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高中数学人教版必修五学案:等差数列 人教课标版(新教案)


2.2.1 等差数列()
【学习目标】
、理解等差数列的概念; 、会用定义判断等差数列,证明等差数列。
【重点难点】
判断、证明等差数列。
【自主学习】
一、问题情境 ); ), ); ); 阅读以上的数列,思考:它们有什么共同特点?

二、数学构建 、等差数列定义:;叫公差,用表示。 、定义可用式子表示为:。
、()当 d ? 0 时,数列的各项如何变化? ()当 d ? 0 时,数列的各项如何变化? ()当 d ? 0 时,数列的各项如何变化?
【典型例题】
例、判断下列数列是否为等差数列:

(1)1,1,1,1,1; (2)4,7,10,13,16; (3) ? 3,?2,?1,1,2,3;

例、求出下列等差数列中的未知项:

(1)3, a,5; (2)3,b, c,?9

? ? 例、()在等差数列

an

中,是否有 an

?

an?1

? an?1 2

(n

?

2) ?

? ? ()在数列

an

中,如果对于任意的正整数 n(n

?

2) ,都有 an

?

an?1

? 2

an?1

,那么数列

?an ?一定是等差数列吗?

【知识拓展】

已知数列?an?的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p, q 是常数,那么,这个数列是否一定为等差
数列?若是,首项与公差分别是多少?

【巩固练习】

、已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:

() ( );

() , 2 ,( );

() ,( ),( ).

、已知 a1, a2 , a3,?, an , an?1,?, a2n 是公差为 d 的等差数列.

() an , an?1,?, a2 , a1 也成等差数列吗?如果是,公差是多少?

() a2 , a4 , a6 ,?, a2n 也成等差数列吗?如果是,公差是多少?

() a2n , a2n?1, a2n?2 , …, a3 , a2 , a1 也成等差数列吗?如果是,公差是多少?

() a5 , a6 , a7 , …, a100 也成等差数列吗?如果是,公差是多少?

、已知等差数列?an?的首项为 a1 ,公差为 d .
()将数列 ?an?中的每一项都乘以常数 a ,所得的新数列仍是等差数列吗?如果是,公差是多
少?
()由数列 ?an?中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列 ?cn?是等差数列吗?如果是,它的
首项和公差分别是多少?

2.2.1 等差数列()
【学习目标】
、探索并掌握等差数列的通项公式; 、理解通项公式与一次函数的关系; 、培养观察、分析、归纳、推理能力。
【重点难点】
通项公式及其应用。
【自主学习】
一、问题情境 、等差数列的定义,用式子表示为:。

、设 ?an?为首项为 a1 ,公差为 d ,如何用 a1, d 表示 an ?
. 3、如何得到以上结论的? 二、问题探究
问题、由等差数列的定义:
a2 ? a1 ? d即a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d即a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d ?
于是可归纳得到: an ? 。
问题、由等差数列定义:
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d ? an ? an?1 ? d (n ? 2)
将以上 n ?1个式叠加可得: an ? 。 当 n ? 1时,成立吗? 问题、当 d ? 0 时, an 可以看成关于 n 的函数.
问题、若 an ? kn ? b ,则?an?是等差数列吗?为什么?
问题、()第一届现代奥运会于年在希腊雅典举行,此后每年举行一次.奥运会如因故不能 举行,届数照算. ①试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; ②年北京奥运会是第几届?年举行奥运会吗?
()在等差数列?an?中,已知 a3 ? 10, a9 ? 28 ,求 a12 .
问题、 an ? am ? (n ? m)d (m, n ? ?*) ,?an?是等差数列吗?如何证明?公差 d 是多少?
问题、已知等差数列?an?的通项公式为 an ? 2n ?1,求首项 a1 和公差 d .
【巩固练习】 、已知 a1 ? 2, d ? 3, n ? 10, 求 an
已知 a1 ? 3, an ? 21, d ? 2, 求 n
已知 a1 ? 12, a6 ? 27 求 d

已知 d

?

?

1 3



a7

? 8求 a1

、()求等差数列 8,5,2,? 的第项;

()等差数列 ? 5,?9,?13,? 的第几项是? ()是不是等差数列 0,? 7 ,?7,? 的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
2
、一个等差数列的第项等于第项与第项的和,且公差是,试求首项和第项.
? ? 、数列 an 中, a1 ? 2,2an?1 ? 2an ? 1, n ? ?* ,则 a101 。 、数列 ?an?是等差数列, a1 ? ?20 (1) 若,则数列 ?an?中哪些项是正数? (2) 若数列 ?an?中第项开始为正数,求的取值范围

2.2.1 等差数列()
【学习目标】
、理解等差中项的概念; 、理解并能用等差数列性质解决问题; 、能解决与等差数列有关的实际问题。
【重点难点】
等差中项性质及其应用。
【自主学习】
一、问题情境 (1)求实数,使,,这三个数成等差数列. (2)在数列,,,,,,,,.....中
① a2 ? a4 ? _____,a1 ? a5 ? _____,
② a4 ? a6 ? ____,a3 ? a7 ? ____,a2 ? a8 ? _____;
③ 2a4 ? a1 ? a7 吗? a4 ? a1 ? a3 吗?
猜想在等差数列 ?an ?中有何规律?
二、数学构建
、如果 a, A, b 这三个数成等差数列,则 A 叫做 a, b 的 A ,

当 a, b 确定时, A 有个。

、已知数列?an?是等差数列, m, n, p, q ? ?*
如果 m ? n ? p ? q ,那么应有;

特别地, 2m ? p ? q 时,应有.

注意:.

【典型例题】

例、如果 a, A, b 这三个数成等差数列,那么 A ? a ? b 。我们把 A ? a ? b 叫做

2

2

a和b 的等差中项。试求下列各组数的等差中项:

() 7 ? 3 5和7 ? 3 5 ;

() (m ? n)2 和(m ? n)2

? ? 例、已知数列 an 是等差数列, a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a6 ? a7 ? ______ 。

变式、?an?为等差数列, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 ? _____

? ? 变式、 an 为等差数列, a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ?? ? a14 ? 77 .若 ak ?13.
求k .
例、在和之间插入两个数 a, b ,使这四个数成等差数列,则 a, b 的值各是多少?

例、三个数成等差数列,它们的和是,它们的平方和等于,求这三个数.

例、夏季高山上的温度从山脚起,每升高米降低 0.7℃,已知山顶处温度是℃,山脚处的温 度是 26℃,求这山相对于山脚处的高度.

【巩固练习】

、判定下列说法是否正确,正确的打“√”,不正确的打"×".

()三个数 a,b, c 满足 b ? a ? c ,则数列 a,b, c ,数列 c,b, a 均为等差数列. ( ) 2

()一个等差数列的任意连续三项,中间一项总是前后两项的等差中项.

()

? ? ? ? ()若数列

an

满足 an?1

?

an?2 ? 2

an

(n ? ?*) ,则数列

an

是等差数列.

()

()等差数列?an?中,若 m ? n ? 2k(m, n, k ? ?*) ,则 am ? an ? 2ak .

()

? ? 、已知数列 an 满足 2an ? an?1 ? an?1(n ? 2) ,且 a3 ? a6 ? a9 ? 10 ,则 a6 .
、 ?ABC 中,角 A,B,C ,成等差数列 则 ?B 、若关于的方程 x 2 ? x ? a ? 0 和 x 2 ? x ? b ? 0(a ? b) 的四个根组成首项为 1 的等差数列,
4 求a?b
2.2.3 等差数列的前 n 项和()
【学习目标】 、通过实例探索,掌握等差数列前 n 项和公式及其推导;
、能灵活应用公式.
【重点难点】
等差数列求和公式及其应用。
【自主学习】
一、问题情境
情境、求和1? 2 ? 3???100.
二、问题探索 问题、如何较简便地解决以上两个问题?
问题、设?an?是等差数列,其前 n 项和记为 Sn ,你能由以上特殊例子类比推导出 Sn 吗?
问题、若根据等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d .将每一项分解成两个部分,是否可以同
样得到以上结论?
三、数学构建
、等差数列?an?的前 n 项和公式:
Sn .
、说明: ()两个公式中的基本量有;

()记忆方法;
()将 Sn 整理成关于 n 的二次式,则 Sn 时, Sn 是关于 n 的二次函数,其常数项是.

四、知识应用
例、在等差数列 ?an ?中,
()已知 a1 ? 3, a50 ? 101, 求S50;

()已知

a1

?

3, d

?

1 2

, 求S10.

例、在等差数列?an?中,已知 d

?

1 2

, an

?

3 2

, Sn

?

?

15 2

,



a1及 n.

? ? 例、在等差数列 an 中,已知 a5 ? a10 ? 58, a4 ? a9 ? 50 ,求它的前项的和 S10 .

例、在等差数列 ?an ?中,
()已知 a4 ? a14 ? 1, 求此数列前项的和; ()已知 a11 ? 20, 求此数列前项的和; ()已知该数列前项的和 S11 ? 66 ,求第项.

找到规律 【巩固练习】

、在等差数列 ?an ?中,
()已知 a1 ? 7, a10 ? ?43,求S10; ()已知 a1 ?100, d ? ?2,求S50; ()已知 a15 ? ?10, d ? 2,求S20; ()已知 a5 ? 8, a9 ? 24, 求an和Sn .
、在等差数列 1 , 1 , 1 , 2 ,?中, 6323
()求前项的和;
()已知前 n 项的和为 155 ,求 n 的值. 2
、等差数列{an}中, a4 ? 0.8, a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ? ? ? a80

2.2.3 等差数列的前 n 项和()
【学习目标】
、理解等差数列的性质并会应用;

、掌握公式

an

?

???SS1n(?n

S n ?1 (n ? 1)

?

2)

.

【自主学习】
一、问题探索
问题、()在等差数列 ?an?中,已知第项到第项的和为,第项到第项的和为,求第项到第项的
和.

【小结】:方法:,
? ? ()如果等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,那么 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 是否成等差数列?你能得
到更一般的结论吗?
? ? ()如果等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,那么 s6 , s12 ? s6 , s18 ? s12 是否成等差数列?你能得
到更一般的结论吗?
【小结】:一般结论是:.
()用问题()中的结论如何解决问题()中的问题?哪种方法更简洁?

问题、()设

?an

?为等差数列,

Sn

为数列

?an

?的前

n

项和,则数列

? ? ?

Sn n

? ? ?

是否为等差数列?如

果是,请证明;如果不是,说明理由.

例、设 ?an ?为等差数列,

Sn 为数列?an?的前 n

项和,已知 S7

?

7, S15

?

75

.设 Tn

为数列

? ? ?

Sn n

? ? ?

的前 n 项和,求Tn .

问题、()已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 25n ? 2n2 ,求证:?an?是等差数列.

()已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 25n ? 2n2 ?1,求 an ,?an?是否为等差数列?

问题、等差数列的前 n 项和 Sn

与 an

的关系 Sn

?

(a1

? an )n 2

?

已知等差数列

?an

?和

?bn

?的前

n

项和为

Sn



Tn

,若

a5 b5

?

3 5

,则 S9 T9

?

【小结】:、已知 Sn ,求 an 时可用公式 an .

、当 Sn 满足条件时,?an?是等差数列.
【巩固练习】
? ? 、在等差数列 an 中, a1 ? a13 ? 6, 则 S13 .

、已知数列?an?是等差数列,若 a1 ? 1, a2 ? 4 ,则 S10 .

、已知数列?an?的前 n 项和 Sn ? 2n2 ,求它的通项公式. ? ? 、已知数列 an 为等差数列, Sm ? 30, S2m ? 100 ,求 S3m .
、求正整数列前 n 个偶数的和 、求正整数列前 n 个奇数的和
、三位正整数的集合中有多少个数是的倍数?并求它们的和。

、在正整数的集合中有多少个数,是三位数?并求它们的和。
、有两个等差数列,…,和,…,,由这两个等差数列公共项按从小到大组成一个新数列,求 这个新数列的各项和。

思考:()已知等差数列{an}的项数为奇数,且奇数项的和为 44 ,偶数项的和为 33 ,
求此数列的中间项及项数。

()设等差数列?an ?共有项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,求 n 。

()数列

?1?

? ?

n(n

?

1)

? ?

的前

n

项和

sn

?

1 1? 2

?

1 2?3

?

1 3? 4

?

1 4?5

?…

?

1 n? (n

? 1)

研究一

下,能否找到求 sn 的一个公式,你能对这个问题做一些推广吗?

2.2.3 等差数列的前 n 项和()
【学习目标】
能运用等差数列的知识解决实际问题.
【自主学习】
一、问题探索 问题、某剧场有排座位,后一排比前一排多个座位,最后一排有个座位,这个剧场共有
多少个座位?
【小结】:、解决应用题的一般步骤:.
、数列应用题分理数据的方法:. 例、某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径 40mm,满盘时直径 120mm,已知卫生纸的厚 度为 0.1mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到 1m)?
例、为了参加冬季运动会的 5000m 长跑比赛,某同学给自己制订了天的训练计划:第天跑 5000m,以后每天比前一天多跑 500m。这个同学天一共跑多长的距离?
例、一个多边形的周长等于 158cm,所有各边的长成等差数列,最大边的长等于 44cm,公 差等于 3cm,求多边形的边数。

例、在小于的正整数中共有多少个数被除余?这些数的和是多少?
例、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄 的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取年期教育储蓄的月利率为. ()欲在年后一次支取本息合计万元,每月大约存入多少元? ()零存整取年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时年后本息合计约为多少(精确到元)?
【巩固练习】
? ? 、求集合 m m ? 2n ?1, n ? ?*,且m ? 60 的元素的个数,并求这些元素的和.
、已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5? 的等差数列,且最小角为120? ,问它是几
边形.
、某钢材库新到根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆钢尽可能的少, 那么将剩余多少根圆钢?
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功的。 快 乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起 你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者千虑,必有一得, 学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不畏困难强敌;热情, 就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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