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3.1 数系的扩充与复数的概念


3.1

数系的扩充与复数的概念

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数 Q

R
实数 ?

Z

N

知识引入

对于一元二次方程

x ?1? 0
2

没有实数根.

思考

x ? ?1
2

能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中, 问题能得到解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

现在引入一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定:

(1)i 2 ? ?1;
(2)实数可以与 i 进行四则运算,原有的加法与 乘法的运算率(交换率、结合率和分配率)仍然成立。

形如 a+bi (a,b∈R) 的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母 C 表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

复数集,虚数集,实数集,纯虚数集之间关系?

复数集
虚数集 纯虚数集 实数集

1.下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪 些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。

2 ? 7 0.618

i

2

i 1? 3

?

?

2 0 i 7 3 ? 9 2 i 5i +8,

2、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数

(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

? ?m ? 1 ? 0
2

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

我们知道若

a ? bi ? 0 则

0 0 a ? _____ b ? _____

如何定义两个复数的相等?
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

注意:一般对两个复数只能说相等或不相等; 不能比较大小。

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ?

例2 已知 (2 x ? 1) ? i 求 x与 y .

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R
转化

解题思考: 复数相等 的问题 求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想:转化思想
1、若x,y为实数,且

求x,y

?

x ? y ? x ? yi ? 2 ? 4i
2 2

?

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值.

i

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

B

n?Z

*

i
i

4n

?
?

1

4n?2

-1

i ? i 4 n ?3 i ? ?i

4 n ?1

实数可以用数轴上的点来表示。

实数
(数 )

一一对应

数轴上的点
(形 )

规定了

直线

正方向,

原点,单位长度

数轴
1

o

x

(几何模型)

你能否找到用来表示复数的几何模型呢?

有序实数对(a,b)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

y

直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

概念辨析

例题

能否把绝对值概念推广到复数范围呢? 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 实数 a 在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a
O

A

X

? a (a ? 0) | a | = | OA | ? ? ?? a (a ? 0)

z=a+bi Z (a,b)
O

y

x

| z | = |OZ| ? a ? b
2

2

例3 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)复数的模能否比较大小? (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复

数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
图示

y

满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 数z对应的点在复平 面上将构成怎样的–5 图形? 设z=x+yi(x,y∈R)

5

5
O x

? z ? x ? y ?5
2 2

x y

-5 -4 -3 0 3 4 5 0 ?3 ?4 ?5 ?4 ?3 0

–5

辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限, 求实数m允许的取值范围。
变式:证明对一切m,此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 解题思考: 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想:数形结合思想


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