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《随堂优化训练》高中数学 第二章 2.4 2.4.2 等比数列的性质配套课件 新人教A版必修5


2.4.2 等比数列的性质 1.在等比数列{an}中,已知 a2=2,a4a6=256,则 a8 等于( A.128 B.64 C.32 D.512 2.等比数列{an}中,a5=3,则 a2·a8 等于( C ) A.5 B.6 C.9 D.12 2a1+a2 3.等比数列{an}的公比为 2,则 2a +a 的值为( A ) 3 4 A. 1 4 B. 1 2 C. 1 8 D.1 A ) 4.将 20,50,100 这三个数加上相同的常数,使它们成为等 5 3 比数列,则其公比是____. a1+a3+a5+a7 1 5.已知等比数列{an}的公比 q= - ,则 = 3 a2+a4+a6+a8 _____. -3 重点 等比数列常用的判定方法 an+1 (1)定义法: a =q(常数). n (2)等比中项的定义:如果 an≠0,且 = a2 n+ 1 anan+2 对任意的 n∈N*都成立,则数列{an}是等比数列. 难点 等比数列的性质 a (1)若三个数成等比数列,一般设三数为q,a,aq. (2)①若{an} 为等比数列,且 k+l=m+n(k、l、m、n∈N*) 则 akal=aman; ②若{an}是等比数列,且 m+n=2k(k、m、n∈N*),则 aman =a2 k; ③若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公 比为 q2; ④若{an}为等比数列,公比为 q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也 是等比数列,公比为 q2; ⑤若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列. 等比数列性质 例 1:在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=162,求 a10. 思维突破:可利用通项公式或等比数列的性质来求. 解法一:∵a6=a2q4,a2=2,a6=162, ∴q4=81,∴a10=a6q4=162×81=13 122. 解法二:∵2,6,10 三数成等差数列, ∴a2,a6,a10 成等比数列. 1 2 2 ∴a6=a2a10,∴a10=162 × =13 2 122. 已知a1与q,用a1qn-1可以求出等比数列 的任何一项,但不一定简单.本题两种解法都避开了求a1与q. 直接利用等比数列的性质求解,使问题更加简单明了. 1-1.在等比数列{an}中,若 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25. 求 a3+a5 的值. 2 解:a2a4+2a3a5+a4a6=25,即 a2 + 2 a a + a 3 3 5 5=25, ∴(a3+a5)2=25, 又an>0,∴a3+a5=5. 等比数列性质的应用 a15 例 2:在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,则 a = 5 ( ) A.3 C.3 或 1 3 B. 1 3 1 3 D.-3 或- 思维突破:∵a5·a11=a3·a13=3,a3+a13=4, ∴a3=1,a13=3 或 a3=3,a13=1, a15 a13 1 ∴ a = a =3 或3 5 3 答案:C 2-1.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的 和为 21,则 a3+a4+a5=( C ) A.33 B.72 C.84 D.189 2-2.在等比数列{an}中,若 a2·a8=36,a3+a7=15,则公 比 q 值的可能个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4 等差、等比数列性质的综合应用 例 3:已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 a2=3,4S2=S4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证数列{ 2 an }是等比数列; (3)求使得 Sn+2>2Sn 的成立的 n 的集合. 解:(1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ? ?a1+d=3 由题意得:? ? ?4×?2a1+d?=4a1+6d , 解得a1=1,d=2,∴an=2n-1. 22 n 1 2 (2)依题意得, a = 2n-3=4, 2 n?1 2 an - ∴数列{ 2 an }为首项为 2,公比为 4 的等比数列, (3)由a1=1,d=2,an=2n-1,得Sn=n2, ∴Sn+2>2Sn?(n+2)2>2n2?(n-2)2<8, ∴n=1,2,3,4,故n 的集合为:{1,2,3,4}. 3-1.(2010 年湖北)已知等比数列{an}中,各项都是正数, 1 a ,2a 成等差数列,则 a9+a10 且 a 1, =( C ) 3 2 2 a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 B.1- 2 D.3-2 2 例 4:在等比数列{an}中,a5、a9 是方程 7x2-18x+7=0 的 两个根,试求 a7. 错因剖析:根据a7 是a5 与a9 的等比中项求出a7 后易忽视 对a7 符号的讨论. 正解:∵a5、a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根, 18 ? ?a5+a9= 7 . ∴? ? ?a5a9=1 又∵a7 是a5 和a9 的等比中项, ∴a2 1. 7=a5a9=1,即 a7=± 又由方程可得 a5>0,∴a7=a5q2>0,∴a7=1. 4-1.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列, 5 a1+a2 2 则 b =____. 2

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