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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十二节变化率与导数的概念、导数的运算 理


第十二节 变化率与导数的概念、导数的运算 1.导数概念及其几何意义. (1)了解导数概念的实际背景; (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算. 1 (1)能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x x ,y= x的导数; (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数; (3)能求简单的复合函数[仅限于形如 f(ax+b)]的导数. 1 2 知识梳理 一、导数的概念 1.平均变化率:已知函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有改变量 Δ x,那么函数 y Δy 相应地有改变量 Δ y=____________, 比值 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δ x 之间的平 Δx 均变化率. 2.函数在 x=x0 处导数的定义: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 在 x=x0 的附近改变量为 Δ x 时,函数值的改变量为_______,如果 Δ x 趋近于 0 时,平均 f(x0+Δ x)-f(x0) 变化率______趋近于____,即_______=liΔ m =m,这个常数 m 叫 x→0 Δx 做函数 f(x)在点 x0 处的_______. 函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率又称为函数 y=f(x)在 x =x0 处的导数,记作_______或________,即____________.如果函数 y=f(x)在 x0 处有导 数(即导数存在),则说函数 f(x)在 x0 处可导.如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则说函数 f(x)在区间(a,b)内可导. Δy 3.导函数的定义: 表示函数的平均改变量,它是 Δ x 的函数,而 f′(x0)表示一个 Δx Δy 确定的数值,即 f′(x0) = li Δ m . 当 x 在区间 (a , b) 内变化时, f′(x) 便是 x 的 x→0 Δ x ___________,我们称它为__________(简称导数).y=f(x)导函数有时记作 y′,即 f′(x) f(x+Δ x)-f(x) =y′=Δ lim . x→0 Δx 第 1 页 共 4 页 二、导数的几何意义及物理意义 导数的几何意义:函数 f(x)在点 x0 处导数的几何意义就是__________________.相应 的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 导 数 的 物 理 意 义 : 位 移 函 数 s = s(t) 在 t0 处 的 导 数 s′(t0) 是 ________________________,即 v=s′(t0).速度函数 v=v(t)在 t0 处的导数 v′(t0)是 ______________________________,即 a=v′(t0). 三、导数的运算 m 1. 几种常见函数(基本初等函数)的导数: c′=______(c 为常数); (x )′=______(m∈Q ?1? 且 m≠0);? ?′=______;( x)′=_____;(sin x)′=_____;(cos x)′=________; ?x? (logax)′=______(a>0 且 a≠1);(ln x)′=______(x>0);(a )′____(a>0 且 a≠1); x (e )′= ____ . 2.导数四则运算法则. (1)和、差的导数:[u(x)±v(x)]′=______________(口诀:和与差的导数等于导数的 和

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