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三角函数的诱导公式教案


§1.3 三角函数的诱导公式
教学目标:
(一)知识目标 理解并掌握三角函数诱导公式二~四的推导过程及应用. (二)能力目标 通过诱导公式的推导,培养学生的创新能力;通过类比、归纳思维的训练,培养 学生把未知转化为已知的能力. (三)情感目标 通过诱导公式的引导、发现,让学生感受数学探索的成就感,激发学生的学习热 情及兴趣,让学生养成善于观察、思考、发现的好习惯.

教学重点:诱导公式二~四的推导过程及灵活运用. 教学难点:如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中,发现问题,
解决问题.以及推导过程中数形关系的转换,符号的判定.

教学过程
(一)设置情景 (1)复习回顾 回忆复习 1.2节 学习的三角函数诱导公式一:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? cos ?? ? 2k? ? ? cos ? , k ? Z tan ?? ? 2k? ? ? tan ?
提出问题:公式一的作用是什么? 分析: 利用诱导公式一可以将任意角的三角函数值转化为求 0 到 2?(或 0? ? 360? ) 角的三角函数值. (2)思考
cos 10? ?? 3

(二)探究新知 1.小组合作探究 给定一个角 ? 1)角 ? ? ? 的终边与角 ? 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?

2)角 ? ? 的终边与角 ? 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? 3)角 ? ?? 的终边与角 ? 的终边有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系? 教师启发及学生共同探讨得出: 1)角 ? ? ? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称; 2)角 ? ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称; 3)角 ? ?? 的终边与角 ? 的终边关于直线 y ? x 对称. 2.教师引导推出诱导公式二 以问题 1)为例,引导学生思考,角的对称关系怎样得出三角函数的关系? 角 ? ? ? ——————角 ? 终边与单位圆交点

P??? x, ? y ? ————— P( x, y )

? ??

y
P??? ? ?x, y ?

?
P ? x, y ?

sin ?? ? ? ? ? ? y
同理
cos ?( ? ? ?)? x
?y y tan ?? ? ? ? ? ? ?x x
所以

sin ? ? y;

o
P??? x, ? y ?

1

x

c o? s ? x;
y tan ? ? ; x

P?? ? x, ? y ?
??

? ??

sin?? ? ? ? ? ? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? ? cos ? ; tan(? ? ? ) ? tan ? .

从而得到诱导公式二:

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? ? cos ? . tan ?? ? ? ? ? tan ?
3.同学们分组合作,完成公式三和四的推导. 诱导公式三:

sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos ? ; tan ? ?? ? ? ? tan ?
诱导公式四:

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ?? ? ? ? ? ? cos ? . tan ?? ? ? ? ? ? tan ?
分析同学们对上述两个公式的推导过程,对于公式四,提出新的推导方法,通过
1

类比 a ? b ? a ? (?b) 的形式,考虑到 ? ? ? ? ? ? (?? ) ,从而利用本节课已经学习的公式 二和三,推导出公式四,将未知转化为已知.有 sin ?? ? ? ? ? sin(? ? (?? )) ? ? sin(?? ) ? sin ?

cos ?? ? ? ? ? cos(? ? (?? )) ? ? cos(?? ) ? ? cos ? tan ?? ? ? ? ? tan(? ? (?? )) ? ? tan(?? ) ? tan ?
4.公式说明:引导学生通过对比记忆学过的四组公式,即: ? ? 2k? (k ? Z) , ?? ,

? ? ? 的三角函数值,等于 ? 角的同名三角函数值,前面加上一个把 ? 角看成锐角时
的原函数的符号. (函数名不变,符号看象限) (三)例题讲解 例 1 利用公式求下列三角函数值: 16? cos(? ). 负角 3 16? ) 解:原式 ? cos( 3 正角 4? ? cos(4? ? ) 3 4? ? cos 0 ? 2? 3 ? ? cos(? ? ) 3 ? 锐角 ? ? cos 3 1 ?? 2 (四)巩固练习 练习: 化简
sin(? ? 180?) cos(?? )sin(?? ? 180?) .

例2

化简

cos(180? ? ? ) ? sin(? ? 360?) . sin(?? ? 180?) ? cos(?180? ? ? )

解: cos(180? ? ? ) ? ? cos ?
sin(? ? 360?)=sin ? sin(?? ?180?) ? ? sin(? ? 180?) ? sin ? c o s? ( 18 ?0 ? ? ? ) c o s (?1 ? ? 8 0 ? ?) ? cos

原式 ?

? cos ? ? sin ? ?1 sin ? ? (? cos ? )

解: sin(? ? 180?) ? ? sin ?
cos(?? ) ? cos ? sin(?? ?180?) ? ? sin(? ? 180?) ? sin ?
原式 ? ? sin ? ? cos ? sin ?
2 ? ?s i n ? co ?s

(五)课时小结 (1)知识:诱导公式二~四的推导过程及应用.
2

(2)方法:结合三角函数的定义,根据单位圆中角的终边的对称性来推导公式. (3)思想:学会利用数形结合、类比、归纳的思想,将未知转化为已知求解问题. (六)作业布置 1)P27: 3(2) ,4. 2)思考 1:诱导公式一~四的作用? 思考 2:如果 ? 的终边不在第一象限,推导出的诱导公式与在第一象限时是否 相同?那么老师为什么要通过第一象限来分析呢?

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