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【备考2014】2013高考数学 (真题+模拟新题分类汇编)三角函数


三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数

?π ? 13.C1,C2,C6[2013?四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. 2 ? ?

C2

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1 13.C2[2013?全国卷] 已知 α 是第三象限角,sin α =- ,则 cot α =________. 3

?π ? 13.C1,C2,C6[2013?四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?

π? 1 ? 15.C2,C5[2013?新课标全国卷Ⅱ] 设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos θ = 4? 2 ? ________.

20.C2、C5、C6,C8[2013?重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2ab =c . (1)求 C;
2

2

2

3 (2)设 cos Acos B=

5

2 cos(α +A)cos(α +B) 2 , = ,求 tan α 的值. 2 cos α 5

9.C2、C6,C7[2013?重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( A. 2 B. 2+ 3 2 2-1

)

C. 3 D.2

C3

三角函数的图像与性质

3.A2、C3[2013?北京卷] “φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

)

-1-

D.既不充分也不必要条件

π? ? 1.C3[2013?江苏卷] 函数 y=3sin?2x+ ?的最小正周期为________. 4? ?

8.C3[2013?山东卷] 函数 y=xcos x+sin x 的图像大致为(

)

图 1-2

C4

函数

的图象与性质

15.C4[2013?新课标全国卷Ⅰ] 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ = ________.

π 16.C4[2013?安徽卷] 已知函数 f(x)=4cos ω x?sinω x+ (ω >0)的最小正周期为π . 4 (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间 0, 上的单调性. 2

20.C4,C9,B14[2013?福建卷] 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的周期为π ,图像的一

?π ? 个对称中心为? ,0?.将函数 f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到的图 ?4 ?
π 像向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图像. 2 (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式;

?π π ? (2)是否存在 x0∈? , ?,使得 f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 ?6 4?
的个数;若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2013 个零点.

-2-

综上,当 a=1,n=1342 或 a=-1,n=1342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2 013 个零 点.

4.C4[2013?湖北卷] 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到 的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) π π A. B. 12 6 π C. 3 5π D. 6 3sin x 的最小正周期 T 为________.
2

11.C4[2013?江西卷] 函数 y=sin 2x+2

? π? 17.C4[2013?辽宁卷] 设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ?
(1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a?b,求 f(x)的最大值.

π 5.C4[2013?山东卷] 将函数 y=sin(2x+φ )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图 8 像,则φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 π B. 4 ) π C.0 D.- 4

1 16.F3,C4[2013?陕西卷] 已知向量 a=cos x,- ,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a?b. 2 (1)求 f(x)的最小正周期;

? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

π π? ? 5. C4[2013?四川卷] 函数 f(x)=2sin (ω x+φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图像如图 1-4 所示, 则ω, 2 2? ? φ 的值分别是( π A.2,- 3 π C.4,- 6 ) π B.2,- 6 π D.4, 3

-3-

π 2 15.C4,C5[2013?天津卷] 已知函数 f(x)=- 2sin2x+ +6sin xcos x-2cos x+1,x∈R. 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值. 2

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切

17.C5、C8[2013?山东卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B 7 = . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值.

17.C5,C8,F1[2013?四川卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos 3 -sin (A-B)sin B+cos(A+C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

2

A-B cos B 2

π 2 15.C4,C5[2013?天津卷] 已知函数 f(x)=- 2sin2x+ +6sin xcos x-2cos x+1,x∈R. 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值. 2

17.C5,C8[2013?新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

17.C5,C8[2013?新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.
-4-

(1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. π? 1 ? 15.C2,C5[2013?新课标全国卷Ⅱ] 设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos θ = 4? 2 ? ________.

20.C2、C5、C6,C8[2013?重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2ab 2 =c . (1)求 C; 3 (2)设 cos Acos B= 5 2 cos(α +A)cos(α +B) 2 , = ,求 tan α 的值. 2 cos α 5

2

2

C6

二倍角公式

?π ? 13.C1,C2,C6[2013?四川卷] 设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?

20.C2、C5、C6,C8[2013?重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2ab 2 =c . (1)求 C; 3 (2)设 cos Acos B= 2 cos(α +A)cos(α +B) 2 , = ,求 tan α 的值. 2 5 cos α 5

2

2

9.C2、C6,C7[2013?重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( A. 2 B. 2+ 3 2 2-1

)

C. 3 D.2

C7

三角函数的求值、化简与证明

15.C7,C8[2013?北京卷] 在△ABC 中,a=3,b=2 (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值.

6,∠B=2∠A.

18.C7、C8[2013?全国卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B;

-5-

(2)若 sin Asin C=

3-1 ,求 C. 4

6.C7[2013?浙江卷] 已知 α ∈R,sin α +2cos α = 4 3 A. B. 3 4 3 C.- 4 4 D.- 3

10 ,则 tan 2α =( 2

)

9.C2、C6,C7[2013?重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( A. 2 B. 2+ 3 2 2-1

)

C. 3 D.2

C8

解三角形

17.C8[2013?新课标全国卷Ⅰ] 如图 1-4 所示,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan ∠PBA.

图 1-4

2 13.C8[2013?福建卷] 如图 1-4 所示,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC= AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为__________.

2 3



图 1-4 17.C8[2013?湖北卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c.已知 cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值.

3.C8[2013?湖南卷] 在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则角 A 等 于( )
-6-

π π A. B. 12 6

π C. 4

π D. 3

16.C8[2013?江西卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A- 3sin A)cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 15.C7,C8[2013?北京卷] 在△ABC 中,a=3,b=2 (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 6,∠B=2∠A.

6.C8[2013?辽宁卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A 1 = b,且 a>b,则∠B=( 2 π A. 6 π B. 3 2π C. 3 ) 5π D. 6

18.C7、C8[2013?全国卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (1)求 B; (2)若 sin Asin C= 3-1 ,求 C. 4

17.C5、C8[2013?山东卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B 7 = . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 7.C8[2013?陕西卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

17.C5,C8,F1[2013?四川卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos 3 -sin (A-B)sin B+cos(A+C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.

2

A-B cos B 2

-7-

15.C8,E8,N1[2013?四川卷] 设 P1,P2,?,Pn 为平面α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中,若点 P 到 P1,P2,?,Pn 点的距离之和最小,则称点 P 为 P1,P2,?,Pn 点的一个“中位点”.例如,线段 AB 上的 任意点都是端点 A,B 的中位点.则有下列命题: ①若 A,B,C 三个点共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)

π 6.C8[2013?天津卷] 在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. 10 5

)

3 10 5 C. D. 10 5

17.C5,C8[2013?新课标全国卷Ⅱ] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

20.C2、C5、C6,C8[2013?重庆卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2ab =c . (1)求 C;
2

2

2

3 (2)设 cos Acos B=

5

2 cos(α +A)cos(α +B) 2 , = ,求 tan α 的值. 2 cos α 5

C9

单元综合

20.C4,C9,B14[2013?福建卷] 已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的周期为π ,图像的一

?π ? 个对称中心为? ,0?.将函数 f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到的图 ?4 ?
π 像向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图像. 2 (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式;

?π π ? (2)是否存在 x0∈? , ?,使得 f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 ?6 4?
的个数;若不存在,说明理由;
-8-

(3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ )内恰有 2013 个零点.

? π? ? π? 2x 17.C9[2013?湖南卷] 已知函数 f(x)=sin?x- ?+cos?x- ?,g(x)=2sin . 6 3 2 ? ? ? ?
3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= 5 3 ,求 g(α )的值;

(2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 18.C9[2013?江苏卷] 如图 1-4,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆 车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长 12 3 为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

图 1-4 15.C9[2013?江苏卷] 已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),0<β <α <π . (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α ,β 的值. 12.C9、B14[2013?全国卷] 已知函数 f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是( A.y=f(x)的图像关于点(π ,0)中心对称 π B.y=f(x)的图像关于直线 x= 对称 2 3 2 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 C.f(x)的最大值为 1 16. C9[2013?浙江卷] 在△ABC 中, ∠C=90°, M 是 BC 的中点. 若 sin∠BAM= , 则 sin∠BAC=________. 3

)

1.[2013?湖北四校联考] 下列说法正确的是( π 1 A.存在 α ∈(0, ),使 sin α +cos α = 2 3

)

-9-

B.y=tan x 在其定义域内为增函数 π C.y=cos 2x+sin( -x)既有最大、最小值,又是偶函数 2 π ? ? D.y=sin?2x+ ?的最小正周期为π 6? ?

π 2.[2013?马鞍山一检] 函数 f(x)=3sin(2x- )的图像为 C,如下结论中正确的是________(写出所有 3 正确结论的编号). 11 ①图像 C 关于直线 x= π 对称; 12 π ②图像 C 的所有对称中心都可以表示为( +kπ ,0)(k∈Z); 6 π 5π ③函数 f(x)在区间[- , ]内是增函数; 12 12 π ④由 y=-3cos 2x 的图像向左平移 个单位长度可以得到图像 C; 12 π ⑤函数 f(x)在[0, ]上的最小值是-3. 2 π 3.[2013?吉林实验中学二模] 把函数 y=sin x(x∈R)的图像上所有点向左平移 个单位长度,再把所 3 1 得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到的图像所表示的函数是( ) 2 π A.y=sin(2x- ),x∈R 3 x π B.y=sin( + ),x∈R 2 6 π C.y=sin(2x+ ),x∈R 3 2π D.y=sin(2x+ ),x∈R 3 π π 4. [2013?哈尔滨三中期末] 已知 f(x)=sin(ω x+φ )(ω ∈R, |φ |< ), 满足 f(x)=-f(x+ ), f(0) 2 2 1 π = ,f′(0)<0,则 g(x)=2cos(ω x+φ )在区间[0, ]上的最大值与最小值之和为( ) 2 2 A.2- 3 B. 3-2 C.0 D.-1 5.[2013?天津耀华中学月考] 在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,a= 3,b= 2,且 1 +2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高等于( ) A. 3-1 B. 3+1 3-1 3+1 C. D. 2 2 1 6.[2013?银川一中月考(六)] 设 f(sin α +cos α )=sin α cos α ,若 f(t)= ,则 t 的值为( 2 )
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A.± 2 2 C.± 2

B. 2 2 D. 2

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