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三角函数复习提升例题选(涵盖高考三角函数所有考法)


1. 三角函数的定义 例 1. 如图, o x 为始边作角 ? 与 ? (0< ? < ? < ? ) 以 ,它们的终边分别于单位圆相交于点 P、 y Q,已知点 P 的坐标为( ?
3



4

) P
?

5 5 sin 2 ? ? co s 2 ? ? 1 的值 ; (1) 求 1 ? tan ? ??? ???? ? (2) 若 O P ?O Q ? 0, 求 sin( ? + ? ) 。

Q
?
x

O

例 2.如图,A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限。C 是圆 O 与 x 轴 正半轴的交点, ? A O B 为正三角形。记 ? A O C ? ? 5 12 sin ? y (1) 若 A 点的坐标为( , ) ,求 的值; ? ? ? 13 13 2 ?
2 tan ( ? ) sin ( ? ) 4 2 4 2
2

(2) 求 B C 的取值范围。

B

A C O
x

2.三角恒等变换与求值 例 3.已知 co s(? ? ? ) ? ? (1) sin(2 ? ? ? ) ;
sin[? +(2k +1)? ]+sin[? -(2k +1)? ] sin (? ? 2 k ? ) ?co s(? ? 2 k ? )

1 2

,且 ? 是 第 四 象 限 角 , 计 算 :

(2)

(k ? z ) 。

例 4.已知 f (? ) ?

sin ( ? ? ? ) co s( 2 ? ? ? ) tan ( ? ? ? ? ) ? tan ( ? ? ? ? ) sin ( ? ? ? ? )

(1) 化简 f (? ) ; (2) (2)若 ? 是第三象限角,且 co s(? ?
3? 2 )? 1 5 , 求 f (? )的 值 。

例 5.已知 sin (? ?
?
4

?
2

)? ?

5 5

, ? ? (0, ? )

co s (

2

?

?

) ? co s (
2

?

?

?

)

(1)求

2 4 2 sin ( ? ? ? ) ? co s(3? ? ? )

的值;

(2)求 co s( 2 ? ?

3? 4

) 的值。

例 6. 已知

3? 4

? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ?

10 3

(1)求 tan ? 的值;
5 sin
2

?
2

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

(2)求

2 sin (? ?

?
4

的值。

)

例 7.已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? co s x ?

1 5

(1)求 sin x ? cos x 的值;
3 sin
2

x 2

? 2 sin

x

co s

x

? co s

2

x 2 的值。

(2)求

2 2 tan x ? co t x

例 8.已知 co s ? ?

1 7

, co s(? ? ? ) ?

13 14

,且 0 ? ? ? ? ?

?
2

(1)求 tan 2 ? 的 值 ; (2)求 ? 的 值 。

例 9.已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? , tan

?
2

?

1 2

, co s( ? ? ? ) ?

2 10

(1)求 sin ? 的 值 ; (2)求 ? 的 值 。

例 10.已知 co s(

?
4

??) ?

3 5

, sin (

5? 4

? ?)? ?

12 13

,? ?(

? 3?
, 4 4

) , ? ? (0,

?
4

),

求 sin( ? + ? ) 的 值 。

例 11.已知 ? , ? ? (0,

?
2

), 且 3 sin ? ? sin ( 2 ? ? ? ), 4 tan

?
2

? 1 ? tan

2

?
2

, 求? ? ? 的 值 。

3.三角函数与向量 例 12. ? A B C 中内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,向量 m =(2sinB, - 3 )
? 2 n =(cos2B, 2 C O S
B 2 ?1

?

),且 m ∥ n

?

?

(1) 求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 ? A B C 的面积 S ? A B C 的最大值。

例 13.? A B C 中内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,向量 m ? ( 3 , cos(? ? A ) ? 1) ,
? ? ? ? n ? (co s( ? A ),1) ,且 m ? n 2

?

(1) 求角 A 的大小; (2) 若 a =2, cos B =
3 3

,求 b 的大小。

例 14. 已知 ? A B C 中, 设内角 A, C 的对边分别为 a , c, B, b, 向量 m ? (sin B ,1 ? co s B ) , 向量 n ? (2, 0) 的夹角的余弦值为
?

?

1 2

(1)求角 B 的大小; (2)若 ? A B C 的外接圆半径为 1,求 a ? c 的取值范围。

例 15.在 ? A B C 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,向量
? ? ? ? m ? (co s A , sin A ), 向 量 n ? ( 2 ? sin A , co s A ), 若 m ? n ? 2

(1)求角 A 的大小; (2) 若 b ? 4 2,且 c ?
2 a , 求 ? A B C的 面 积 。

例 16.已知向量 m ? ( 3 sin 2 x , co s x ), n ? (1, 2 co s x ) ,设函数 f ( x ) ? m ? n (1)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 图象的对称轴方程; (3)当 x ? ? ? 2 ? , 2 ? ? ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间。

?

?

?

?

例 17.已知 a ? (sin ( w x ? ? ), 2 ), b ? (1, co s( w x ? ? )), ( w ? 0, 0 ? ? ?

?

?

?
4

) ,函数

? ? ? ? f ( x ) ? ( a ? b )( a ? b ), y ? f ( x )的 图 象 的 相 邻 两 对 称 轴 之间的距离为 2,且过点

M (1, )
2

7

(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2011) 的 值 。

例 18.已知 ? A B C 的面积为 3,且满足 0 ? A B ?A C ? 6, 设 A B 与 A C 的夹角为 ? (1)求 ? 的取值范围; 2 ? (2)求 f (? ) ? 2 sin ( ? ? ) ? 3 cos 2 ? 的 最 值 。
4

??? ???? ?

??? ?

????

4.三角函数
f 例 19.已知函数 ( x ) =2cos x ? 2 3 sin x cos( ? x ) ? a ( a ? R )
2

(1)若 f ( x ) 有最大值 2,求实数 a 的大小; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间

例 20.已知函数 f ( x ) ?

3 (sin x ? cos x ) ? 2 sin x cos x
2 2

(1) 求 f ( x ) 的最小正周期;
? ?

(2) 设 x ? ? ?

? ? ?
, 3

,求 f ( x ) 的值域和单调递增区间 3? ?

例 21.已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? a cos x ( a ? R , a 为 常 数 ), 且
2

?
4

是函数 y ? f ( x ) 的零

点 (1) 求 a 的值,并求函数 f ( x ) 的最小正周期;
? ?

(2) 当 x ? ? 0 ,

? ?

时,求函数 f ( x ) 的值域,并写出 f ( x ) 取得最大值时对应的 x 值。 2? ?

例 22.设函数 f ( x ) ? co s( 2 x ?

?
3

) ? sin x
2

(1)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)利用“五点法”画出函数 f ( x ) 在一个周期内的图象; (3)说明此图象是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到的。

例 23.设函数 f ( x ) ? sin (

?
4

x?

?
6

) ? 2 co s

2

?
8

x ?1

(1)求函数 f ( x ) 最小正周期;
? ? 4? ?

(2) 若函数 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x )的 图 象 关 于 x = 1 对 称 , 求 x ? ? 0, ? 时,y ? g ( x ) 的 3 最大值。

例 24.已知函数 f ( x ) ? sin w x ?
2

3 sin w x sin ( w x ?

?
2

)( w ? 0 )的 最 小 正 周 期 为 ?

(1)求 w 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0 ,
? ? 2? ? 上的取值范围 。 3 ? ?

例 25.已知函数 f ( x ) ? A sin ( w x ? ? ), x ? R , ( 其 中 A ? 0, w ? 0, 0 ? ? ?
x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

) 的图象与 2? 3 , ?2)

?
2

,且图象上的一个最低点为 M (

(1)求 f ( x ) 的解析式;
?? ? ? (2)当 x ? ? , ? 时 , 求 f ( x )的 值 域 。 ? 12 2 ?

例 26.已知函数 f ( x ) ? sin ( w x ? (1)求函数 f ( x ) 的值域;

?
6

) ? sin ( w x ?

?
6

) ? 2 co s

2

wx 2

, x ? R (w ? 0)

(2)若对任意的 a ? R , 函 数 y ? f ( x ), x ? ? a , a ? ? ? 的图象与直线 y ? ? 1 有且仅有两 个不同的交点,试确定 w 的值(不必证明) ,并求函数
y ? f ( x ), x ? R的 单 调 递 增 区 间 。

5.正弦定理与余弦定理 例 27.已知 ? A B C 中, a ,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,且 (1) 求角 B 的大小; (2) 若 b ?
1 3, a ? c ? 4, 求 ? A B C 的 面 积 。

co s B co s C

? ?

b 2a ? c

例 28.已知 ? A B C 中, a ,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,C=
b ? 5, ? A B C 的 面 积 为10 3

?
3



(1) 求 a ,c 的值; ? (2) 求 sin ( A ? ) 的值。
6

a b, 例 29. 在锐角 ? A B C 中, , c 分别是内角 A, C 的对边, a co s C , b co s B , c co s A B, 且 成等差数列 (1) 求角 B 的大小;

(2) 求 2 sin A ? co s( A ? C ) 的取值范围。
2

例 30.设锐角 ? A B C 中, a ,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, a ? 2 b sin A (1) 求角 B 的大小; (2) 求 cos A ? sin C 的取值范围。

例 31.已知 ? A B C 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? (1) 求边 AB 的长; (2) 若 ? A B C 的面积为 sin C , 求 角 C 的 度 数 。
6 1

2 sin C

例 32.设 ? A B C 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c 且 a tan B ? (1) 求 co s B 和 a ; 若 ? A B C 的面积为 S ? 10, 求 cos 4 C 的 值 。

20 3

, b sin A ? 4


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