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江苏省扬州市2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题


高二数学期末试卷
参考公式:样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s2=

1 n

? ( xi ? x) 2 ,其中 x =
i ?1

n

1 n

?x
i ?1

n

i

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 .
S ?0

1 2.抛物线 y ? x 的焦点坐标为 2
2

. . .

For I from 1 to 10 S?S?I End for Print S End

3.根据右图的算法,输出的结果是 4.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ?

y2 ? 1 的离心率为 2,则 m 的值为 5.若双曲线 x ? m
2

(第 3 题图) .

6.已知直线 l1 : x ? 3 y ? 1 ? 0 ,l2 :2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l1 ∥ l2 ,则实数 a 的值是



7.将一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的玩具)先后抛 掷两次,骰子向上的点数依次为 x, y .则 x ? y 的概率为 . 8.在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6)的同 学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 73 2 76 3 76 4 77 . . (第 11 题图) 5 72

则这 6 位同学成绩的方差是

9.以下对形如“ x ? ky ? b ( k , b ? R )”的直线描述正确的序号是

① 能垂直于 y 轴;② 不能垂直于 y 轴;③ 能垂直于 x 轴;④ 不能垂直于 x 轴. 10.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值 为 .
3 2

11.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (2c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如图 所示,且 f ?(1) ? 0 .则 c ? d 的值是 . .

12.已知实数 x ? [0,8] ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率为

13.已知可导函数 f (x) ( x ? R) 的导函数 f ?(x) 满足 f ?(x) > f (x) ,则不等式

ef ( x) ? f (1)e x 的解集是



x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦 14.已知椭圆 E: 4
点(如图) ,则这个平行四边形面积的最大值是 .

(第 14 题图)

二、解答题: 15. (本小题满分 14 分) 命题 p: ?x ? R, 使得x ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ,命题 q: ?x ? R, ax ? x ? 1 ? 0 恒成立。
2 2

若 p或q 为真命题, p且q 为假命题,求实数 a 的取值范围。

16. (本小题满分 14 分) 调查某校 100 名学生的数学成绩情况,得下表: 一般 男生(人) 女生(人) 良好 18 17 优秀

x
10

y
z

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到成绩一般的男生的概率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 20 名,问应在优秀学生中抽多少名? (3)已知 y ? 17, z ? 18 ,优秀学生中男生不少于女生的概率.

17. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中, ?ABC 的顶点分别为 A(0, 2), B(?1,0), C (2,0) , M 是 ?ABC 的 设 圆 外接圆,直线 l 的方程是 (2 ? m) x ? (2m ? 1) y ? 3m ? 1 ? 0(m ? R) (1)求圆 M 的方程; (2)证明:直线 l 与圆 M 相交; (3)若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3,求 l 的方程.

18. (本小题满分 15 分) 如图,过点 (0, a3 ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax2 相切于 A、B 两点, AD、BC 垂直于直 y 线 y ? ?8 ,垂足分别为 D、C.. (1)若 a ? 1 ,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a ? (0, 2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值. O A B x

D

C

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 , F2 ,P 是椭圆上一点, 且在 x a 2 b2

轴上方, PF2 ? F1 F2 , PF2 ? ? PF1 , ? ? ? , ? . 3 2 (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的圆 Q 的截 y 轴的线段长为 6,求椭圆的方程; (3) (2) 在 的条件下, 过椭圆右准线 l 上任一点 A 引圆 Q 的两条切线, 切点分别为 M , N . 试探究直线 MN 是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
y

?1 1 ? ? ?

l

·

M

P
A

F1

O

·
N
N

F2

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) . (1)当 a ? ?4 时,求函数 f (x) 在 ?1,e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 取值范围.

1 1 ,求实数 a 的 ? x1 x2

2013 年 1 月高二数 学 试 题 参 考 答 案
一、填空题: 1. 9.② ③ 2. 10.-1 3.55 11.3 4. 1 ? cos x 12. 5.3 6.5 14. 4 7.

5 6

8.

10 3

1 4

13. (1, ??)

二、解答题: 16.解: (1)由题意可知,

x ? 0.15 ∴x =15(人). 100

--------4 分

(2)由题意可知,优秀人数为 y ? z ? 40 (人). 设应在优秀中抽取 m 人,则

m 20 ? ,∴m ? 8 (人) 40 100
所以应在优秀中抽 8 名 --------8 分

18 (3)由题意可知, y ? z ? 40 ,且 y ? 17, z ? ,满足条件的 y, z ) 有(17,23) , (18, (
22)(19,21)(20,20)(21,19)(22,18) , , , , ,共有 6 组. 设事件 A 为“优秀学生中男生不少于女生”,即 y ? z ,满足条件的 y, z ) 有(20,20) , ( (21,19)(22,18)共有 3 组,所以 ,

3 1 1 ? .即优秀学生中女生少于男生的概率为 . -------14 分 6 2 2 0 ?4 ?2 E ? F ? ? D ? ?1 ? ? 2 2 17. 设圆 M 的方程为:x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ?1 ? D ? F ? 0 解得 ? E ? ?1 (1) 则 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? F ? ?2 ? ? P ? A? ?

?圆 M

的方程为: x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 (答案写成标准方程也可) --------5 分
2 2

(2)直线 l 的方程变为: ( x ? 2 y ? 3)m ? 2 x ? y ? 1 ? 0

令?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 2 2 得? , ? 直线 l 过定点 P(1,1). ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 , ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? y ? 1
内,所以直线 l 与圆 M 相交. --------10 分

? P 在圆 M

(3)圆 M 的标准方程为: ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

5 ,由题意可以求得圆心 M 到直 2

线 l 的距离

1 ,? 2

1 1 1 ? m ? m ? ? 3m ? 1 2 2 (m ? 2) ? (2m ? 1)
2 2

?

1 ,化简得 2

3 1 ? m? 2 2 5m ? 5
2

?

1 ,解得 2

m1 ? ?2, m2 ?

1 ,? 所求直线 l 的方程为: x ? 1 或 y ? 1 . 2
(详细过程见第(2)问)

--------15 分 --------6 分

18.解: (1) a ? 1 时, S ? 14

(2)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?ax02 , 因为 y ? ? ?2ax ,所以切线方程为 y ? y0 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , 即 y ? ax02 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , 因为切线过点 0, a3 ,所以 a3 ? ax02 ? ?2ax0 (0 ? x0 ) ,即 a3 ? ax02 ,于是 x0 ? ? a . 将 x0 ? ? a 代入 y0 ? ?ax02 得 y0 ? ?a3 . (若设切线方程为 y ? kx ? a3 ,代入抛物线方程后由 ? ? 0 得到切点坐标,亦予认可.) 所以 AB ? 2a, BC ? 8 ? a3 , 所以矩形面积为 S ? 16a ? 2a4 (0 ? a ? 2) ,
S ? ? 1 6? 83 . a

?

?

所以当 0 ? a ? 3 2 时, S ? ? 0 ;当 3 2 ? a ? 2 时, S ? ? 0 ; 故当 a ? 3 2 时,S 有最大值为 12 3 2 . -------15 分

19.解:

??

b2 a b2 2a ? a



b2 2? ∴2a ? ? b ? ? b ,2a ? ? b ?1 ? ? ? , 2 ? 。 a 1? ?
2 2 2 2 2

(1) e ?
2

c2 b2 2? 1 ? ? 1? ? ?1 1 ? ? 1? 2 ? 1? ? ,∴e ? ,在 ? , ? 上单调递减. 2 a a 1? ? 1? ? 1? ? ?3 2?
1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 时, e 最小 , ? ? 时, e 最小 ,∴ ? e ? ,∴ . ?e? 2 3 3 2 3 2 3 2
-------5 分

∴? ?

(2) 当 e ?

2 c 2 2 a ,∴2b2 ? a 2 . 时, ? ,∴c ? b ? 2 a 2 2

∵PF2 ? F F2 ,∴PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的中点,∴ y 轴上截得的弦长就是 在 1 直径,∴PF1 =6.又 PF1 ? 2a ?

b2 a2 3 ? 2a ? ? a ? 6 ,∴a ? 4, c ? b ? 2 2 .∴ 椭圆方 a 2a 2

程是

x2 y 2 ? ?1 16 8

-------10 分

(3)由(2)得到 PF2 ?
2

b2 a ? ? 2 ,于是圆心 Q ? 0,1? ,半径为 3,圆 Q 的方程是 a 2

x 2 ? ? y ? 1? ? 9 .椭圆的右准线方程为 x ? 4 2 ,,∵ 直线 AM,AN 是圆 Q 的两条切线,
∴切 点 M,N 在以 AQ 为 直径 的圆 上。设 A 点 坐标 为 (4 2, t ) , ∴该圆 方程为

x( x ? 4 2) ? ( y ?1)( y ? t ) ? 0 。∴直线 MN 是两圆的公共弦,两圆方程相减得: 4 2x ? (t ? 1) y ? 8 ? t ? 0 , 这 就 是 直 线 M N 的 方 程 。 该 直 线 化 为 :
? 9 2 ? y ? 1 ? 0, ? , ?x ? ( y ? 1)t ? 4 2 x ? y ? 8 ? 0,? ? ?? 8 ∴直线 MN 必过定点 ?4 2 x ? y ? 8 ? 0, ? ? ? y ? 1.
( 9 2 ,1) 。 8
20. 解: (1) f ?( x) ? -------16 分

2x 2 ? 4 ( x ? 0) , x ? [1, 2 ) 时,f ?( x) ? 0 . x ? 当 当 x

?

2, e

?

2 时, f ?( x) ? 0 ,又 f (e) ? f (1) ? ?4 ? e ? 1 ? 0 ,故 f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 ,当

x ? e 时,取等号

-------4 分

x2 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,方程 ? a ? ln x

x2 根的个数。 设 g ?x ? = , g ?( x) ? ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递减,当 x ? ( e , e?时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递
2 增。又 g (e) ? e , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g (x) 与直线 y ? ? a 的图像,由图像知:

? ?

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根;
2 2

当 a ? ?e

2

或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; -------10 分

当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根;

( 3 ) 当 a ? 0 时 , f (x) 在 x ?[1, e] 时 是 增 函 数 , 又 函 数 y ?

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
即 f ( x2 ) ?

1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x1 x2 x1 x2

1 1 1 ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x ) ? 在 x ?[1, e] 时是减函数, x x2 x1

? h?( x) ?

a 1 1 ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立。 x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时是减函数 ? a ? ? 2e 2 -------16 分 x e

(其他解法酌情给分) 1、命题: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 答案: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 2、抛物线 y ?
2



1 x 的焦点坐标为 2



答案: ( , 0) 15、 (满分 14 分)命题 p: ?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ,命题 q: ?x ? R, ax2 ? x ? 1 ? 0 恒 成立。若 p或q 为真命题, p且q 为假命题,求实数 a 的取值范围。
2 解答:命题 p 为真,则 (a ?1) ? 4 ? 0 ,即 a ? 3 或 a ? ?1

1 8

命题 q 为真,则 ?

?a ? 0 1 ,即 a ? …………………………4 分 4 ?1 ? 4a ? 0

由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假

?a ? 3或a ? ?1 ? ⑴ 命题 p 真,命题 q 假,则 ? 1 ?a ? 4 ?
??1 ? a ? 3 ? ⑵ 命题 p 假,命题 q 真,则 ? 1 ?a ? 4 ?
综合得: a ? ?1 或

解得 a ? ?1 …………………………9 分

解得

1 ?a?3 4

1 ? a ? 3 …………………………14 分 4


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