，用表示。 、定义可用式子表示为：。
、（）当 d ? 0 时，数列的各项如何变化？ （）当 d ? 0 时，数列的各项如何变化？ （）当 d ? 0 时，数列的各项如何变化？
【典型例题】
例、判断下列数列是否为等差数列：
(1)1,1,1,1,1; (2)4,7,10,13,16; (3) ? 3,?2,?1,1,2,3;
例、求出下列等差数列中的未知项：
(1)3, a,5; (2)3,b, c,?9
? ? 例、（）在等差数列
an
中，是否有 an
?
an?1
? an?1 2
(n
?
2) ？
? ? （）在数列
an
中，如果对于任意的正整数 n(n
?
2) ，都有 an
?
an?1
? 2
an?1
，那么数列
?an ?一定是等差数列吗？
【知识拓展】
已知数列?an?的通项公式 an ? pn ? q ，其中 p, q 是常数，那么，这个数列是否一定为等差
数列？若是，首项与公差分别是多少？
【巩固练习】
、已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
() ( );
() , 2 ,( );
() ,( ),( ).
、已知 a1, a2 , a3,?, an , an?1,?, a2n 是公差为 d 的等差数列.
() an , an?1,?, a2 , a1 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
() a2 , a4 , a6 ,?, a2n 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
() a2n , a2n?1, a2n?2 , …, a3 , a2 , a1 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（） a5 , a6 , a7 , …， a100 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
、已知等差数列?an?的首项为 a1 ，公差为 d .
()将数列 ?an?中的每一项都乘以常数 a ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多
少？
()由数列 ?an?中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 ?cn?是等差数列吗？如果是，它的
首项和公差分别是多少？
2.2.1 等差数列（）
【学习目标】
、探索并掌握等差数列的通项公式； 、理解通项公式与一次函数的关系； 、培养观察、分析、归纳、推理能力。
【重点难点】
通项公式及其应用。
【自主学习】
一、问题情境 、等差数列的定义，用式子表示为：。
、设 ?an?为首项为 a1 ，公差为 d ，如何用 a1, d 表示 an ？
. 3、如何得到以上结论的？ 二、问题探究
问题、由等差数列的定义：
a2 ? a1 ? d即a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d即a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d ?
于是可归纳得到： an ? 。
问题、由等差数列定义：
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d ? an ? an?1 ? d (n ? 2)
将以上 n ?1个式叠加可得： an ? 。 当 n ? 1时，成立吗？ 问题、当 d ? 0 时， an 可以看成关于 n 的函数.
问题、若 an ? kn ? b ，则?an?是等差数列吗?为什么？
问题、()第一届现代奥运会于年在希腊雅典举行，此后每年举行一次.奥运会如因故不能 举行,届数照算. ①试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； ②年北京奥运会是第几届？年举行奥运会吗？
()在等差数列?an?中，已知 a3 ? 10, a9 ? 28 ，求 a12 .
问题、 an ? am ? (n ? m)d (m, n ? ?*) ,?an?是等差数列吗？如何证明？公差 d 是多少？
问题、已知等差数列?an?的通项公式为 an ? 2n ?1，求首项 a1 和公差 d .
【巩固练习】 、已知 a1 ? 2, d ? 3, n ? 10, 求 an
已知 a1 ? 3, an ? 21, d ? 2, 求 n
已知 a1 ? 12, a6 ? 27 求 d
已知 d
?
?
1 3
，
a7
? 8求 a1
、()求等差数列 8,5,2,? 的第项;
()等差数列 ? 5,?9,?13,? 的第几项是？ ()是不是等差数列 0,? 7 ,?7,? 的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.
2
、一个等差数列的第项等于第项与第项的和，且公差是，试求首项和第项.
? ? 、数列 an 中， a1 ? 2,2an?1 ? 2an ? 1, n ? ?* ，则 a101 。 、数列 ?an?是等差数列， a1 ? ?20 （1） 若，则数列 ?an?中哪些项是正数？ （2） 若数列 ?an?中第项开始为正数，求的取值范围
2.2.1 等差数列（）
【学习目标】
、理解等差中项的概念； 、理解并能用等差数列性质解决问题； 、能解决与等差数列有关的实际问题。
【重点难点】
等差中项性质及其应用。
【自主学习】
一、问题情境 (1)求实数，使，，这三个数成等差数列. (2)在数列，，，，，，，，.....中
① a2 ? a4 ? _____,a1 ? a5 ? _____,
② a4 ? a6 ? ____,a3 ? a7 ? ____,a2 ? a8 ? _____;
③ 2a4 ? a1 ? a7 吗? a4 ? a1 ? a3 吗？
猜想在等差数列 ?an ?中有何规律？
二、数学构建
、如果 a, A, b 这三个数成等差数列，则 A 叫做 a, b 的 A ,
当 a, b 确定时， A 有个。
、已知数列?an?是等差数列， m, n, p, q ? ?*
如果 m ? n ? p ? q ，那么应有；
特别地， 2m ? p ? q 时，应有.
注意：.
【典型例题】
例、如果 a, A, b 这三个数成等差数列，那么 A ? a ? b 。我们把 A ? a ? b 叫做
2
2
a和b 的等差中项。试求下列各组数的等差中项：
（） 7 ? 3 5和7 ? 3 5 ；
（） (m ? n)2 和(m ? n)2
? ? 例、已知数列 an 是等差数列， a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ，则 a6 ? a7 ? ______ 。
变式、?an?为等差数列， a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ，则 a2 ? a8 ? _____
? ? 变式、 an 为等差数列， a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ?? ? a14 ? 77 .若 ak ?13.
求k .
例、在和之间插入两个数 a, b ，使这四个数成等差数列，则 a, b 的值各是多少？
例、三个数成等差数列，它们的和是，它们的平方和等于，求这三个数.
例、夏季高山上的温度从山脚起，每升高米降低 0.7℃，已知山顶处温度是℃，山脚处的温 度是 26℃，求这山相对于山脚处的高度.
【巩固练习】
、判定下列说法是否正确，正确的打“√”，不正确的打"×".
()三个数 a,b, c 满足 b ? a ? c ，则数列 a,b, c ，数列 c,b, a 均为等差数列. ( ) 2
()一个等差数列的任意连续三项，中间一项总是前后两项的等差中项.
()
? ? ? ? ()若数列
an
满足 an?1
?
an?2 ? 2
an
(n ? ?*) ，则数列
an
是等差数列.
()
()等差数列?an?中，若 m ? n ? 2k(m, n, k ? ?*) ，则 am ? an ? 2ak .
()
? ? 、已知数列 an 满足 2an ? an?1 ? an?1(n ? 2) ,且 a3 ? a6 ? a9 ? 10 ,则 a6 .
、 ?ABC 中，角 A，B,C ，成等差数列 则 ?B 、若关于的方程 x 2 ? x ? a ? 0 和 x 2 ? x ? b ? 0(a ? b) 的四个根组成首项为 1 的等差数列，
4 求a?b
2.2.3 等差数列的前 n 项和（）
【学习目标】 、通过实例探索，掌握等差数列前 n 项和公式及其推导;
、能灵活应用公式.
【重点难点】
等差数列求和公式及其应用。
【自主学习】
一、问题情境
情境、求和1? 2 ? 3???100.
二、问题探索 问题、如何较简便地解决以上两个问题？
问题、设?an?是等差数列，其前 n 项和记为 Sn ，你能由以上特殊例子类比推导出 Sn 吗？
问题、若根据等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d .将每一项分解成两个部分，是否可以同
样得到以上结论？
三、数学构建
、等差数列?an?的前 n 项和公式：
Sn .
、说明： ()两个公式中的基本量有;
()记忆方法;
()将 Sn 整理成关于 n 的二次式，则 Sn 时， Sn 是关于 n 的二次函数，其常数项是.
四、知识应用
例、在等差数列 ?an ?中，
()已知 a1 ? 3, a50 ? 101, 求S50;
()已知
a1
?
3, d
?
1 2
, 求S10.
例、在等差数列?an?中，已知 d
?
1 2
, an
?
3 2
, Sn
?
?
15 2
,
求
a1及 n.
? ? 例、在等差数列 an 中，已知 a5 ? a10 ? 58, a4 ? a9 ? 50 ，求它的前项的和 S10 .
例、在等差数列 ?an ?中，
()已知 a4 ? a14 ? 1, 求此数列前项的和; ()已知 a11 ? 20, 求此数列前项的和； ()已知该数列前项的和 S11 ? 66 ,求第项.
找到规律 【巩固练习】
、在等差数列 ?an ?中，
()已知 a1 ? 7, a10 ? ?43,求S10; ()已知 a1 ?100, d ? ?2,求S50; ()已知 a15 ? ?10, d ? 2,求S20; ()已知 a5 ? 8, a9 ? 24, 求an和Sn .
、在等差数列 1 , 1 , 1 , 2 ,?中, 6323
()求前项的和;
()已知前 n 项的和为 155 ,求 n 的值. 2
、等差数列{an}中， a4 ? 0.8, a11 ? 2.2 ，求 a51 ? a52 ? ? ? a80
2.2.3 等差数列的前 n 项和（）
【学习目标】
、理解等差数列的性质并会应用;
、掌握公式
an
?
???SS1n(?n
S n ?1 (n ? 1)
?
2)
.
【自主学习】
一、问题探索
问题、()在等差数列 ?an?中，已知第项到第项的和为，第项到第项的和为，求第项到第项的
和.
【小结】：方法：,
? ? ()如果等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，那么 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 是否成等差数列？你能得
到更一般的结论吗？
? ? （）如果等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，那么 s6 , s12 ? s6 , s18 ? s12 是否成等差数列？你能得
到更一般的结论吗？
【小结】：一般结论是：.
()用问题（）中的结论如何解决问题（）中的问题？哪种方法更简洁？
问题、（）设
?an
?为等差数列，
Sn
为数列
?an
?的前
n
项和，则数列
? ? ?
Sn n
? ? ?
是否为等差数列?如
果是，请证明；如果不是，说明理由.
例、设 ?an ?为等差数列,
Sn 为数列?an?的前 n
项和，已知 S7
?
7, S15
?
75
.设 Tn
为数列
? ? ?
Sn n
? ? ?
的前 n 项和,求Tn .
问题、()已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 25n ? 2n2 ，求证：?an?是等差数列.
()已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 25n ? 2n2 ?1,求 an ，?an?是否为等差数列？
问题、等差数列的前 n 项和 Sn
与 an
的关系 Sn
?
(a1
? an )n 2
?
已知等差数列
?an
?和
?bn
?的前
n
项和为
Sn
和
Tn
，若
a5 b5
?
3 5
，则 S9 T9
?
【小结】：、已知 Sn ，求 an 时可用公式 an .
、当 Sn 满足条件时,?an?是等差数列.
【巩固练习】
? ? 、在等差数列 an 中， a1 ? a13 ? 6, 则 S13 .
、已知数列?an?是等差数列，若 a1 ? 1, a2 ? 4 ，则 S10 .
、已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 2n2 ,求它的通项公式. ? ? 、已知数列 an 为等差数列, Sm ? 30, S2m ? 100 ，求 S3m .
、求正整数列前 n 个偶数的和 、求正整数列前 n 个奇数的和
、三位正整数的集合中有多少个数是的倍数？并求它们的和。
、在正整数的集合中有多少个数,是三位数？并求它们的和。
、有两个等差数列，…，和，…，，由这两个等差数列公共项按从小到大组成一个新数列，求 这个新数列的各项和。
思考：()已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项的和为 44 ，偶数项的和为 33 ，
求此数列的中间项及项数。
()设等差数列?an ?共有项，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，求 n 。
（）数列
?1?
? ?
n(n
?
1)
? ?
的前
n
项和
sn
?
1 1? 2
?
1 2?3
?
1 3? 4
?
1 4?5
?…
?
1 n? (n
? 1)
研究一
下，能否找到求 sn 的一个公式，你能对这个问题做一些推广吗？
2.2.3 等差数列的前 n 项和（）
【学习目标】
能运用等差数列的知识解决实际问题.
【自主学习】
一、问题探索 问题、某剧场有排座位，后一排比前一排多个座位，最后一排有个座位，这个剧场共有
多少个座位？
【小结】：、解决应用题的一般步骤：.
、数列应用题分理数据的方法：. 例、某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径 40mm,满盘时直径 120mm,已知卫生纸的厚 度为 0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到 1m）?
例、为了参加冬季运动会的 5000m 长跑比赛，某同学给自己制订了天的训练计划：第天跑 5000m，以后每天比前一天多跑 500m。这个同学天一共跑多长的距离？
例、一个多边形的周长等于 158cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于 44cm，公 差等于 3cm，求多边形的边数。
例、在小于的正整数中共有多少个数被除余？这些数的和是多少？
例、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税.教育储蓄 的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生.假设零存整取年期教育储蓄的月利率为. （）欲在年后一次支取本息合计万元，每月大约存入多少元？ （）零存整取年期教育储蓄每月至少存入多少元？此时年后本息合计约为多少（精确到元）？
【巩固练习】
? ? 、求集合 m m ? 2n ?1, n ? ?*,且m ? 60 的元素的个数，并求这些元素的和.
、已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5? 的等差数列，且最小角为120? ，问它是几
边形.
、某钢材库新到根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆钢尽可能的少， 那么将剩余多少根圆钢？
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快 乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起 你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得, 学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情， 就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉。