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数学选修2-2第二章《§1变化的快慢与变化率(2)》导学案


凤翔县紫荆中学 2014-2015 学年度第二学期高二选修 2-2 导学案

《§1 变化的快慢与变化率②》导学案
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一、学习目标: 1、理解函数瞬时变化率的概念; 2、 会求给定函数在某点处的瞬时变化率, 并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。 3、理解瞬时速度、线密度的物理意义,并能解决一些简单的实际问题。 二、学习重、难点 : 重点:知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。 难点:对于平均速度与瞬时速度的关系的理解


一.【课前自学】 。 函数平均变化率的概念:







1、对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f( x1 )变为 f ( x2 ) 。平均 变化率就是 之比;

2、函数 y ? f ( x) 在 ( x0 , x0 ? ?x) 内的平均变化率为 二.【课中探索】 例 1、一个小球从高空自由下落,其走过的路程 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的函数关系为

1 2 gt ,其中,g 为重力加速度 ( g ? 9.8m / s 2 ) ,试估计小球在 t=5s 这个时刻的瞬时速度。 2 ?s ? 分析:当时间 t 从 t0 变到 t1 时,根据平均速度公式 ?t s?
可以求出从 5s 到 6s 这段时间内小球的平均速度 ; 用它来近似表示 t=5s 时的瞬时速度。 如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象, 平均速度 就更接近小球在 这个时刻的 瞬时速度 。 ................... .... .......t=5s . . . . ..... .... . 解:我们将时间间隔每次缩短为前面的

1 ,计算出相应的平均速度得到下表: 10
路程的改变量 (Δ s )/m 平均速度 ?

时间的改变量

t0/s
5 5 5 5 5

t1/s
(Δ t)/s 5.1 5.01 5.001 5.0 01 … … …

? ?s ? ? /(m/s) ? ?t ?

… ,因此,可以认为小球在 t0=5s 时的瞬

可以看出,当时间 t1 趋于 t0=5s 时,平均速度趋于 时速度为

。从上面的分析和计算可以看出,瞬时速度为 49m/s 的物理意义是,如果小球保 。

持这一刻的速度进行运动的话,每秒将要运动 第 1 页 共 2 页

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例 2、如图所示,一根质量分布不均匀的合金棒,长为 10m。x(单位: m)表示 OX 这段棒长,y(单位:kg)表示 OX 这段棒的质量,它们满 足以下函数关系: y ? f ( x) ? 2 x 。估计该合金棒在 x=2m 处的线密度。 分析:一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度,就是这段合金棒的平均线密度。 解:由 y ? f ( x) ? 2 x ,我们可以计算出相应的平均线密度得到下表 平均线密度 长度 x 的改变量 质量 y 的改变量 (Δ s )/kg

x0/s

x1/s
(Δ x)/m

? ?y ? ? ? /(kg/m) ? ?x ?

2 2 2 2 2

2.1 2.01 2.001 2.0001 … … … …

可以看出,当 x1 趋于 x0=2m 时,平均线密度趋于 密度为

kg/m,因此,可以认为合金棒在 x0=2m 处的线

。从上面的分析和计算可以看出,线密度为 0.71kg/m 的物理意义是,如果有 1m 长 kg。

的这种线密度的合金棒,其质量将为 三.【练习尝试】 课本 P30 练习 2:1、2. 四.【归纳小结】

1、一般地,对于一个函数 y=f(x) ,在自变量 x 从 x0 到 x0+Δx 的变化过程中,平均变化率为:

?y = ?x

.当 Δx 趋于 0 时,平均变化率

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = 趋近的值称为函 ?x ?x

数 y=f(x)在 x=x0 点的瞬时变化率. 2、瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。 五. 【达标反馈】 在自行车比赛中 , 运动员的位移与比赛时间 t 存在函数关系 s=10t+5t2(s 的单位 :m,t 的单位 :s), 求 (1)t=20,Δt=0.1 时的 Δs 与

?s ; ?t

(2)试估计 t=20 时的瞬时速度 六. 【学习感悟】

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