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2015年上海高考二模数学金山(松江、徐汇)(理)


09 金山 14 松江 15 徐汇理

上海朱老师家教 13917436213

2015 年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科)
2015.4 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 1? ? 2 1.已知集合 A= ?1, 2, ? ,集合 B = ? y | y ? x , x ? A? ,则 A B ? . 2 ? ?
2.若复数 z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ?

3.已知直线 l 的一个法向量是 n ? 1, ? 3 ,则此直线的倾斜角的大小为

?

?

. .

4.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测试.现将 800 名学生 从 1 到 800 进行编号,求得间隔数 k ?

800 ? 16 .若从 1 ~ 16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7 ,则在编号为 50


33 ~ 48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应该是

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 3, c ? 2, A ? 6.设函数 f ( x) ? log2 (2x ? 1) ,则不等式 2 f ( x) ? f ?1 (log2 5) 的解为 7.直线 y ? x 与曲线 C : ?

?
3

,则 ?ABC 的面积为 . .



? x ? 3cos ? ( ? 为参数, ? ? ? ? 2? )的交点坐标是 ? y ? 4sin ?
a1n ? ? a2 n ? a3n ? 中每一行都构成公比为 2 的等比数列, 第i 列 ? ? ann ? ?

8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是 0.6 和 0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至 多一人击中目标的概率为 . B1 C1

?1 ? ?2 9. 矩阵 ? 3 ? ? ?n ?

a12

a1i

a22 a32 an 2

a2i a3i ani

A1

B

C

A

Sn ? . n ?? n ? 2 n AB ? BC , AB ? BC ? BB1 , 10 .如图所示:在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, ABC 所成的二面角的大小为 则平面 A . 1B 1C 与平面
各元素之和为 Si ,则 lim
2

1 ? ? 11.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 a ,二项式 ? mx 2 ? ? 的展开 x? ?
式中 x 项的系数为
3

4

a ,则常数 m ? 2



12.设 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数, g ( x) 是定义域为 R 的偶函数,若函数 . f ( x) ? g ( x) 的值域为 [1,3) ,则函数 f ( x) ? g ( x) 的值域为 13. ?ABC 所在平面上一点 P 满足 PA ? PC ? mAB m ? 0, m为常数 ,若 ?ABP 的面积 为 6 ,则 ?ABC 的面积为 . C C 上的任意两 14.对于曲线 所在平面上的定点 P 0 ,若存在以点 P 0 为顶点的角 ? ,使得 ? ? ?AP 0 B 对于曲线 个不同的点 A, B 恒成立,则称角 ? 为曲线 C 相对于点 P ,并称其中最小的“界角”为曲线 C 相对于 0 的“界角” 2015 年金山、松江、徐汇二模理 1

?

?

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2 ? ? x ? 1( x ? 0) 点P .曲线 C : y ? ? 相对于坐标原点 O 的“确界角”的大小是 . 0 的“确界角” 2 ? 2 ? 1 ? x ( x ? 0 ) ? 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得 0 分. x?3 ? 0 同解的是( 15.下列不等式中,与不等式 ) 2? x (A) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0 (B) ? x ? 3?? 2 ? x ? ? 0

(C)

2? x ?0 x?3

(D)

3? x ?0 x?2
) (B) M ? N 是必然事件 (D) M 与 N 一定不为互斥事件

16.设 M 、N 为两个随机事件,如果 M 、N 为互斥事件,那么( (A) M ? N 是必然事件 (C) M 与 N 一定为互斥事件

17.在极坐标系中,与曲线 ? ? cos? ? 1 关于直线 ? ? (A) ? ? sin( (C) ? ? sin(

?

6

( ? ? R )对称的曲线的极坐标方程是(



?
3

??) ?1

(B) ? ? sin( (D) ? ? sin(

?
3

??) ?1

?
6

??) ?1

?
6

??) ?1

18.已知函数 f ( x) ? x 2 ? sin x ,各项均不相等的数列 ?xn ? 满足 xi ?

?
2

(i ? 1, 2,3,

, n) .令

F (n) ? ( x1 ? x2 ?

? xn ) ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
n

f ( xn )? (n ? N * ) .给出下列三个命题:

(1)存在不少于 3 项的数列 ?xn ? ,使得 F (n) ? 0 ;

? 1? n ? N * ? ,则 F (2k ) ? 0 对 k ? N * 恒成立; ? ? 2? * (3)若数列 ?xn ? 是等差数列,则 F (n) ? 0 对 n ? N 恒成立.
(2)若数列 ?xn ? 的通项公式为 xn ? ? ? ? 其中真命题的序号是( ) (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C) (2)(3) (D)(1)(2)(3)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 在 Rt ?AOB 中,?OAB ?

?
6

, 斜边 AB ? 4 ,D 是 AB 的中点. 现将 Rt ?AOB

以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且
?BOC ?

?
2



(1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

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09 金山 14 松江 15 徐汇理 上海朱老师家教 13917436213 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 一个随机变量 ? 的概率分布律如下:

? P

x1

x2 sin(B+C)

cos2A

其中 A, B, C 为锐角三角形 .....ABC 的三个内角. (1)求 A 的值; (2)若 x1 ? cos B , x2 ? sin C ,求数学期望 E? 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示,它的外框是一个等腰梯形
P O Q

PQRS ,内部是一段抛物线和一根横梁.抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接
点 O ,梯形的腰紧靠在抛物线上,两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁 的焊接点 A, B , 抛物线与梯形下底的两个焊接点为 C , D . 已知梯形的高是 40 厘 米, C、D 两点间的距离为 40 厘米. (1)求横梁 AB 的长度; (2)求梯形外框的用料长度. (注:细钢管的粗细等因素忽略不计,计算结果精确到 1 厘米. )
A B

S C

D

R

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ?

1? 1? 1? 1? ? x ? ? , g ( x) ? ? x ? ? . 2? x? 2? x?

(1)求函数 h( x) ? f ? x ? ? 2g ? x ? 的零点; (2) 若直线 l : ax ? by ? c ? 0 a, b, c为常数 与 f ( x ) 的图像交于不同的两点 A、B , 与 g ( x) 的图像交于不同的 两点 C、D ,求证: AC ? BD ; (3)求函数 F ( x) ? ? ? f ? x ?? ?
2n

?

?

?? ? g ? x ?? ?

2n

? n ? N ? 的最小值.
*

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09 金山 14 松江 15 徐汇理 上海朱老师家教 13917436213 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 对于一组向量 a1 , a2 , a3 ,?, an ( n ? N * ), 令 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 如果存在 a p ( p ??1,2,3 使得 | a p |?| S n ? a p | ,那么称 a p 是该向量组的“ h 向量” . (1)设 an ? (n, x ? n) ( n ? N * ),若 a3 是向量组 a1 , a 2 , a3 的“ h 向量” , 求实数 x 的取值范围;
n ?1 n (2)若 a n ? (( ) , ( ?1) ) ( n ? N * ),向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 是否存在“ h 向量”?

, n? ),

1 3

给出你的结论并说明理由; (3)已知 a1、、 ,其中 a1 ? (sin x, cos x) , a2 a3 均是向量组 a1 , a2 , a3 的“ h 向量” 设在平面直角坐标系中有一点列 Q1 , Q2 , Q3, ?, Qn 满足: Q1 为坐标原点, Q2 为 a 3 a2 ? (2 cos x,2 sin x) . 的 位 置 向 量 的 终 点 , 且 Q2 k ?1 与 Q 2 k 关 于 点 Q1 对 称 , Q2 k ?2 与 Q2 k ?1 ( k ? N ) 关 于 点 Q2 对 称 , 求
*

| Q2013Q2014 | 的最小值.

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理科参考答案
一、填空题: (每题 4 分) 1. 6. 10.

?1?
x?0

2. 7.

6 ? 2i

3.

? 6

4.

39

5.

3 2

? 4

1 ? 12 12 ? ? ? , ? ? 8. 0.58 9. 4 5? ? 5 1 11. 12. ? ?3, ?1? 13. 12 4

14.

5? 12

二、选择题: (每题 5 分) 15. D 16. A 17.

C

18.

D

三、解答题 19、解: (1)在 Rt ?AOB 中, OB ? 2 ,即圆锥底面半径为 2 圆锥的侧面积 S侧 ? ? rl ? 8? ………………..4’ 故圆锥的全面积 S全 =S侧 +S底 ? 8? +4? ? 12? ……………….6’ (2)解法一:如图建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,2 3), C(2,0,0), D(0,1, 3)
A z

? AO ? (0,0, ?2 3), CD ? (?2,1, 3) ………………..8’
设 AO 与 CD 所成角为 ?

?6 6 则 cos ? ? ………………..10’ ? ?? 4 AO ? CD 2 3 ? 2 2
? 异面直线 AO 与 CD 所成角为 arc cos

AO ? CD

D

6 ………………..12’ 4

O C x

B

y

解法二:过 D 作 DM / / AO 交 BO 于 M ,连 CM 则 ? CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角………………..8’
Q AO ? 平面OBC ? D M ? 平面 O B C ? DM ? MC
? DM ? 3

在 Rt ?AOB 中, AO ? 2 3
Q D 是 AB 的中点

?M 是 OB 的中点 ? OM ? 1 ? CM ? 5
5 3 ? 15 ,………………..10’ 3

在 Rt ?CDM 中, tan ?CDM ?

??CDM ? arctan

15 15 ,即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan ……………….12’ 3 3

20、解: (1)由题 cos 2 A ? sin ? B ? C ? ? 1,………………..2’
2 则 1 ? 2sin A ? sin A ? 1 ? sin A ?

1 ? sin A ? 0舍 ? ………………..4’ 2

又 A 为锐角,得 A ? (2)由 A ?

?
6

………………..6’

?
6

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09 金山 14 松江 15 徐汇理 得B?C ?

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5? 1 1 ,则 cos 2 A= sin ? B ? C ? ? ,即 P ?? ? x1 ? ? P ?? ? x2 ? ? …………..8’ 6 2 2

1 1 ? E? ? cos B ? sin C ………………..9’ 2 2 1 3 3 ? 5? ? 1 ? cos ? ? C ? ? sin C ? sin C ? cos C 2 4 4 ? 6 ? 2
3 ? ?? sin ? C ? ? , ………………..11’ 2 6? ? ? ? ?? C ? ? 0, ? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ?? ? ? 由 ?ABC 为锐角三角形,得 ? ? C ?? , ? ? C ? ?? , ? 6 ?6 3? ?3 2? ? B ? 5? ? C ? ? 0, ? ? ? ? ? 6 ? 2? ? ? ? ?1 3? ? 则 sin ? C ? ? ? ? , ? ?, 6? ? ? ?2 2 ? ?
得 E? ? ?

? 3 3? ? 4 ,4? ? ………………..14’ ? ?

21、解: (1)如图,以 O 为原点,梯形的上底所在直线为 x 轴,建立直角坐标系 设梯形下底与 y 轴交于点 M ,抛物线的方程为:

x2 ? 2 py ? p ? 0?
由题意 D ? 20, ?40? ,得 p ? ?5 , x ? ?10 y ……….3’
2

y P O Q x

取 y ? ?20 ? x ? ?10 2 , 即 A ?10 2, ?20 , B 10 2, ?20

A

B

?

? ?

?
S C M D R

AB ? 20 2 ? 28 ? cm ?

答:横梁 AB 的长度约为 28cm………………..6’ (2)由题意,得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点 设 lRQ : y ? 20 ? k x ? 10 2

?

? ? k ? 0? ………………..7’

? ? y ? 20 ? k x ? 10 2 ? x 2 ? 10kx ? 100 2 ? 2k ? 0 ? 2 x ? ?10 y ? ?

?

?

?

?

? 得 Q ? 5 2, 0 ? , R ?15 2, ?40 ? ? OQ ? 5 2, MR ? 15 2, RQ ? 30 梯形周长为 2 ? 5 2 ? 15 2 ? 30 2 ? ? 100 2 ? 141? cm ?
2

则 ? ? 100k ? 400 2 ? 2k ? 0 ? k ? ?2 2 ,即 lRQ : y ? ?2 2 x ? 20 …………..10’

?

2

答:制作梯形外框的用料长度约为 141cm………………..14’ 2015 年金山、松江、徐汇二模理 6

09 金山 14 松江 15 徐汇理 22、解: (1)由题 h( x) ?

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3x 1 3 3 ,函数 h( x) 的零点为 x ? ? …………4’ ? ?0? x ?? 2 2x 3 3 (2)设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ?x3 , y3 ?, D ?x4 , y4 ?

?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 ………………..8’ 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ? 2 a ? b y ? x ? ? ? ? 2? x? ? ?ax ? by ? c ? 0 2c ? 2 同理由 ? 1? 1 ? ? ? 2a ? b ? x ? 2cx ? b ? 0 ,则 x3 ? x4 ? ? 2a ? b ? y ? 2?x? x? ? ? ? 则 AB 中点与 CD 中点重合,即 AC ? BD ………………..10’
(3)由题 F ( x) ?

1 22 n

2n 2n ?? 1? 1? ? ? x ? ? x ? ?? ? ? ? ? x? x? ? ? ? ?? ?

1 ? 2C21n x2n?2 ? 2C23n x2n?6 ? ? 2C22nn?3 x6?2 n ? 2C22nn?1 x 2?2 n ? ………………..12’ 22 n 1 1 2 n?2 3 2 n ?6 2 n ?3 ? 2n ? C2 ? x 2 ? 2 n ? ? C2 ? x 6 ? 2 n ? ? ? C2 ? x6?2n ? x2n?6 ? ? C22nn?1 ? x 2?2n ? x 2n?2 ?? n ?x n ?x n ? 2 ? 1 1 3 2 n ?3 2 n ?1 ? 2 n ? 2C2 ? 2C2 ? 2C2 n ? 2C2 n ? n n ? ……………….14’ 2 ? 1 ,当且仅当 x ? ?1 时,等号成立 ?
所以函数 F ( x) 的最小值为 1………………..16’
2 23、解:(1)由题意,得: | a3 |?| a1 ? a2 | ,则 9 ? ( x ? 3) ?

9 ? ( 2 x ? 3) 2 ………………..2’

解得: ? 2 ? x ? 0 ………………..4’ (2) a1 是向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 的“ h 向量” ,证明如下:

a1 ? (1,?1) , | a1 |? 2
1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 3 当 n 为奇数时, a 2 ? a3 ? ? ? a n ? ( 3 ,0) ? ( ? ? ( ) n ?1 ,0) ………………..6’ 1 2 2 3 1? 3
0?

1 1 1 1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ( ) ? ,故 | a2 ? a3 ? ? ? an |? [ ? ? ( ) n?1 ]2 ? 02 ? ? 2 ………8’ 2 2 3 2 2 2 3 2

即 | a1 |?| a2 ? a3 ? ? ? an | 当 n 为偶数时, a 2 ? a3 ? ? ? a n ? ( 故 | a2 ? a3 ? ? ? an |?

1 1 1 n ?1 ? ? ( ) ,1) 2 2 3

1 1 1 5 [ ? ? ( ) n?1 ]2 ? 12 ? ? 2 2 2 3 4

即 | a1 |?| a2 ? a3 ? ? ? an |

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综合得: a1 是向量组 a1 , a2 , a3 ,?, an 的“ h 向量”………………..10’ (3)由题意,得: | a1 |?| a2 ? a3 | , | a1 |2 ?| a2 ? a3 |2 ,即 a1 ? ( a 2 ? a 3 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 a1 ? a 2 ? a3 ? 2a 2 ? a3 ,同理 a2 ? a1 ? a3 ? 2a1 ? a3 , a3 ? a1 ? a 2 ? 2a1 ? a 2 三式相加并化简,得: 0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 2a1 ? a2 ? 2a1 ? a3 ? 2a 2 ? a3 即 (a1 ? a2 ? a3 ) 2 ? 0 , | a1 ? a2 ? a3 |? 0 ,所以 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ………………..13’ 设 a3 ? (u, v ) ,由 a1 ? a2 ? a3 ? 0 得: ?
2 2 2

2

2

?u ? ? sin x ? 2 cos x ?v ? ? cos x ? 2 sin x

设 Qn ( xn , yn ) ,则依题意得: ?

?( x 2 k ?1 , y 2 k ?1 ) ? 2( x1 , y1 ) ? ( x 2 k , y 2 k ) , ?( x 2 k ? 2 , y 2 k ? 2 ) ? 2( x 2 , y 2 ) ? ( x 2 k ?1 , y 2 k ?1 )

得 ( x2k ?2 , y2k ?2 ) ? 2[( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 )] ? ( x2k , y2k ) 故 ( x2k ?2 , y2k ?2 ) ? 2k[( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 )] ? ( x2 , y2 )

( x2k ?1 , y2k ?1 ) ? ?2k[( x2 , y2 ) ? ( x1 , y1 )] ? ( x2 , y2 )
所以 Q2 k ?1Q2 k ? 2 ? ( x 2 k ? 2 ? x 2 k ?1 , y 2 k ? 2 ? y 2 k ?1 ) ? 4k [( x 2 , y 2 ) ? ( x1 , y1 )] ? 4k Q1Q2 ……16’

| Q1Q2 |2 ?| a 3 |2 ? ( ? sin x ? 2 cos x ) 2 ? ( ? cos x ? 2 sin x ) 2 ? 5 ? 8 sin x cos x ? 5 ? 4 sin 2 x ? 1









x ? t? ?

?
4

( t ? Z )时等号成立

故 | Q2013Q2014 |min ? 4024………………..18’

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